人教版高中数学选修11：3.3 导数在研究函数中的应用 课时提升作业二十二 3.3.1 Word版含解析

1、起课时提升作业(二十二)函数的单调性与导数(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015·汉中高二检测)设f(x)是函数f(x)的导函数,y=f(x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象最有可能是()【解析】选c.由y=f(x)的图象可知f(x)在(-,0)上单调递增,在(0,2)上单调递减,在(2,+)上单调递增,故应选c.【补偿训练】函数f(x)=x-sinx是()a.奇函数且单调递增b.奇函数且单调递减c.偶函数且单调递增d.偶函数且单调递减【解析】选a.因为函数的定义域为r,f(-x)=-x-sin(-x)=-(x-sinx)=-f(x),所以函数f(x)

2、是奇函数.又f(x)=1-cosx0,所以函数f(x)=x-sinx在r上是单调递增函数.2.函数f(x)=lnxx的单调递减区间是()a.(e,+)b.(1,+)c.(0,ed.(0,1【解析】选a.函数的定义域为(0,+),由f(x)=1-lnxx2<0得:x>e,所以函数的单调递减区间是(e,+),故选a.3.(2015·太原高二检测)若函数y=f(x)在r上可导,且满足不等式xf(x)>-f(x)恒成立,且常数a,b满足a<b,则下列不等式一定成立的是()a.af(b)>bf(a)b.af(a)>bf(b)c.af(a)<bf(b)d

3、.af(b)<bf(a)【解析】选c.令g(x)=xf(x),则g(x)=f(x)+xf(x),因为xf(x)>-f(x),所以f(x)+xf(x)>0,即g(x)>0,故g(x)在r上单调递增,因为a<b,所以g(a)<g(b),即af(a)<bf(b).4.(2015·全国卷)设函数f(x)是奇函数f(x)(xr)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()a.(-,-1)(0,1)b.(-1,0)(1,+)c.(-,-1)(-1,0)d.(0,1)(1,+)

4、【解析】选a.记函数g(x)=f(x)x,则g(x)=xf'(x)-f(x)x2,因为当x>0时,xf(x)-f(x)<0,故当x>0时,g(x)<0,所以g(x)在(0,+)上单调递减;又因为函数f(x)(xr)是奇函数,故函数g(x)是偶函数,所以g(x)在(-,0)上单调递增,且g(-1)=g(1)=0.当0<x<1时,g(x)>0,则f(x)>0;当x<-1时,g(x)<0,则f(x)>0,综上所述,使得f(x)>0成立的x的取值范围是(-,-1)(0,1).5.(2015·宣城高二检测)设f(x

5、)是函数f(x)的导函数,将y=f(x)和y=f(x)的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是()【解题指南】分别以其中的一个图象为原函数的图象,另一个为导函数的图象,验证是否符合单调性与导函数的关系.【解析】选d.d中,若上方的图象为原函数,则下方的导函数的函数值先正后负再为正值,而不是恒小于等于0,若下方的图象为原函数,则导函数的函数值同样有正有负,不能横大于等于0,故选d.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知函数f(x)=ax+1x+2在(-2,+)内单调递减,则实数a的取值范围为.【解析】因为f(x)=ax+1x+2,所以f(x)=2a-1(x+2)2.由函数f(x)在(-2

6、,+)内单调递减知f(x)0在(-2,+)内恒成立,即2a-1(x+2)20在(-2,+)内恒成立,因此a12.当a=12时,f(x)=12,此时函数f(x)为常数函数,故a=12不符合题意舍去.所以a的取值范围为a<12.故实数a的取值范围为-,12.答案:-,12【补偿训练】已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在(-,+)上是单调函数,则实数a的取值范围是()a.(-,-33,+)b.-3,3c.(-,-3)(3,+)d.(-3,3)【解析】选b.f(x)=-3x2+2ax-10在(-,+)上恒成立且不恒为0,=4a2-120-3a3.7.函数f(x)=2x2-lnx的单调递减区

7、间是.【解析】因为f(x)=4x-1x,令f(x)<0,又函数的定义域为(0,+),故函数的单调减区间为0,12答案:0,128.设f(x)=-13x3+12x2+2ax.若f(x)在23,+上存在单调递增区间,则a的取值范围为.【解题指南】本题可以转化为在23,+上存在x值使f(x)0成立,再利用f(x)的图象求取值范围.【解析】f(x)=-x2+x+2a,由题意在23,+上存在x使-x2+x+2a>0成立,令g(x)=-x2+x+2a,则g23>0,解得:a>-19.答案:-19,+三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2015·菏泽高二检测)设函数f

8、(x)=ax3+bx2+c,其中a+b=0,a,b,c均为常数,曲线y=f(x)在(1,f(1)处的切线方程为x+y-1=0.(1)求a,b,c的值.(2)求函数f(x)的单调区间.【解析】(1)因为f(x)=3ax2+2bx,所以f(1)=3a+2b,又因为切线x+y=1的斜率为-1,所以3a+2b=-1,a+b=0,解得a=-1,b=1,所以f(1)=a+b+c=c,由点(1,c)在直线x+y=1上,可得1+c=1,即c=0,所以a=-1,b=1,c=0.(2)由(1)令f(x)=-3x2+2x=0,解得x1=0,x2=23,当x(-,0)时f(x)<0;当x0,23时f(x)>

9、;0;当x23,+时f(x)<0,所以f(x)的增区间为0,23,减区间为(-,0)和23,+.10.已知函数f(x)=x2+2alnx.(1)求函数f(x)的单调区间.(2)若函数g(x)=2x+f(x)在1,2上是减函数,求实数a的取值范围.【解析】(1)f(x)=2x+2ax=2x2+2ax,函数f(x)的定义域为(0,+).当a0时,f(x)>0,f(x)的单调递增区间为(0,+);当a<0时,f(x)=2(x+-a)(x-a)x.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下:x(0,-a)-a(-a,+)f(x)-0+f(x)递减递增由表格可知,函数f(x)的单调递

10、减区间是(0,-a).单调递增区间是(-a,+).(2)由g(x)=2x+x2+2alnx得g(x)=-2x2+2x+2ax,由已知函数g(x)为1,2上的单调减函数,则g(x)0在1,2上恒成立,即-2x2+2x+2ax0在1,2上恒成立.即a1x-x2在1,2上恒成立.令h(x)=1x-x2,在1,2上h(x)=-1x2-2x=-1x2+2x<0,所以h(x)在1,2上为减函数,h(x)min=h(2)=-72,所以a-72.故实数a的取值范围为a|a-72.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.若函数在r上可导,且满足f(x)<xf(x),则()a.2f(1

11、)<f(2)b.2f(1)>f(2)c.2f(1)=f(2)d.f(1)=f(2)【解析】选a.由于f(x)<xf(x),所以f(x)x=f'(x)x-f(x)x2恒成立,因此f(x)x在r上是单调递增函数,所以f(2)2>f(1)1,即f(2)>2f(1),故选a.2.(2015·兰州高二检测)已知f(x)满足f(4)=f(-2)=1,f(x)为其导函数,且导函数y=f(x)的图象如图所示,则f(x)<1的解集是()a.(-2,0)b.(-2,4)c.(0,4)d.(-,2)(0,4)【解析】选b.由导函数y=f(x)的图象可知,当x&l

12、t;0时,函数f(x)单调递减,当x>0时,函数f(x)单调递增,且当x=0时有意义,当x<0时,f(x)<1=f(-2),解得-2<x<0,当x0时,f(x)<1=f(4),解得0x<4,故不等式的解集为(-2,4).【补偿训练】函数f(x)在r上可导,且f(x)=x2f(2)-3x,则f(-1)与f(1)的大小关系是()a.f(-1)=f(1)b.f(-1)>f(1)c.f(-1)<f(1)d.不确定【解析】选b. f(2)是常数,所以f(x)=2xf(2)-3,故f(2)=2×2f(2)-3,即f(2)=1,所以f(x)=x

13、2-3x,故f(1)=1-3=-2,f(-1)=1+3=4.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2015·盐城高二检测)若函数f(x)=(mx-1)ex在(0,+)上单调递增,则实数m的取值范围是.【解析】因为f(x)=(mx+m-1)ex,由题意f(x)0在(0,+)上恒成立,令g(x)=mx+m-1,则m>0,g(0)0,解得m1.答案:1,+)4.若函数y=-43x3+ax有三个单调区间,则a的取值范围是.【解题指南】利用函数有三个单调区间,转化方程y=0根的情况确定a的取值范围.【解析】y=-4x2+a,函数y=-43x3+ax有三个单调区间,则方程-4x2+a=0

14、有两解,故a>0.答案:a>0三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2015·驻马店高二检测)已知函数f(x)=(ax2+x-1)ex,其中e是自然对数的底数,ar.(1)若a=1,求曲线f(x)在点(1,f(1)处的切线方程.(2)若a=-1,求f(x)的单调区间.【解析】(1)因为f(x)=(x2+x-1)ex,所以f(x)=(2x+1)ex+(x2+x-1)ex=(x2+3x)ex,所以曲线f(x)在点(1,f(1)处的切线斜率为k=f(1)=4e.又因为f(1)=e,所以所求切线方程为y-e=4e(x-1),即4ex-y-3e=0.(2)f(x)=(-x2+x

15、-1)ex,因为f(x)=-x(x+1)ex,令f(x)<0,得x<-1或x>0,f(x)>0得-1<x<0.所以f(x)的减区间为(-,-1),(0,+),增区间为(-1,0).6.(2015·四川高考)已知函数f(x)=-2xlnx+x2-2ax+a2,其中a>0.(1)设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性.(2)证明:存在a(0,1),使得f(x)0恒成立,且f(x)=0在区间(1,+)内有唯一解.【解析】(1)由已知,函数的定义域为(0,+),所以g(x)=f(x)=2(x-1-lnx-a)所以g(x)=2-2x=2(x

16、-1)x,当x(0,1)时,g(x)<0,g(x)单调递减;当x(1,+)时,g(x)>0,g(x)单调递增.(2)由f(x)=2(x-1-lnx-a)=0,解得a=x-1-lnx.令(x)=-2xlnx+x2-2x(x-1-lnx)+(x-1-lnx)2=(1+lnx)2-2xlnx,则(1)=1>0,(e)=2(2-e)<0.于是,存在x0(1,e),使得(x0)=0,令a0=x0-1-lnx0=u(x0),其中u(x)=x-1-lnx(x1),由u(x)=1-1x0知,函数u(x)在区间(1,+)上单调递增.故0=u(1)<a0=u(x0)<u(e)=e-2