高中数学人教A版选修11教学案：第一章 1.1 命题及其关系 Word版含答案

1、高中数学选修精品教学资料第 1 课时命题核心必知1预习教材,问题导入根据以下提纲,预习教材 p2p4,回答下列问题观察教材 p2“思考”中的 6 个语句(1)这 6 个语句都是陈述句吗？提示：是(2)能否判断这 6 个语句的真假性？提示：能2归纳总结,核心必记命题及相关概念命题定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句分类真命题：判断为真的语句假命题：判断为假的语句形式：“若 p，则 q”.其中 p 叫做命题的条件，q 叫做命题的结论问题思考(1)“x5”是命题吗？提示：不是(2)陈述句一定是命题吗？提示：不一定(3)命题“当 x2 时,x23x20”的条件和结论各是什么？提示：条件

2、：x2；结论：x23x20(4)“若 p 则 q”形式的命题一定是真命题吗？提示：不一定(5)数学中的定义、公理、定理、推论是真命题吗？提示：是课前反思(1)命题的定义是：；(2)真、假命题的定义是：；(3)命题的条件和结论的定义是：思考一个语句是命题应具备哪两个要素？提示：(1)是陈述句；(2)可以判断真假讲一讲1判断下列语句中,哪些是命题？(链接教材 p2例 1)(1)函数 f(x)1x在定义域上是减函数；(2)一个整数不是质数就是合数；(3)3x22x1；(4)在平面上作一个半径为 4 的圆；(5)若 sincos,则45；(6)2100是一个大数；(7)垂直于同一个平面的两条直线一定平

3、行吗？(8)若 xr,则 x220.尝试解答(1)是陈述句,且能判断真假,是命题(2)是陈述句,且能判断真假,是命题(3)当 xr 时,3x22x 与 1 的大小关系不确定,无法判断其真假,不是命题(4)不是陈述句,不是命题(5)是陈述句,且能判断真假,是命题(6)是陈述句,但是“大数”的标准不确定,所以无法判断其真假,不是命题(7)不是陈述句,不是命题(8)是陈述句,且能判断真假,是命题(1)一个语句是命题应具备两个条件：一是陈述句；二是能够判断真假一般来说,疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题(2)对于含有变量的语句,要注意根据变量的取值范围,看能否判断真假若能,就是命题；若不能,就不是命题

4、(3)还有一些语句,目前无法判断真假,但从事物的本质而论,这些语句是可辨别真假的,尤其是科学上的一些猜想等,这类语句也叫做命题(4)数学中的定义、公理、定理和推论都是命题练一练1下列语句中是命题的有_(填序号)地球是太阳的一个行星甲型 h1n1 流感是怎样传播的？若 x,y 都是无理数,则 xy 是无理数若直线 l 不在平面内,则直线 l 与平面平行60 x94.求证： 3是无理数解析：根据命题的概念进行判断因为是疑问句,所以不是命题因为中自变量x 的值不确定,所以无法判断其真假,故不是命题因为是祈使句,所以不是命题,故填.答案：2判断下列语句是否是命题,并说明理由(1)3是有理数；(2)3x

5、25；(3)梯形是不是平面图形呢？(4)x2x70.解：(1)“3是有理数”是陈述句,并且它是假的,所以它是命题(2)因为无法判断“3x25”的真假,所以它不是命题(3)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句,所以它不是命题(4)因为 x2x7x1222740,所以“x2x70”是真的,故是命题讲一讲2把下列命题改写成“若 p,则 q”的形式,并指出条件与结论(链接教材 p3例 2、例3)(1)等边三角形的三个内角相等；(2)当 a1 时,函数 yax是增函数；(3)菱形的对角线互相垂直尝试解答(1)若一个三角形是等边三角形,则它的三个内角相等其中条件 p：一个三角形是等边三角形,结论 q：它的三

6、个内角相等(2)若 a1,则函数 yax是增函数其中条件 p：a1,结论 q：函数 yax是增函数(3)若四边形是菱形,则它的对角线互相垂直其中条件 p：四边形是菱形,结论 q：四边形的对角线互相垂直(1)对命题改写时,一定要找准命题的条件和结论,有些命题的形式比较简洁,条件和结论不明显,写命题的条件和结论时需要适当加以补充,例如命题 “对顶角相等” 的条件应写成“若两个角是对顶角”,结论为“这两个角相等” (2)在对命题改写时,要注意所叙述的条件和结论的完整性,有些命题中,还要注意大前提的写法例如,命题“在abc 中,若 ab,则 ab”中,大前提“在abc 中”是必不可少的练一练3将下列命

7、题改写为“若 p,则 q”的形式(1)当 ab 时,有 ac2bc2;(2)实数的平方是非负实数；(3)能被 6 整除的数既能被 3 整除也能被 2 整除；(4)已知 x,y 为正整数,当 yx1 时,必有 y4,x3.解：(1)若 ab,则 ac2bc2.(2)若一个数是实数,则它的平方是非负实数(3)若一个数能被 6 整除,则它既能被 3 整除也能被 2 整除(4)已知 x,y 为正整数,若 yx1,则 y4,x3.讲一讲3判断下列各命题的真假,并说明理由(1)若 a2b2,则 ab；(2)在abc 中,当 a60时,必有 sin a32；(3)两个向量相等,它们一定是共线向量；(4)直线

8、 yx 与圆(x1)2(y1)21 相切尝试解答(1)假命题例如,当 a3,b1 时,a2b2,但 ab 不成立(2)假命题例如,当 a150时,a60,但 sin a12,不满足 sin a32.(3)真命题当两个向量相等时,它们的模相等,方向相同,符合共线向量的定义,它们一定是共线向量(4)假命题圆心(1,1)到直线 yx 的距离为 d 21,所以直线与圆相离(1)判断一个命题的真假时,首先要弄清命题的结构,即它的条件和结论分别是什么,把它写成“若 p,则 q”的形式,然后联系其他相关的知识,经过逻辑推理或列举反例来判定(2)一个命题要么真,要么假,二者必居其一当一个命题改写成“若 p,则

9、 q”的形式之后,判断这种命题真假的办法：若由“p”经过逻辑推理,得出“q”,则可判定“若 p,则 q”是真；判定“若 p,则 q”是假,只需举一反例即可练一练4下列命题中是真命题的是()a若 3a,3b,则 ab3b若 x2x20,则 x1c若函数 f(x)x2x,则 f(x)有最小值14d若 log2x1,则 x2答案：c5判断下列命题的真假,并说明理由(1)正方形既是矩形又是菱形；(2)当 x4 时,2x10；(3)若 x3 或 x7,则(x3)(x7)0；(4)一个等比数列的公比大于 1 时,该数列一定为递增数列解：(1)是真命题,由正方形的定义知,正方形既是矩形又是菱形(2)是假命题

10、,x4 不满足 2x10.(3)是真命题,由 x3 或 x7 能得到(x3)(x7)0.(4)是假命题,因为当等比数列的首项 a11 时,该数列为递减数列课堂归纳感悟提升1本节课的重点是命题的真假判断,难点是命题的构成形式和命题的真假判断2本节课要重点掌握的规律方法(1)将命题改写成“若 p,则 q”的形式,找准命题的条件和结论,见讲 2.(2)判断命题的真假性,见讲 3.3本节课的易错点是将含有大前提的命题写成“若 p,则 q”的形式时,大前提应保持不变,且不写在条件 p 中课时达标训练（一）即时达标对点练题组 1命题的概念1下列语句中是命题的是()a周期函数的和是周期函数吗？bsin 00

11、c求 x22x10 的解集d作abcefg解析：选 ba 选项是疑问句,c、d 选项中的语句是祈使句,都不是命题2以下语句中：0n；x2y20；x2x；x|x210其中命题的个数是()a0b1c2d3解析：选 b是命题,且是假命题；、不能判断真假,不是命题；不是陈述句,不是命题题组 2命题的构成形式3把命题“末位数字是 4 的整数一定能被 2 整除”改写成“若 p,则 q”的形式为_答案：若一个整数的末位数字是 4,则它一定能被 2 整除4 命题 “若 a0,则二元一次不等式 xay10 表示直线 xay10 的右上方区域(包含边界)”的条件 p：_,结论 q：_它是_命题(填“真”或“假”)

12、解析：a0 时,设 a1,把(0,0)代入 xy10 得10 不成立,xy10 表示直线的右上方区域,命题为真命题答案：a0二元一次不等式 xay10 表示直线 xay10 的右上方区域(包含边界)真5把下列命题改写成“若 p,则 q”的形式,并判断真假,且指出 p 和 q 分别指什么(1)乘积为 1 的两个实数互为倒数；(2)奇函数的图象关于原点对称；(3)与同一直线平行的两个平面平行解：(1)“若两个实数乘积为 1,则这两个实数互为倒数” 它是真命题p：两个实数乘积为 1,q：两个实数互为倒数(2)“若一个函数为奇函数；则它的图象关于原点对称” 它是真命题p：一个函数为奇函数；q：函数的图

13、象关于原点对称(3)“若两个平面与同一条直线平行,则这两个平面平行” 它是假命题,这两个平面也可能相交p：两个平面与同一条直线平行；q：两个平面平行题组 3判断命题的真假6下列命题是真命题的是()a所有质数都是奇数b若 a b,则 abc对任意的 xn,都有 x3x2成立d方程 x2x10 有实根解析：选 b选项 a 错,因为 2 是偶数也是质数；选项 b 正确；选项 c 错,因为当 x0时 x3x2不成立；选项 d 错,因为12430,所以方程 x2x10 无实根7下列命题中真命题有()mx22x10 是一元二次方程；抛物线 yax22x1 与 x 轴至少有一个交点；互相包含的两个集合相等；

14、空集是任何集合的真子集a1 个b2 个c3 个d4 个解析：选 a中,当 m0 时,是一元一次方程；中当44ab,则 acbc;矩形的对角线互相垂直a1b2c3d4解析：选 a错；中若 x3,y0,则 xy0,但|x|y|0,故错；正确；中矩形的对角线不一定互相垂直9下列命题：yx23 为偶函数；0 不是自然数；xn|0 x12是无限集；如果 ab0,那么 a0,或 b0.其中是真命题的是_(写出所有真命题的序号)解析：为真命题；为假命题答案：能力提升综合练1设 a、b、c 是任意非零平面向量,且相互不共线,则：(ab)c(ca)b；|a|b|ab|; (bc)a(ca)b 不与 c 垂直；(

15、3a2b)(3a2b)9|a|24|b|2,是真命题的有()abcd解析：选 d错,数量积不满足结合律；对,由向量减法的三角形法则可知有|a|b|ab|；(bc)a(ca)bc(bc)(ac)(ca)(bc)0.错；对2已知 a,b 为两条不同的直线,为两个不同的平面,且 a,b,则下列命题中,假命题是()a若 ab,则b若,则 abc若 a,b 相交,则,相交d若,相交,则 a,b 相交解析：选 d由已知 a,b,若,相交,a,b 有可能异面3给出命题“方程 x2ax10 没有实数根”,则使该命题为真命题的 a 的一个值可以是()a4b2c0d4解析：选 c方程无实根时,应满足a240 不成

16、立”是真命题,则实数 a 的取值范围是_解析：ax22ax30 不成立,ax22ax30 恒成立当 a0 时,30 恒成立；当 a0 时,则有a0，4a212a0，解得3aa,b：x1,请选择适当的实数 a,使得利用 a,b 构造的命题“若 p,则 q”为真命题解：若视 a 为 p,b 为 q,则命题“若 p,则 q”为“若 x1a5,则 x1” 由命题为真命题可知1a51,解得 a4；若视 b 为 p,a 为 q,则命题“若 p,则 q”为“若 x1,则 x1a5” 由命题为真命题可知1a51,解得 a4.故 a 取任一实数均可利用 a,b 构造出一个真命题,比如这里取 a1,则有真命题“若

17、 x1,则 x25” 第 2 课时四种命题及四种命题间的相互关系核心必知1预习教材,问题导入根据以下提纲,预习教材 p4p8的内容,回答下列问题观察教材 p4“思考”中的 4 个命题：(1)这 4 个命题的条件和结论各是什么？提示：命题(1)的条件：f(x)是正弦函数,结论：f(x)是周期函数；命题(2)的条件：f(x)是周期函数,结论：f(x)是正弦函数；命题(3)的条件：f(x)不是正弦函数,结论：f(x)不是周期函数；命题(4)的条件：f(x)不是周期函数,结论：f(x)不是正弦函数(2)命题(1)的条件和结论与命题(2)、(3)、(4)的条件和结论之间有什么关系？提示：命题(1)的条件

18、和结论分别是命题(2)的结论和条件；命题(1)的条件和结论分别是命题(3)的条件的否定和结论的否定；命题(1)的条件和结论分别是命题(4)的结论的否定和条件的否定(3)根据上述四种命题的概念,你能说出其中任意两个命题之间的相互关系吗？提示：命题(2)(3)互为逆否命题；命题(2)(4)互为否命题；命题(3)(4)互为逆命题2归纳总结,核心必记(1)四种命题的概念互逆命题：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,这样的两个命题叫做互逆命题,把其中的一个命题叫做原命题,另一个命题叫做原命题的逆命题互否命题：一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定,这样的两个命题叫做互

19、否命题,把其中的一个命题叫做原命题,另一个命题叫做原命题的否命题互为逆否命题： 一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定,这样的两个命题叫做互为逆否命题,把其中的一个命题叫做原命题,另一个命题叫做原命题的逆否命题(2)四种命题结构(3)四种命题间的相互关系(4)四种命题的真假性一般地,四种命题的真假性,有且仅有下面四种情况：原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假由于逆命题和否命题也互为逆否命题,因此四种命题的真假性之间的关系如下：两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系问题思考(1)命题“若 a0,则

20、ab0”的逆命题、否命题和逆否命题各是什么？提示：逆命题：若 ab0,则 a0；否命题：若 a0,则 ab0；逆否命题：若 ab0,则 a0(2)在四种命题中,原命题是固定的吗？提示： 不是 原命题是指定的,是相对于其他三种命题而言的,可以把任何一个命题看作原命题,进而研究它的其他命题形式(3)如果一个命题的逆命题为真命题,这个命题的否命题一定为真命题吗？提示： 一定为真命题,因为一个命题的逆命题和否命题互为逆否命题,所以它们的真假性相同(4)在四种命题中,真命题的个数可能会有几种情况？提示：因为原命题与逆否命题,逆命题和否命题互为逆否命题,它们同真同假,所以真命题的个数可能为 0,2,4课前

21、反思(1)四种命题的概念是：；(2)四种命题的条件和结论之间有什么关系？；(3)四种命题的真假性有什么关系？讲一讲1写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题：(1)若 x2,则 x30;(2)两条对角线相等的四边形是矩形尝试解答(1)逆命题：若 x30,则 x2；否命题：若 x2,则 x30；逆否命题：若 x30,则 x2.(2)原命题可写为：若一个四边形的两条对角线相等,则这个四边形是矩形逆命题：若一个四边形是矩形,则其两条对角线相等；否命题：若一个四边形的两条对角线不相等,则这个四边形不是矩形；逆否命题：若一个四边形不是矩形,则其两条对角线不相等写出一个命题的其他三种命题的步骤(1)分析命题

22、的条件和结论；(2)将命题写成“若 p,则 q”的形式；(3)根据逆命题、否命题、逆否命题各自的结构形式写出这三种命题注意如果原命题含有大前提,在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时,必须注意各命题中的大前提不变练一练1分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题：(1)正数的平方根不等于 0；(2)若 x2y20(x,yr),则 x,y 全为 0.解：(1)逆命题：若一个数的平方根不等于 0,则这个数是正数；否命题：若一个数不是正数,则这个数的平方根等于 0；逆否命题：若一个数的平方根等于 0,则这个数不是正数(2)逆命题：若 x,y 全为 0,则 x2y20(x,yr)；否命题：若 x2y

23、20(x,yr),则 x,y 不全为 0；逆否命题：若 x,y 不全为 0,则 x2y20(x,yr)思考 1若原命题为真,则它的逆命题、否命题的真假性是怎样的？名师指津：由于原命题的真假性与它的逆命题、否命题的真假性之间没有关系,所以无法判断它的逆命题、否命题的真假性思考 2若原命题为真,它的逆否命题的真假性如何？名师指津：原命题和它的逆否命题具有相同的真假性讲一讲2写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断它们的真假(1)在abc 中,若 ab,则 ab；(2)相等的两个角的正弦值相等；(3)若 x22x30,则 x3;(4)若 xa,则 xab.尝试解答(1)逆命题：在abc 中,若

24、 ab,则 ab.真命题；否命题：在abc 中,若 ab,则 ab,真命题；逆否命题：在abc 中,若 ab,则 ab.真命题(2)逆命题：若两个角的正弦值相等,则这两个角相等假命题；否命题：若两个角不相等,则这两个角的正弦值也不相等假命题；逆否命题：若两个角的正弦值不相等,则这两个角不相等真命题(3)逆命题：若 x3,则 x22x30.真命题；否命题：若 x22x30,则 x3.真命题；逆否命题：若 x3,则 x22x30.假命题(4)逆命题：若 xab,则 xa.真命题；否命题：若 xa,则 xab.真命题；逆否命题：若 xab,则 xa.假命题判断一个命题的真假,可以有两种方法： 一是分

25、清原命题的条件和结论,直接对原命题的真假进行判断； 二是不直接写出命题,而是根据命题之间的关系进行判断,即原命题和逆否命题同真同假,逆命题和否命题同真同假,尤其是当命题本身不易判断真假时,通常都通过判断其逆否命题的真假来实现练一练2有下列四个命题：(1)“若 xy0,则 x,y 互为相反数”的否命题；(2)“若 xy,则 x2y2”的逆否命题；(3)“若 x3,则 x2x60”的否命题；(4)“对顶角相等”的逆命题其中真命题的个数是()a0b1c2d3解析：选 b(1)原命题的否命题与其逆命题有相同的真假性,其逆命题为“若 x,y 互为相反数,则 xy0”,为真命题；(2)原命题与其逆否命题具

26、有相同的真假性,而原命题为假命题(如 x0,y1),故其逆否命题为假命题；(3)该命题的否命题为“若 x3,则 x2x60”,很明显为假命题；(4)该命题的逆命题是“相等的角是对顶角”,显然是假命题3 在命题 “若 a3,则 a6” 的逆命题、 否命题、 逆否命题中假命题个数是_解析：容易判断,命题“若 a3,则 a6”为真命题,而逆否命题与原命题同真假,从而它的逆否命题也是真命题；它的否命题为“若 a3,则 a6”,是假命题,而否命题与逆命题同真假,则它的逆命题也是假命题答案：2思考我们学习了四种命题的关系,那么在直接证明某一个命题为真命题有困难时,该怎么办？名师指津：可以通过证明它的逆否命

27、题为真命题来解决讲一讲3(1)判断命题“已知 a,x 为实数,若关于 x 的不等式 x2(2a1)xa220 的解集不是空集,则 a1”的逆否命题的真假(2)(链接教材 p8例 4)证明： 已知函数 f(x)是(,)上的增函数,a、 br,若 f(a)f(b)f(a)f(b),则 ab0.尝试解答(1)法一：原命题的逆否命题：“已知 a,x 为实数,若 a1,则关于 x 的不等式 x2(2a1)xa220 的解集为空集 ”真假判断如下：因为抛物线 yx2(2a1)xa22 开口向上,判别式(2a1)24(a22)4a7,若 a1,则 4a70.即抛物线 yx2(2a1)xa22 与 x 轴无交

28、点所以关于 x 的不等式 x2(2a1)xa220 的解集为空集故原命题的逆否命题为真法二：先判断原命题的真假因为 a,x 为实数,且关于 x 的不等式 x2(2a1)xa220 的解集不是空集,所以(2a1)24(a22)0,即 4a70,所以 a1.所以原命题成立又因为原命题与其逆否命题等价,所以逆否命题为真(2)原命题的逆否命题为“已知函数 f(x)是(,)上的增函数,a,br,若 ab0,则 f(a)f(b)f(a)f(b) ”当 ab0 时,ab,ba,又f(x)在(,)上是增函数,f(a)f(b),f(b)f(a)f(a)f(b)2,则m2n22” 由于 mn2,则 m2n212(

29、mn)212222,所以 m2n22.故原命题的逆否命题为真命题,从而原命题也为真命题课堂归纳感悟提升1本节课的重点是四种命题的概念以及四种命题间的关系,难点是等价命题的应用2本节课要重点掌握的规律方法(1)写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题,并会判断真假,见讲 1 和讲 2.(2)用原命题和逆否命题的等价性解决相关问题,见讲 3.3每一个命题都由条件和结论组成,要分清条件和结论4 判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断,这也是反证法的理论基础课时达标训练（二）即时达标对点练题组 1四种命题的概念1命题“若 aa,则 bb”的否命题是()a若 aa,则 bbb若 aa,则 bb

30、c若 bb,则 aad若 bb,则 aa解析：选 b命题“若 p,则 q”的否命题是“若綈 p,则綈 q”,“”与“”互为否定形式2命题“若 x1,则 x0”的逆命题是_,逆否命题是_答案：若 x0,则 x1若 x0,则 x13下列命题中：若一个四边形的四条边不相等,则它不是正方形；正方形的四条边相等；若一个四边形的四条边相等,则它是正方形其中互为逆命题的有_；互为否命题的有_；互为逆否命题的有_(填序号)答案：和和和题组 2四种命题的真假判断4下列命题中为真命题的是()a命题“若 xy,则 x|y|”的逆命题b命题“若 x1,则 x21”的否命题c命题“若 x1,则 x2x20”的否命题d命

31、题“若 x21,则 x1”的逆否命题解析：选 a对 a,即判断： “若 x|y|,则 xy”的真假,显然是真命题5命题“若 m10,则 m2100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题是()a原命题、否命题b原命题、逆命题c原命题、逆否命题d逆命题、否命题解析：选 c因为原命题是真命题,所以逆否命题也是真命题6命题“若 x1,则 x210”的真假性为_解析：可转化为判断命题的逆否命题的真假,由于原命题的逆否命题是： “若 x210,则 x1”,因为 x210,x1,所以该命题是假命题,因此原命题是假命题答案：假命题题组 3等价命题的应用7判断命题“若 m0,则方程 x22x3m0

32、有实数根”的逆否命题的真假解：m0,12m0,12m40.方程 x22x3m0 的判别式12m40.原命题“若 m0,则方程 x22x3m0 有实数根”为真又原命题与它的逆否命题等价,所以 “若 m0,则方程 x22x3m0 有实数根”的逆否命题也为真8证明：若 a24b22a10,则 a2b1.证明： “若 a24b22a10,则 a2b1”的逆否命题为： “若 a2b1,则 a24b22a10”,当a2b1时,a24b22a1(2b1)24b22(2b1)14b24b14b24b210,故该命题的逆否命题为真命题,从而原命题也是真命题能力提升综合练1若命题 p 的否命题为 q,命题 p 的逆否命题为 r,则 q 与 r 的关系是()a互逆命题b互否命题c互为逆否命题 d以上都不正确解析：选 a设 p 为“若 a