第五节 函数的微分

1、二、微分运算法则二、微分运算法则三、微分在近似计算中的应用三、微分在近似计算中的应用第五节第五节一、微分的概念一、微分的概念 函数的微分函数的微分一、微分的概念一、微分的概念 引例引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为设薄片边长为 x , 面积为面积为 a , 则则,2xa 0 xx面积的增量为面积的增量为220)(xxxa20)(2xxxxx 020 xa xx 02)( x关于关于x 的的线性主部线性主部高阶无穷小高阶无穷小0 x时为时为故故xxa02称为函数在称为函数在 的微分的微分0 x

2、当当 x 在在0 x取取得增量得增量x时时,0 x变到变到,0 xx边长由边长由其其.limlim000 xxxx 则则记记可导可导设函数设函数, )()(,)(xfxxfyxfy , )(limxfxyx 0,)( xfxy )()(1xxxfy :,)1(由两部分构成由两部分构成式表明式表明y xxf )( ,的线性函数的线性函数x .)(,(无无关关与与系系数数的的倍倍数数xxfx .0lim0 x其中其中x ,的高阶无穷小的高阶无穷小x .)(,的主要部分的主要部分成了成了很小时很小时当当yxxfx ,2 . 0,30.cmrcmr 半半径径增增加加的的圆圆盘盘受受热热膨膨胀胀半半径径

3、例例.s 分析圆面积的增量分析圆面积的增量:圆面积公式圆面积公式:圆面积的增量圆面积的增量22rrrs )( .22rrr ,2rs ,122 . 030222cmrr 其中其中.22204020cmr .2的主要组成部分的主要组成部分是是的线性函数的线性函数srrr .定义定义)()()(00 xfxxfyxfy 的增量的增量设函数设函数可表示为可表示为)(xoxay .无关的常数无关的常数是与是与其中其中xa ,)(0可微可微在点在点则称函数则称函数xxfy xa .)(0的微分的微分在点在点为为xxfy :记作记作xaydxx 0.的线性主部的线性主部叫做函数增量叫做函数增量微分微分yy

4、d .)()(.00点可导点可导在在点可微点可微在在定理定理xxfyxxfy 可导可导可微可微:.见本节开头的分析见本节开头的分析证证 xxxfy )(, )()()(00 xoxaxfxxfy ,)(xxoaxy .lim,00axyxx 则则令令.)(,)(00点可导点可导在在即即xxfyaxf .)(,)(00 xxfydxxfy 点可微时点可微时在在当当,)(可微时可微时当当xfy .)(:xxxxdx 的微分的微分自变量自变量.)(xdxfyd.)(:导数又叫微商导数又叫微商得得两端同除两端同除 xfxdydxd#.)(xxfyd 可微可微)(xf)(xfy 0 xm mn nt t

5、dyy)( xo ）xyo x 二、二、 微分的几何意义微分的几何意义 ( (如图如图) )xx0 p p ,是曲线的纵坐标增量是曲线的纵坐标增量y .是切线的纵坐标增量是切线的纵坐标增量yd,很小时很小时当当x .ydy 1.,.2mnmpm可近似代替曲线段可近似代替曲线段切线段切线段的附近的附近在点在点115p tan)(xxxfyd 例如例如,3xy yd02. 0d2xx23xxd02. 0d2xx24. 0,arctan xy ydxxd112 基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式 (见见 p115表表)又如又如,）(d112dxx cx arctan设设 u(x) , v(

6、x) 均可微均可微 , 则则)(d. 1vu )(d. 2uc(c 为常数为常数)(d. 3vu)0()(d. 4 vvu分别可微分别可微 ,)(, )(xuufy )(xfy 的微分为的微分为xyyxdd xxufd)()( uduufyd)(d 微分形式不变性微分形式不变性5. 复合函数的微分复合函数的微分则复合函数则复合函数vudd ucd vuuvdd 2ddvvuuv 式与微分运算法则式与微分运算法则基本初等函数的微分公基本初等函数的微分公三三xyshtanarccosln. 例例)shtanarc(cosshtanarccosxdxdy1xshtanarccos1)shtanarc

7、()shtanarcsin(xdxxshtanarctan)(shshxdx211xdxxxchchsh21.thxdx.th xxdyd 用逐步微分的方用逐步微分的方法达到求导的目的，法达到求导的目的，此方法常被采用。此方法常被采用。 求导和求微分的求导和求微分的方法统称微分法方法统称微分法。 但导数和微分是但导数和微分是两个不同的概念。两个不同的概念。例例2. 设,0)cos(sin yxxy求求 .dy解解: (法一法一) 利用一阶微分形式不变性利用一阶微分形式不变性 , 有有0)d(cos()sin(d yxxyxxyyxdcosdsin )sin(yx 0)d(d yxxyd d )

8、sin(cosyxxy xyxsin)sin( (法二法二) 先求出先求出 y , xyxycossin 对隐函数两边求导对隐函数两边求导,得得 )sin(yx 0) 1( yxyxyxxyysin)sin()sin(cos dxydy dxxyxyxxysin)sin()sin(cos dyy 当当x很小时很小时,)()(00 xfxxfy xxf)(0 xxfxfxxf )()()(000 xxx 0令令使用原则使用原则:;)(, )()100好算好算xfxf .)20靠近靠近与与xx)()()(000 xxxfxfxf 得近似等式得近似等式:xxf )(0用用微分在近似计算中的应微分在近

9、似计算中的应四四特别当特别当xx,00很小时很小时,xffxf)0()0()( 常用近似公式常用近似公式:x 1 )1()1(x很小很小)x(xxxx1 xsin)2( xe)3( xtan)4( )1ln()5(x证明证明: 令令 )1()(xxf 得得,1)0( f )0(f,很小时很小时当当 xxx 1)1(dyy )0()(fxfxf )0( xxf )( 0180d xx29sin的近似值的近似值 .解解: 设设,sin)(xxf 取取300 x,6 6sin6cos2123)0175. 0(485. 0)180(例例3. 求求29sin5 . 030sin dxxfdyy)(0 3

10、0sin29sin30cosx5245的近似值的近似值 .解解:24335 524551)2243( 51)24321(3 3)2432511( 0048. 3 例例4. 计算计算xx 1)1(例例5. 有一批半径为有一批半径为1cm 的球的球, 为了提高球面的光洁度为了提高球面的光洁度,解解: 已知球体体积为已知球体体积为334rv 镀铜体积为镀铜体积为 v 在在01. 0,1 rr时体积的增量时体积的增量,vvvd01. 01rrrr 24 01. 01rr)(cm13. 03因此每只球需用铜约为因此每只球需用铜约为16. 113. 09 . 8( g )用铜多少克用铜多少克 . )cmg

11、9 . 8:(3铜的密度铜的密度估计一下估计一下, 每只球需每只球需要镀上一层铜要镀上一层铜 , 厚度定为厚度定为 0.01cm , 内容小结内容小结)()()(.xoxaxfxxf 1,)(可微可微xf .)(的微分的微分为为xfyxa .)(xdxfyd 公式公式,.2可导可导可微可微,.3微分的几何意义微分的几何意义,)(vdudvud,)(udvvduvud,2vvduudvvud.)()()(xdxufudufyd .21vvdvd)23(,.4条条基本公式基本公式:.5运算法则运算法则导数与微分的区别导数与微分的区别: :.,)(),()(. 100000它是无穷小它是无穷小实际上

12、实际上的定义域是的定义域是它它的线性函数的线性函数是是而微分而微分处的导数是一个定数处的导数是一个定数在点在点函数函数rxxxxxfdyxfxxf )(limlim0000 xxxfdyxxxx . 0 .)(,()()()(,)(,()()(,. 200000000的纵坐标增量的纵坐标增量线方程在点线方程在点处的切处的切在点在点是曲线是曲线而微分而微分处切线的斜率处切线的斜率点点在在是曲线是曲线从几何意义上来看从几何意义上来看xxfxxfyxxxfdyxfxxfyxf 思考题思考题思考题解答思考题解答说法不对说法不对. . 从概念上讲，微分是从求函数增量引从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念的极限，它们是完全不同的概念. . 思考与练习思考与练习1. 设函数)(xfy 的图形如下, 试在图中标出的点0 x处的yy ,d及,dyy 并说明其正负 .yd0 xx00 xxyoy00yyd2. 设设 ,0a且且,n