高一数学专题讲座利用向量证明平几问题向量具有一套良好的运算性质

1、高一数学专题讲座利用向量证明平几问题向量具有一套良好的运算性质，它可以把向何图形的性质转化为向量运算，变抽象的逻辑推理为具体的向量运算，实现了“数”与“形”的结合，因此用向量知识解决平面几何问题，显得特别简捷。【例 1】如图， AD， BE， CF 是ABC 的三条高，求证：AD， BE， CF 相交于一点。分析 要证明三条高线交于一点，可先设两条高线交于一点，再利用向量的数积证明第三条高线也过此点即可。证明设 BE， CF 相交于一点H，并设 AB=c， AC=b, AH =h， BH =h-c, CH =h-b, BC=c-bBH AC，CH AB, （h-c）· b=0,且（

2、h-b）· c=0.（ h-c）· b=（ h-b）· c, h·（ c-b） =0 AH· BC=0即 AH BC，则 AH 与 AD 重合， AD，BE ，CF 相交于一点 H 。说明证明有关线段垂直的问题，常用向量垂直的充要条件a·b=0 来解决。【例 2】如图，在AOB 中，AB 上一点 P（点 P 不与点 A、B 重合），设 OA=a,OB=b,OP=xa+yb（ x 0，yy 0， xy R ），求证： x+y= 1,且 AP= PB。x分析11B P，y=OB要证 x+y= 1,即可证 x= 1-y，由 OP=xOA+y

3、OB，可过 P 作 PB AO交 OB于 B ，则 x=OA,OB即可得到 x=1- y。然后利用向量的减法运算求得AP、 PB 关于 a 与 b 的表示式即可得到结论。证明过点 P 作 PB1OA 交 OB 于 B1点。B POB设=x 0,=y 0.OAOB则 OP=xOA+yOB,BPOB从而 x=OAOBOBB B=1y ，OB x=1- y, 即 x+y=1. AP=OP-OA=xa+yb-a=(x-1)a+yb，PB= OB-OP= b-(xa+y b)= (1-y)b-xa，x=1- y,x-1= y, AP=y(b-a), PB =x(b-a).y AP= PB。x说明 本题是

4、利用向量的基本运算来将一个向量分解的典型例题，在证明过程中利用了平面几何的比例线段的有关定量及向量的减法。【例 3】 书籍任意四边形ABCD ，E 为 AD 的中点， F 为 BC 的中点，求证：EF = 1 （ AB+DC）。2分析 本题的证明可以利用封闭图形的首尾相接的向量和为零向量的原则，或利用三角形的中线向量公式，也可利用向量的坐标法表示以及两个向量相等的充要条件来证明。证法 1如图， EF+FC+CD+DE=0， EF +FB +BA+AE =0， EF=ED+DC+CF。EF =EA+AB+BF将上两式相加，得2EF =ED+EA+AB+DC+CF+BF由于 ED +EA =0，

5、CF +BF =0， EF = 1 （ AB+DC ）。2证法 2如图，在平面内取一点O，作 OE ，OF ， E， F 分别为 AD ， BC 的中点， OE = 1 （OA+OD ），2OF = 1 （ OB+OC），2又EF =OF -OE ， EF = 1 （OB+OC） - 1 （OA+OD）221= （ OB-OA）+（ OC-OC） 2= 1 （AB+DC ）。2证法 3 设四边形 ABCD 的四顶点坐标分别为 A（ a1,a2,），B（ b1,b2）， C（ c1,c2）， D（ D 1,D2），则有AB=（b1-a1， b1-a2）， DC=（c1-D1， c2-D2），1

6、（ AB+DC ） =（ b1c1a1d1 , b2 c2 a2d2 ），222又 E， F 分别是 AD ， BC 的中点，E 的点坐标为（a1d1 , a2d 2）， F 点的坐标为（b1 c1 , b2 c2 ），2222EF =（ b1 c1a1d1 , b2c2a2d 2 ），22EF = 1 （AB +DC ）。2说明 本题是利用向量的基本方法解决平面几何问题的典型例题，证法1 利用向量加法、零向量及相反向量等概念，及首尾相连之诸向量和等于零向量这一原则。证法2 利用三角形中线的向量公式及向量的减法运算进行证明，由于向量的两要素中不考虑起点，所以任取一点构造向量是向量方法的基本思路

7、之一，有时十分便利。证法3 利用向量的坐标法即相等向量的坐标相同来进行证明的，三种方法各有优点，在解题中要因题而异选择比较。专题二利用向量解决三角问题【例 1】对于任意数 ， ，求证：cos(+ )=cos cos -sin sin .分析可在平面上取两个单位向量a 与 b，使 a=（ cos , sin ） ,b=（ cos（ -），sin （- ）则 +就是向量a 与 b 的夹角，利用向量的数量积即可得证。证明如图所示，建立直角坐标系。可设a=（ cos , sin ），b=（cos（ - ） , sin（ - ），则 a 与 b 的夹角为 + 。由平面向量的数量积坐标表示，得a·

8、; b=cos · cos（ - ）+ sin· sin （-）= coscos -sin sin 又 a·b= a ·b cos( +)= cos( + ) cos( +)= cos cos -sin sin 。说明巧妙构造单位向量a 与 b 是证题的关键。【例2】已知ABC三内角，A， B， C 的对边分别为a， b， c，且B=2A，求证：b2=a+ac分析 应先建立直角坐标系，构造向量，利用向量的坐标运算以及同一向量的坐标相同建立等式，即可证得结论。证明 如图所示，建立直角坐标系，则 OA=（ c， 0） OC=（ acosB,asinB）， A

9、C=（ bcos（ -A）， bsin （ -A）=（ -bcosA， bsinA）。 AC=OC-OA， AC=（acosB - c , asinB）-bcosA=acosB-c 有bsinA=asinB又 B=2 A 由式得cosA=b，代入式，2a22整理得 b =a +a· c故此题得证。说明向量既反映数量关系，又体现位置关系，从而能数形相辅地用代数方法研究三角几何等问题。专题三正弦定理、余弦定理的应用有关三角形的问题，实质就是有条件的三角式或代数式的计算或证明问题，而在三角形中的正弦定理与余弦定理是解题的基础。如果题目中同时出现角及边的关系，往往要利用正、余弦定理化成仅含角

10、或边的关系来处理。【例 1】三角形三边长为连续整数，其最大值为最小角的两倍，求各边之长。分析 题中虽未给出具体的某边或某角，去给出了两组关系，于是可以尝试假设三边为x-1， x， x+1 ，最小角为 ，最大角为 2，并利用正、余弦定理列出等量关系。解 设三边长分别为x-1， x， x+1，最小角为 ，最大角为 2由正弦定理，可得x 1x 1x1sin=2sin，sin 2cosx1 cos=,2(x1)再由余弦定理，得（ x-1） 2=x2+（ x+1） 2 -2x（x+1） cos22x1=x +（ x+1） -2x（ x+1）·1)2( x （ x-1）3 x2+（ x+1） 2

11、 （x-1） -x（ x+1） 2 x3-3x2+3 x-1= x3-2x2-2x-1 x2-5x=0 ，即 x=5 所求三边长为 4， 5， 6。说明本题属于小型综合题，因其用到的方法中，既含有三角变换的技巧，又包含解三角形的具体方法，还包括有用代数议程的思想求解未知数的方法。在解题的时候，应注意将“大题”分解为“小题”，进行分析、转化、只有这样才能提高综合解题的能力。【例 2】在ABC 中，已知 c= 62 ,C=30°，求 a+b 的最大值。分析应用问题中的最值，重在转化，或转化为二次函数的关系式，或转化三角函数式，因为在三角形中，于是转化为三角函数式。解 c=62 , C=3

12、0°，cabsin Csin A，sin B a=2csin A，b=2csinB, a+b=2c（ sinA+sinB）=4csinA B cos AB22而 A+B=150°， a+b=4csin 150cos A B22=4(2+AB3 ) cos2 8+43 。当 cos AB =1 ，即 A=B=75°时， a+b 的最大值为 8+43 。2a+b 转化为2c（ sinA+sin B ），再利用三角变换与条件说明本题的解答利用了正弦定理，将A+B+C=180°进行代换，最终将 a+b 转化为 4csin75 °、 cos AB ，使问

13、题得以获得。其中转化是关键，2通过转化使“形”三角形与“数”三角形函数结合，使问题得到解决。【例 3】在 ABC 中， cotA, cotB,cotC 成等差数列，求证：222a ， b， c 成等差数列。分析由已知角的关系推边的关系，即利用正、余弦定理将角的关系转化为边的关系变形可。证法 1 cotA， cotB， cotC 成等差数列， 2cotB=cotA+cotC，2 c o tBs i nA(C)，s i nAs i nCs i nB 2cosB=sin 2 B，sin Asin C由正、余弦定理可得a2c2b2b22·2ac，ac222 a +c =2b ,故 a2， c

14、2，b2 成等差数列。证法 2 cotA， cotB， cotC 成等差数列， 2cotB=cotA+cotC,cos Bcos AcosC2·+,sin Bsin Asin Ca 2c2b 2b2c2a 2a 2b2c 22ac=2bc+2abbaca 2c 2b2b2c 2a2a 2b 2c2a b c=2abc+2abc，a 2c 2b2b 2，a b c=abc a2 + c 2 = 2b2故 a2， b2，c2 成等差数列。说明 证明三角形的边的关系或角的关系，一般是利用正、余弦定理把角化边或边化角。证法 1 利用切化弦后，化简三角函式，再将角的关系转化为边的关系推证的。证法 2 回避了三角函数式的化简，切化弦后直接化为边的关系证得。【例 4】 半圆 O 的直径为2，A 为径延长线上一点，且OA=2，B 为半径圆上任意一点，以AB 为边向外作等边ABC，问 B 点在什么位置时，四边形OACB 的面积最大，并求出这个最大面积。分析如图所示，点B 在半圆 O 上运动，刻画点B 运动位置引入角参数AOB= 为上策，由于等边ABC 只定性，而未定量，因此边长也是一个变化参数，为此引入过渡参数AB=x .解设 AB=x， AOB =在ABC 中运用余弦定理，得x 与 存在关系，x2=1+2 2-2 ·1 &