线性代数课件欧几里得空间

1、第六章 欧几里得空间 前面介绍的线性空间，是前面介绍的线性空间，是n维向量空间维向量空间r的抽象与深化的抽象与深化到目前为止我们在线性空间中只涉及到向量的加法与数乘到目前为止我们在线性空间中只涉及到向量的加法与数乘然而在三维空间中还有许多重要的几何概念和运算，例如然而在三维空间中还有许多重要的几何概念和运算，例如向量的长度，向量之间的夹角等概念以及向量的内积在线向量的长度，向量之间的夹角等概念以及向量的内积在线性空间中都没有涉及及讨论性空间中都没有涉及及讨论第一节第一节 欧几里得空间欧几里得空间1. 空间向量及两向量的夹角空间向量及两向量的夹角 (回顾回顾)实际问题中, 既有大小又有方向的物理

2、量称为几何上用有向线段表示一个向量, 线段的长度表示向量的大小. 空间向量为 在直角坐标系下, 将向量的起点移至原点, 称之为. 向量 m(x, y, z)om = (x, y, z)向量 = (x, y, z) 的 222|zyx 向量的,|arccos x,|arccos y.|arccos z将空间两向量 , 的起点移至一点o, 两有向线段的夹角 (0 )，称为向量 与 的, 当2时，称 与 记作 . 当 = 0 或 时，称 与 记作 / . o记为(a, b)例如, 常力 f 作用于物体, 使之产生位移 s, sf),cos(sf s f w2. 空间向量的内积空间向量的内积.这个力所

3、作的功为定义定义: :设设 , r3, 记记 与与 的夹角为的夹角为) ), ,( ( , 称数称数),cos( 为向量为向量 与与 的的 记为记为 , 即即),cos( (1)( 勾股定理勾股定理 ) 设设 1, 2 , , k 是是 n 维欧氏空间维欧氏空间 rn 中的向量中的向量, 且且 i j 时时, ( i , j ) = 0 , 则则 221|k ),(2121kkkikiikiiki ,12111),(),(),(2211kk .|22221k 上一页, 与 的夹角),( ,arccos 212121zzyyxx. 0 的长度因为 = x12+y12+z12 ,|),cos( (

4、 , 0 ) ., 所以4. 用内积表示向量的长度及向量的夹角用内积表示向量的长度及向量的夹角上一页定义定义: :1. rn 中向量内积定义中向量内积定义设设 , rn, = (x1, x2, , xn), = (y1, y2, , yn), 称数称数 x1 y1 + x2 y2 + + xn yn 为为 与与 的的 记为记为( , ) , 即即( , ) = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn (3)2、内积的性质、内积的性质设 , ,则rn , kr, 则上面定义的内积满足以下性质：),(,( ) ),(),(), kkk(, 0,() 当且仅当 = 0 时, 等号成立 .性质

5、 (1) 到 (4) 的证明可由内积定义直接推得.(1)(2)(3)(4),(),(,( ) 定义定义: :定义定义: :称定义了内积的称定义了内积的 n 维实向量空间维实向量空间 rn 为为 n 维欧几里得维欧几里得 (euclid) 空间空间, 简称欧简称欧氏空间氏空间, 仍记作仍记作rn.三维欧氏空间 r3 具有直观性,习惯上称之为 r3 中向量长度及两向量的夹角等概念通过内积可平行推广到 rn, 使 n 维欧氏空间设设 = (x1, x2, , xn) rn, 的的| | 定义为定义为),(, 即即 (4)特别地,1| 时, 称 为当, 0 2),( 221 故称 为 的=1 ,)|,

6、(|2 | | | 定义：定义：1. 正交向量组正交向量组:如果欧氏空间中的向量组如果欧氏空间中的向量组 1, 2 , , m 中任意两个向量都是相互中任意两个向量都是相互正交的正交的, 即即 ( i, j ) = 0, i j, i, j = 1, 2, , m, 则称则称 1, 2 , , m 为为定理：定理：欧氏空间中不含零向量的正交向量组是线性无关的欧氏空间中不含零向量的正交向量组是线性无关的.设 1, 2 , , m是一个正交的向量组, 又设 k1 1 + k2 2 + km m = 0则jjmjik1, 0),(iiik ., 2, 1mi mjjijk1),( ),(),(),(

7、2211mmiiikkk 由于, 0)(,ii 故 ki = 0, 故 1, 2 , , m 线性无关., 2, 1mi 上一页定义定义2 22. 标准正交基标准正交基设设 1, 2 , , n rn, 如果如果),(ji ,1ji , ,0ji .,2,1ni 则称则称 1, 2 , , n 是是 rn 的一组的一组显然)0 , , 0 , 1 (1e ), 0 , , 0 , 1 , 0(2e) 1 , 0 , , 0( ,ne是 rn 的标准正交基.在 r3 中,),0 , 0 , 1 (i),0 , 1 , 0(j) 1 , 0 , 0(k分别为三个坐标轴正向的单位矢量.上一页 下面讨

8、论由 rn 的一组基构造 rn 的标准正交基的方法, 为直观起见, 先从 r3 开始讨论. o , r3 在 上的投影为：|),(|),cos(| .|),( 在 上的投影向量为： |),(|),(.),(),( 为了便于讨论,首先介绍一个向量在另一向量上的投影及投影向量. 设 1, 2 , 3 是 r3 的一组基, 令 1 = 1, 将 2 在 1 上的投影向量记为 2, 则 2= k12 1, 其中.),(),(111212 k22o11再取,1122222 k则 2 1.1=122222o将 在 1, 2 上的投影向量分别记为,2313 3 在 1, 2 所在平面上的投影向量为 3 .则

9、23133 ,223113 kk其中,),(),(111313 k.),(),(222323 k31323123取333 ,2231133 kk则,13 .23 因此321, 是两两正交的非零向量组.再将321, 单位化,即取, ) 3, 2, 1( , iiii 321, 则就是r3 的一组标准正交基.113232333上一页一般地, 设m ,21是 rn 中的一个线性无关组, 取;11 ;),(),(1111222 .),(),(),(),(),(),(111122221111mmmmmmmmm ;),(),(),(),(222231111333 容易验证m ,21两两正交, 上述由m ,

10、1得到m ,21的过程称之为 将这 个正交化的向量组再单位化, 即取miiii , 2, 1 就得到正交的单位向量组 ,21m 称之为上述从线性无关组求得标准正交组的方法称为上一页例 1设 r3 的一组基为 1 = (1, 2, 1), 2 = (1, 3, 1), 3 = (4, 1, 0), 试用施密特正交化方法构造 r3 的一组标准正交基.取 1 = 1 ,1111222),(),( ) 1 , 2 , 1 (64) 1 , 3 , 1(),1 , 1 , 1(35222231111333),(),(),(),( ) 1 , 1 , 1(35) 1 , 2 , 1 (31)0 , 1 , 4(),1 , 0 , 1 (2取|111 ),1 , 2 , 1 (61