高中数学必修5自主学习导学案：331二元一次不等式(组)与平面区域

1、3.3.1 二元一次不等式（组）与平面区域（教师版）1新课引入一家银行的信贷部计划年投入2500万用于企业和个人贷款，希望这笔钱至少带来100万元的收益，其中从企业贷款中收益12%，从个人贷款中收益10%，设用于企业贷款资金为x万元，用于个人贷款资金为y万元，则怎么得到上述二元一次不等式组的解呢？2二元一次不等式（组）与平面区域我们把含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式我们把几个二元一次不等式组成的不等式组叫做二元一次不等式组满足二元一次不等式组的和的取值构成有序实数对，所有这样的有序实数对构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集，有序实数对可以看昨成直角坐标平面内点

2、的坐标。于是二元一次不等式组的解集就可以看成直角坐标系内点构成的集合。思考1：在平面直角坐标系中，直线将平面分成几部分呢？答：分成三部分:（1）点在直线上；（2）点在直线的右上方；（3）点在直线的左下方思考2：不等式对应平面内哪部分的点呢？直线上的点的坐标满足，那么直线两侧的点的坐标代入中，也等于0吗？先完成上表，再观察有何规律呢？ 规律：同侧同号，异侧异号（1）点集表示直线右上方的平面区域；（2）点集表示直线左下方的平面区域（3）直线叫做这两个区域的边界方法总结：判定二元一次不等式组表示的平面区域的方法是以线定界，以点(原点)定域(以AxByC>0为例)(1)“以线定界”，即画二元一次

3、方程AxByC0表示的直线定边界，其中要注意实线或虚线(2)“以点定域”，由于在直线AxByC0同侧的点，实数AxByC的值的符号都相同，故为了确定AxByC的符号，可采用取特殊点法，如取原点、坐标轴上的点等(3)“交定区” 典型例题考点1二元一次不等式表示的平面区域【例1】判断原点是否在2x3y50所表示的平面区域内，并画出其表示的平面区域解析：将原点(0,0)代入2x3y5，得5>0，不满足已知不等式，因此原点不在2x3y5<0所表示的平面区域内先作直线2x3y50，因不等式中带等号，故应画成实线，由前述其表示的平面区域应为直线2x3y50的不含原点的上方一侧(含直线本身)，如

4、下图点评：应注意不等式所表示的区域是否包含边界，若不包括边界，边界应画成虚线(如果是坐标轴，应通过文字加以说明)变式探究1画出下面二元一次不等式表示的平面区域：(1)x2y40；(2)y>2x.解：(1)画出直线x2y40(画成实线)， 02×0440，x2y40表示的区域为含(0,0)的一侧，因此所求为如图阴影所示的区域，包括边界 (2)画出直线y2x0(画成虚线) 02×12<0，y2x>0(即y>2x)表示的区域为不含(1,0)的一侧，因此所求为如图阴影所示的区域，不包括边界.考点2二元一次不等式组表示的平面区域【例2】画出不等式组表示的平面区

5、域，并指出x，y的取值范围分析：解析：不等式xy50表示直线xy50上及右下方的点的集合；xy0表示直线xy0上及右上方的点的集合；x3表示直线x3上及左方的点的集合所以，不等式组表示的平面区域如图所示结合图中可行域得x，y3,8点评：判定二元一次不等式(组)表示的平面区域的常用方法是以线定界，以点(原点)定域(以AxByC>0为例)(1)“以线定界”，即画二元一次方程AxByC0表示的直线定边界，其中要注意实线或虚线(2)“以点定域”，由于在直线AxByC0同侧的点，实数AxByC的值的符号都相同，故为了确定AxByC的符号，可采用取特殊点法，如取原点、坐标轴上的点等(3)“交定区”

6、变式1画出下列不等式表示的平面区域(1)(xy)(xy1)0；(2)x|y|2x.解析：(1)0xy1，或矛盾无解，故点(x，y)在一带形区域内(含边界)，如图1(阴影部分)图1 图2(2)由x2x，得x0；当y>0时，有点(x，y)在一条形区域内(含边界)；当y0，由对称性得出如图2(阴影部分).考点3二元一次不等式组表示的平面区域的面积【例3】不等式|x|y|2所表示的平面区域的面积为_分析：先通过不等式准确确定所求区域的形状，然后通过相应的距离、面积公式可求该区域的面积解析：不等式|x|y|2等价于不等式组：画在直角坐标系中，如图，易得图形为正方形ABCD，|AB|2，所以S(2)

7、28.变式1满足不等式组的点(x，y)构成的区域的面积为_解析：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(包括边界)易知A点的坐标为(2,3)，B点的坐标为(1,2)，从而可知图中阴影部分的面积为×2×11.考点4二元一次不等式组表示平面区域的实际应用【例4】某工厂用两种不同的原料均可生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1 000元，运费500元；若采用乙种原料，每吨成本1 500元，运费400元若每日预算总成本不得超过6 000元，运费不得超过2 000元，请你列出满足生产条件的数学关系式，并在直角坐标系中画出相应的平面区域分析：先根据限制条件列出不等式组，再根据不

8、等式组画出平面区域解析：将已知数据列成下表：原料成本(元)运费(元)甲1 000500乙1 500400设工厂每日需用甲原料x吨，乙原料y吨，根据题意，则：即画出平面区域，如图 变式1某厂使用两种零件A、B装配甲、乙两种产品，该厂的生产能力是每月生产甲产品最多2500件，每月生产乙产品最多1200件，而且装一件甲产品需要4个A,6个B，装一件乙产品需要6个A,8个B.2014年1月，该厂能用的A最多有14000个，B最多有12000个，用不等式将甲、乙两种产品产量之间的关系表示出来，并画出相应的平面区域解：设每月生产甲产品x件，每月生产乙产品y件，则x、y满足即在平面直角坐标系中，画出上述不等

9、式组表示的平面区域，如下图的阴影部分所示考点5二元一次不等式表示的平面区域的应用【例5】试确定的范围，使点和在的异侧若在同侧呢？解：由于在异侧，则和代入所得数值异号，则有，所以，即：由于在同侧，则和代入所得数值异号则有所以，即：或变式1若二元一次不等式组所表示的平面区域是一个三角形，求的取值范围答案： 5a<7 当堂检测1下面给出的四个点中，位于表示的平面区域内的点是()A(0,2) B(2,0) C(0，2) D(2,0)解析：点(0，2)的坐标满足不等式组故选C项2下列二元一次不等式组中，能表示图中阴影部分的是()A. B. C. D.答案：C3不等式组所表示的平面区域的面积等于()

10、A. B. C. D.解析：平面区域如图解得A(1,1)，易得B(0,4)，C，|BC|4.SABC××1.答案：C4在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是_解析：画出可行域，如图阴影部分所示，则该三角形的面积是×4×24.5画出不等式组所表示的平面区域并求其面积解：如图所示，其中的阴影部分便是欲表示的平面区域由得A(1,3)同理得B(1,1)，C(3，1)|AC|2，而点B到直线2xy50的距离为d，SABC|AC|·d×2×6.6.画出下列不等式(组)表示的平面区域(1)2xy60；(2)(3) 解(1)如图

11、，先画出直线2xy60，取原点O(0,0)代入2xy6中，2×01×0660，与点O在直线2xy60同一侧的所有点(x，y)都满足2xy60，因此2xy60表示直线下方的区域(包含边界)(2)先画出直线xy50(画成实线)，如图，取原点O(0,0)代入xy5，00550，原点在xy50表示的平面区域内，即xy50表示直线xy50上及其右下方的点的集合同理可得，xy0表示直线xy0上及其右上方的点的集合，x3表示直线x3上及其左方的点的集合右上图中阴影部分就表示原不等式组的平面区域(3)不等式xy5表示直线xy50上及左下方的区域不等式x2y3表示直线x2y30右下方的区域不

12、等式x2y0表示直线x2y0上及右上方的区域所以不等式组表示的平面区域如图所示§3.3.1 二元一次不等式（组）与平面区域（学生版）1新课引入一家银行的信贷部计划年投入2500万用于企业和个人贷款，希望这笔钱至少带来100万元的收益，其中从企业贷款中收益12%，从个人贷款中收益10%，设用于企业贷款资金为x万元，用于个人贷款资金为y万元，则怎么得到上述二元一次不等式组的解呢？2二元一次不等式（组）与平面区域我们把含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式我们把几个二元一次不等式组成的不等式组叫做二元一次不等式组满足二元一次不等式组的和的取值构成有序实数对，所有这样

13、的有序实数对构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集，有序实数对可以看昨成直角坐标平面内点的坐标于是二元一次不等式组的解集就可以看成直角坐标系内点构成的集合思考1：在平面直角坐标系中，直线将平面分成几部分呢？答：分成三部分:（1）点在直线上；（2）点在直线的右上方；（3）点在直线的左下方思考2：不等式对应平面内哪部分的点呢？直线上的点的坐标满足，那么直线两侧的点的坐标代入中，也等于0吗？先完成上表，再观察有何规律呢？ 规律：同侧同号，异侧异号（1）点集表示直线右上方的平面区域；（2）点集表示直线左下方的平面区域（3）直线叫做这两个区域的边界方法总结：判定二元一次不等式组表示的平面区域的方法是以

14、线定界，以点(原点)定域(以AxByC>0为例)(1)“以线定界”，即画二元一次方程AxByC0表示的直线定边界，其中要注意实线或虚线(2)“以点定域”，由于在直线AxByC0同侧的点，实数AxByC的值的符号都相同，故为了确定AxByC的符号，可采用取特殊点法，如取原点、坐标轴上的点等(3)“交定区” 典型例题考点1二元一次不等式表示的平面区域【例1】判断原点是否在2x3y50所表示的平面区域内，并画出其表示的平面区域点评：应注意不等式所表示的区域是否包含边界，若不包括边界，边界应画成虚线(如果是坐标轴，应通过文字加以说明)变式1画出下面二元一次不等式表示的平面区域：(1)x2y40；

15、 (2)y>2x.考点2二元一次不等式组表示的平面区域【例2】画出不等式组表示的平面区域，并指出x，y的取值范围点评：判定二元一次不等式(组)表示的平面区域的常用方法：(1)“以线定界”，即画二元一次方程AxByC0表示的直线定边界，其中要注意实线或虚线(2)“以点定域”，由于在直线AxByC0同侧的点，实数AxByC的值的符号都相同，故为了确定AxByC的符号，可采用取特殊点法，如取原点、坐标轴上的点等(3)“交定区” 变式1画出下列不等式表示的平面区域(1)(xy)(xy1)0； (2)x|y|2x.考点3二元一次不等式组表示的平面区域的面积【例3】不等式|x|y|2所表示的平面区域

16、的面积为_变式1满足不等式组的点(x，y)构成的区域的面积为_考点4二元一次不等式组表示平面区域的实际应用【例4】某工厂用两种不同的原料均可生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1 000元，运费500元；若采用乙种原料，每吨成本1 500元，运费400元若每日预算总成本不得超过6 000元，运费不得超过2 000元，请你列出满足生产条件的数学关系式，并在直角坐标系中画出相应的平面区域分析：先根据限制条件列出不等式组，再根据不等式组画出平面区域变式1某厂使用两种零件A、B装配甲、乙两种产品，该厂的生产能力是每月生产甲产品最多2500件，每月生产乙产品最多1200件，而且装一件甲产品需要4个A,6个B，装一件乙产品需要6个A,8个B.2014年1月，该厂能用的A最多有14000个，B最多有12000个，用不等式将甲、乙两种产品产量之间的关系表示出来，并画出相应的平面区域考点5二元一次不等式表示的平面区域的应用【例5】试确定的范