曲线的凹向及函数图形描绘

1、3.5 曲线的凹凸性与函数的图形的描绘一、曲线凹凸性与拐点一、曲线凹凸性与拐点二、函数图形的描绘二、函数图形的描绘返返 回回一、曲线的凹凸性与拐点ox 凡呈凸形的弧段其切线总位于曲线的上方凡呈凸形的弧段其切线总位于曲线的上方,凡呈凡呈凹形的弧段凹形的弧段,其切线总位于曲线的下方其切线总位于曲线的下方.oabcdyabcdoyxx返返 回回定义定义1)x(fy 若曲线若曲线在某区间内位于其切线的在某区间内位于其切线的则称该曲线在此区间内是凹的则称该曲线在此区间内是凹的,此区间为凹区间此区间为凹区间.反之反之,若曲线位于其切线的下方若曲线位于其切线的下方,则称曲线在此区间是则称曲线在此区间是凸的凸

2、的,此区间称为凸区间此区间称为凸区间.上方上方,返返 回回xyo)(xfy xyo)(xfy abab递增递增)(xf abba0 y递减递减)(xf 0 y定理定理1 1.,)(, 0)()2(;,)(, 0)()1(),(,),(,)(上的图形是凸的上的图形是凸的在在则则上的图形是凹的上的图形是凹的在在则则内内若在若在二阶导数二阶导数内具有内具有在在上连续上连续在在如果如果baxfxfbaxfxfbababaxf 返返 回回证证.xfba01 ）（），且在其内），且在其内，）设所给区间为（）设所给区间为（.），（，其其中中）（）（）（）的的切切线线方方程程为为，）上上过过点点（），则则曲曲

3、线线，（bac)cx(cfcfxg)c(fcxfybac任任取取.xfcxcfcfxfxg）（）（）（）（）（于是于是 )( 定定理理得得上上运运用用拉拉格格朗朗日日中中值值，或或，）在在（对对于于xccxxf. )(），）或（）或（，（）（）（）（xccx cxfcfxf 返返 回回)()(cxcfcxf ）（）（ ).cx(fcf）（）（因此因此).(cxcfcfxfxfxg ）（）（）（）（）（递递增增，所所以以因因为为)()(xfxf 0），（），还还是是，（因因此此，不不论论xccx与与）（）（ fcf都都为为异异号号，故故)(cx 返返 回回,xfxg0)()( )x(f)x(g即

4、即线线是是凹凹的的。）的的下下方方，因因此此该该曲曲（）在在曲曲线线（这这表表明明切切线线xfyxgy xxo)(xfy abcy返返 回回例例1 1.3的凹凸性的凹凸性判断曲线判断曲线xy 解解,32xy ,6xy 时，时，当当0 x, 0 y为凸的；为凸的；在在曲线曲线0 ,(时，时，当当0 x, 0 y为凹的；为凹的；在在曲线曲线), 0 .)0 , 0(点点是曲线由凸变凹的分界是曲线由凸变凹的分界点点注意到注意到,定义定义2设函数设函数)x(fy 在某区间内连续在某区间内连续,则曲线则曲线)x(fy 在该区间内的凹凸分界点在该区间内的凹凸分界点,叫做该曲线的拐点叫做该曲线的拐点.xyo

5、)(xfy )(0 xfxm,0定理定理2（拐点的必要条件）（拐点的必要条件）0 xxf）在）在（若函数若函数。）的的拐拐点点。则则（为为曲曲线线，存存在在，且且点点处处的的二二阶阶导导数数0)()()(00 xfxfyxfxxf注意：注意：不一定是不一定是，所确定的点所确定的点)(0)(00 xfxxf 而而非非充充分分条条件件。）为为拐拐点点的的必必要要（，是是点点（）（拐拐点点，即即0000 xfxxf 定理定理3，）（处处）在在（若若函函数数000 xfyxxfy）的拐点。）的拐点。（线线为曲为曲，则点（则点（两侧的二阶导数变号，两侧的二阶导数变号，且在且在xfyxfxx )(000返

6、返 回回例例1的的凹凹凸凸区区）（讨讨论论曲曲线线19623 xxxxf间与拐点间与拐点.解解23xxf ）（），因因为为，定定义义域域为为（，912 x),2(6126)( xxxf. 20 xxf，可可得得）（令令，此此区区间间是是凸凸区区）（）时时，（当当02 xfx，此此区区间间是是凹凹区区间间。）（）时时，（当当02 xfx间间.返返 回回的的两两侧侧异异号号）在在（，因因）（时时，当当202 xxfxfx，）（而而32 f）是该曲线的拐点。）是该曲线的拐点。，所以，点（所以，点（32如下表：如下表： x)(xf)x(f )2(,)2(,20），（拐点拐点32返返 回回例例2 2.1

7、ln2）的的凹凹凸凸区区间间与与拐拐点点（讨讨论论曲曲线线xy 解解，因为因为），定义域为（定义域为（212xxy. ，2)x()x(y22112 .xxy110 ，得，得令令，）（）（因因为为211lnff ）为拐点。）为拐点。，）和（）和（，（所以点所以点2121lnln 返返 回回 x)(xf)x(f )(1,)( , 110拐点拐点(-1,1)1 0拐点拐点.)()(,(,)(000的拐点的拐点是连续曲线是连续曲线也可能也可能点点不存在不存在若若xfyxfxxf 注意注意: :例例3 3.3的拐点的拐点求曲线求曲线xy 解解,0时时当当 x,3132 xy,9235 xy.,0均不存在

8、均不存在是不可导点是不可导点yyx , 0,)0 ,( y内内但在但在;0 ,( 上是凹的上是凹的曲线在曲线在 , 0,), 0( y内内在在.), 0 上是凸的上是凸的曲线在曲线在.)0 , 0(3的拐点的拐点是曲线是曲线点点xy 返返 回回二、函数图形的描绘定义定义1.曲线的水平渐近线和垂直渐近线曲线的水平渐近线和垂直渐近线xyo)(xfy ),(yxml.,),()(的的渐渐近近线线就就称称为为曲曲线线直直线线那那么么的的距距离离趋趋向向于于零零它它与与某某直直线线趋趋于于无无穷穷远远时时沿沿着着曲曲线线上上的的动动点点当当曲曲线线llyxmxfy 返返 回回)(轴的渐近线轴的渐近线垂直

9、于垂直于 x.)()(lim)(lim000的的一一条条垂垂直直渐渐近近线线就就是是那那么么或或如如果果xfyxxxfxf xxxx 1 1）. .垂直渐近线垂直渐近线xxy xlnlimln0来来说说，因因为为例例如如，对对于于曲曲线线.ln0的的垂垂直直渐渐近近线线为为曲曲线线所所以以直直线线xyx yoxxyln 返返 回回，来来说说，因因为为又又如如，对对于于曲曲线线 11111xlimxyx.111的的垂垂直直渐渐近近线线为为曲曲线线因因此此直直线线 xyxyox)(xfy 1返返 回回2 2）. .水平渐近线水平渐近线)(轴轴的的渐渐近近线线平平行行于于 x.)(),()(lim)

10、(lim的的水水平平渐渐近近线线为为曲曲线线则则直直线线为为常常数数或或如如果果xfybybbxfbxfxx .011lim11 xxy x来来说说，因因为为例例如如，对对于于曲曲线线所以所以渐渐近近线线。的的水水平平是是曲曲线线直直线线110 x yyyox)(xfy 1返返 回回，因因为为又又如如曲曲线线arctgx y arctgx arctgxxx.2lim2lim .22近近线线都都是是该该曲曲线线的的水水平平渐渐与与所所以以直直线线 yy yox2 2 返返 回回2.函数图形的描绘函数图形的描绘描绘函数的图形其一般步骤为：描绘函数的图形其一般步骤为：（1）确定函数的定义域，并讨论其

11、对称性和周期性；）确定函数的定义域，并讨论其对称性和周期性；（2）讨论函数的单调性，极值点和极值；）讨论函数的单调性，极值点和极值；（3）函数图形的凹凸区间和拐点；）函数图形的凹凸区间和拐点；（4）讨论函数图形的水平渐近线和垂直渐近线；）讨论函数图形的水平渐近线和垂直渐近线；（5）根据需要补充函数图形上的若干点（如与坐标轴）根据需要补充函数图形上的若干点（如与坐标轴的交点等等）；的交点等等）；（6）描图）描图.返返 回回，因因为为060611 xxyy|例例4的的图图形形。描描绘绘函函数数33xxy，得驻点，得驻点令令10332xxy为极大值；为极大值；为极小值，有为极小值，有）（所以所以21

12、21)( yy，时时，时时，因因为为，得得令令000000 yxyxxy ）是是凹凹的的，（时时曲曲线线所所以以当当xfyx 0.拐拐点点）为为，）是是凸凸的的，所所以以（时时曲曲线线当当000 xfyx返返 回回x-6y 又又解：的的单单调调区区间间）（的的符符号号情情况况，可可以以确确定定通通过过讨讨论论xfyy 将上述讨论列为下表将上述讨论列为下表x)(xy )(xy y 00 0 )1( ,1 )01(, 0)10( ,1)1( ,2 极极小小值值2 极极大大值值)00(，拐拐点点.处处轴轴交交在在与与，可可知知曲曲线线令令3303xxxxyy 返返 回回.xxy 可可描描出出所所给给

13、函函数数的的图图形形近近线线，综综上上述述讨讨论论，即即无无水水平平渐渐近近线线和和垂垂直直渐渐显显然然，曲曲线线33 .xxy 形形关关于于坐坐标标原原点点对对称称数数的的图图为为奇奇函函数数，所所以以，该该函函因因为为33 ., ）内内的的图图形形，性性得得到到在在（对对称称图图形形之之后后，根根据据图图形形的的）内内的的，描描出出函函数数在在（论论）内内进进行行讨讨，在在区区间间（000 xyo3 323xxy 11 返返 回回2例例5 5.2的的图图形形描描绘绘函函数数xey 解解.），该函数的定义域为（该函数的定义域为（ . 形形对对称称性性得得到到它它的的全全部部图图内内的的图图形

14、形，即即可可根根据据其其），只只要要作作出出它它在在（该该函函数数为为偶偶函函数数，因因此此 0求该函数的一阶导数和二阶导数，得求该函数的一阶导数和二阶导数，得).x(eyxeyxx1222222 和和.xyxy22000 ，得，得；令；令，得驻点，得驻点令令返返 回回.yyx 渐渐近近线线为为该该函函数数的的水水平平，所所以以时时当当00 结结于于下下表表：归归间间和和拐拐点点，将将上上述述结结果果减减区区间间和和极极值值，凹凹凸凸区区的的增增的的正正负负情情况况，确确定定函函数数，讨讨论论2xeyyy y y yx00 )220( , 22)22( ,01)0( f极大值极大值)22(21

15、 e ,拐点拐点返返 回回 根据以上结论，即可描绘出所给函数的图形根据以上结论，即可描绘出所给函数的图形.xy2xey o返返 回回），）和和（，所所以以曲曲线线过过点点（，可可知知，令令，可可知知令令21-21-e2210ey22xyx 1012221-e例例6 6.2)1(4)(2的图形的图形作函数作函数 xxxf解解, 0: xd非奇非偶函数非奇非偶函数,且无对称性且无对称性.,)2(4)(3xxxf .)3(8)(4xxxf , 0)( xf令令, 2 x得驻点得驻点, 0)( xf令令. 3 x得得特特殊殊点点2)1(4lim)(lim2 xxxfxx, 2 ; 2 y得水平渐近线得

16、水平渐近线返返 回回2)1(4lim)(lim200 xxxfxx, . 0 x得垂直渐近线得垂直渐近线列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点凹凸区间及极值点和拐点:x)3,( ), 0( )2, 3( 3 )0 , 2( )(xf )(xf 00)(xf 2 0 不存在不存在拐点拐点极值点极值点间间断断点点3 )926, 3( 返返 回回:补补充充点点);0 , 31(),0 , 31( ),2, 1( a),6 , 1(b).1 , 2(c作图作图xyo2 3 2111 2 3 6abc返返 回回）（1 1，）（1 1，:., y 可可将将讨讨论论范范围围定定为为轴轴于于为为偶偶函函数数，即即图图形形对对称称且且），该该函函数数的的定定义义域域为为（1例例.1ln2）的的图图形形（描描出出函函数数 xy解解求该函数的一阶导数和二阶导数，得求该函数的一阶导数和二阶导数，得.xxyxx y2222)1()1(212 和和.凹凹凸凸区区间间和和拐拐点点的的增增、减减区区间间和和极极值值，函函数数正正负负情情况况的的讨讨论