格林(Green)公式及其应用

1、一、格林（一、格林（green)公式及其应用公式及其应用4. .平面上曲线积分与路径无关的平面上曲线积分与路径无关的 等价条件等价条件d1l2lyxo 1lqdypdx4. .平面上曲线积分与路径无关的平面上曲线积分与路径无关的 等价条件等价条件 2lqdypdxba如果在区域如果在区域d内内, , lqdypdx则称曲线积分则称曲线积分否则与路径有关否则与路径有关. .在在d内内与路径无关与路径无关, ,有有12, l l积分与路径无关时积分与路径无关时, , 曲线积分可记为曲线积分可记为 ddbap xq y ddabp xq y 说明说明: :定理定理2 设设d是单连通域是单连通域,(

2、, ),( , )p x yq x y在在d内具有一阶连续偏导数内具有一阶连续偏导数,(1)沿沿d 中任意光滑闭曲线中任意光滑闭曲线c,有有dd0.cp xq y (2)对对d中任一分段光滑曲线中任一分段光滑曲线l, 曲线积分曲线积分(3)yqxpdd ),(yxu( , ).du x ypdxqdy (4)在在d 内每一点都有内每一点都有.xqyp ddlp xq y 与路径无关与路径无关, 只与起止点有关只与起止点有关. 函数函数则以下四个条件则以下四个条件等价等价: :在在d内是某一函数内是某一函数的全微分的全微分, ,即存在可微函数即存在可微函数 使使 ),(yxu证明证明 dd0cp

3、 xq y (1)(2):gyxoll ba()ddllp xq y ()llc c即即ddlp xq y dd0lp xq y ,a bg故积分与路径无关故积分与路径无关.有有采用循环方式：采用循环方式：(1)(2)(3)(4)(1),l l 得得ddlp xq y ddlp xq y ddlp xq y (封闭曲线封闭曲线)( , ).m x y(2)(3):ddlp xq y 设设取起点为定点取起点为定点与路径无关与路径无关,只与起终点有关只与起终点有关. 000(,),mxy终点为动点终点为动点ddp xq y 0m m00( , )(,)ddx yxyp xq y ( , )u x

4、y 只须证只须证,.uupqxydddup xq y与路径无关与路径无关ddlp xq y ( , )uudu x ydxdyxy 00(, )(,)ddxx yxyp xq y 00( , )(,)ddx yxyp xq y (, )( , )u xx yu x y 0000( , )(, )( , )(,)( , )(,)ddx yxx yx yxyx yxyp xq y(, )( , )ddxx yx yp xq y (, )(, )( , )( , )ddxx yxx yx yx yp xq y0 (, )( , )u xx yu x y ( , )pyx (, )( , )( , )

5、dxx yx yp x yx 由积分中值定理由积分中值定理 ,x xx 偏增量偏增量定积分定积分(, )( , )u xx yu x y ( , )pyx (, )( , )u xx yu x yx ( , )pyxx 0limx 0limx lim( , )( , )xpyp x y ux 同理可证：同理可证：( , )uq x yy 因因 可微，可微，),(yxu的偏导数存在，的偏导数存在，( , )u x y(3)(4):( , ).pqdu x ypdxqdyyx ( , )du x ypdxqdy , .uupqxy22, .puquyx yxy x ,pqyx因因 连续，连续，偏导

6、数连续，从而相等，偏导数连续，从而相等，于是于是.xqyp 有有故故 的二阶混合的二阶混合( , )u x y(4)(1)dd0 .cpqp xq yyx 由格林公式，对任何闭曲线由格林公式，对任何闭曲线c，它所围成，它所围成的区域为的区域为d,有有dd00.cdp xq ydxdy 证毕证毕.yx0y0 x ,x y 00,x y由定理由定理2 知：知：qpxy 当当满满足足时时，曲线积分与路径无关，可以取路径为平行于曲线积分与路径无关，可以取路径为平行于 00( , )(,),x yxyp x y dxq x y dy 坐标轴的坐标轴的折线折线，即，即00( ,)dxxp x yx 0(

7、, )dyyq x y y 00(, )dyyq x yy 或或0( , )dxxp x yx 000,x yx yx y 0,x yyxo注注1： 0,xyxyo)1 , 1(bxxyxyyp2)2(2 xyxxxq2)(42 解解 pqyx原积分与路径无关原积分与路径无关224 (2)()(0,0)(1,1)lxxy dxxydylob 计计算算，其其中中 为为由由点点到到点点的的曲曲线线弧弧例例6 6sin.2xy .1523 224(2)()lxxy dxxy dy 101042)1(dyydxx (1,1)224(0,0)(2)()boxxy dxxy dy xyo)1 , 1(b1

8、1 00( , )(,),x yxyp x y dxq x y dy 00( ,)dxxp x yx 0( , )dyyq x y y 由定理由定理2知：知： ,qpu x yxy 当当满满足足时时, ,存存在在00( , )(,)( , )x yxyu x ypdxqdy 且且 ,dup x y dxq x y dy使使 由于积分与路径无关，可以取路径为平由于积分与路径无关，可以取路径为平行于坐标轴的折线行于坐标轴的折线,这样就可求出这样就可求出u(x,y). ,.u x ypdxqdy 称称的的原原函函数数为为 ,0.u x ycpdxqdy是是微微分分方方程程的的通通解解称全微分方程称全

9、微分方程全微分全微分注注2：例例7 7 验证验证yyxxyxdd22 是某个函数的是某个函数的全微分全微分, 并求出这个函数并求出这个函数. 证证 设设22,px yqx y 2pqxyyx则则由定理由定理2可知可知,存在函数存在函数 u (x , y) 使使22ddduxyxx y y( , )22(0,0)( , )ddx yu x yxyxx y y 。)0 , 0(。),(yx)0 ,(x00dxxx 20dyx yy 20dyx yy 2212x y 22ddduxyxx y y2212x yc 是全微分方程是全微分方程22dd0 xyxx y y 的通解的通解. .注注2(1,1)

10、2(0,0) ( )(0)0 ( ).lxy dxyx dyxy dxyx dy 设设曲曲线线积积分分与与路路径径无无关关，其其中中 具具有有连连续续的的导导数数，且且，计计算算例例8 8解解,2)(2xyxyyyp ( )( ),qyxyxxx ,),(2xyyxp ( ,)( ),q x yyx 因积分与路径无关因积分与路径无关xqyp 2( )lxy dxyx dy ( )2yxxy 故故 10100ydydx.21 0)0( 0 c2)(xx 又又，知，知故故 )1 , 1()0,0(2)(dyxydxxy ( )2yxxy 2( )xxc 由由 小 结四个等价命题四个等价命题 设设d

11、是平面是平面单连通区域单连通区域,( , ),( , )p x yq x y在在d内具有内具有一阶连续偏导数一阶连续偏导数,则以下四个命题等价：则以下四个命题等价：在在d内与路径无关内与路径无关.qpxy 1.对对d内任意闭曲线内任意闭曲线l有有dd0lpxqy 4.在在d内有内有3.在在d内有内有dupdxqd y2.ddlpxqy 若在某若在某单连域单连域内内, ,函数函数p,q偏导连续偏导连续, ,pqyx 则则且且等价命题的应用等价命题的应用(1)利用等价命题简化第二类曲线积分的计算利用等价命题简化第二类曲线积分的计算可选择方便的积分路径可选择方便的积分路径( (2) ) 可用积分法求

12、可用积分法求dupdxqd y00( , )(,)( , )( , )d( , )dx yxyu x yp x yxq x yy 在在d内的原函数内的原函数: : 因积分与路径无关，故可选择方便的因积分与路径无关，故可选择方便的积分路径积分路径. .比如，平行于坐标轴的折线比如，平行于坐标轴的折线.00( ,)dxxp x yx 0( , )dyyq x y y 00(, )dyyq x yy 或或00( , )(,)( , )( , )d( , )dx yxyu x yp x yxq x yy 0( , )dxxp x yx yx0y0 x ,x y 00,x y 0,x yyxo 0,xy 设设, )56,4(),(grad42234yyxxyxyxu ).,(yxu求求思考题d ( ,