高一数学各章知识点总结(2)

1、知识点大全高一数学必修 1各章知识点总结第一章 集合与函数概念一、集合有关概念2. 集合的中元素的三个特性：(1) 元素的确定性如：世界上最高的山3. 集合的表示： 如 我校篮球队员 ， 太平洋 , 大西洋 , 印度洋 (1) 用拉丁字母表示集合： A= 我校的篮球队员 ,B=1,2,3,4,5(2) 集合的表示方法：列举法与描述法。注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作： N3） 语言描述法：例： 不是直角三角形的三角形4、集合的分类：(1)有限集含有有限个元素的集合(3)空集不含任何元素的集合例： x|x 2=5二、集合间的基本关系1. “包含”关系子集注意： AB 有两种可

2、能（ 1）A 是 B 的一部分，；（ 2）A 与B 是同一集合。反之 :集合 A 不包含于集合 B, 或集合 B 不包含集合A,记作 AB 或 BA2“相等” 关系： A=B (5 5，且 5 5，则 5=5)实例：设 A=x|x2 -1=0 B=-1,1“元素相同则两集合相等”即： 任何一个集合是它本身的子集。 A A真子集 : 如果 A B, 且 A B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集，记作AB(或 BA)如果 A B,BC,那么AC如果AB同时 BA 那么 A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为规定 :空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。有 n 个元素的集合，含

3、有nn-1个真子集2 个子集， 2三、集合的运算运算类交集并集补集型定由所有属于 A 且属于 B 的由所有属于集合A 或属于集设 S是一个集合， A 是 S 的一义元素所组成的集合, 叫做合 B 的元素所组成的集合，个子集，由S 中所有不属于 AA,B 的交集记作 AB（读叫做 A,B 的并集记作：AB的元素组成的集合，叫做S 中作A 交 B），即 A B=（读作 A 并 B），即 AB子集 A 的补集（或余集）记作 CSA，即 x|xA，且 x B=x|xA，或 xB) 1. 集合的含义(2) 元素的互异性如：由 HAPPY的字母组成的集合 H,A,P,Y(3) 元素的无序性 : 如： a,

4、b,c 和a,c,b 是表示同一个集合正整数集 N* 或 N+整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R1） 列举法： a,b,c 2） 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。xR|x-3>2 ,x| x-3>24） Venn 图:(2)无限集含有无限个元素的集合1函数的概念：设A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：AB 为从集合A到集合 B 的一个函数记作：y=f(x)，x A其中， x 叫做自变量， x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值

5、相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域注意：1定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1) 分式的分母不等于零； (2) 偶次方根的被开方数不小于零； (3) 对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的. 那么，它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合 .(6)指数为零底不可以等于零，(7) 实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.相同函数的判断方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；定义域一致

6、( 两点必须同时具备 )2值域 : 先考虑其定义域 1)观察法 (2)配方法 (3)代换法3. 函数图象知识归纳(1) 定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x) , (x A) 中的 x 为横坐标，函数值y 为纵坐标的点P ，y)的集合 C，叫做函数y=f(x),(xA) 的图象 C 上每一点的坐标，均满足(x(x y)函数关系 y=f(x) ，反过来，以满足y=f(x) 的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点 (x ， y) ，均在C上.(2) 画法 : 描点法图象变换法常用变换方法有三种 : 平移变换伸缩变换对称变换4区间的概念（1 ）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2）无穷

7、区间（3）区间CSA=x | xS,且x A韦恩ABABS图A示图 2图 1性AA=AAA=A(Cu A)(C u B)A =A =A= C u (AB)AB=BAAB=BA(Cu A)(C u B)质A B AA B = C u(A B)ABBAB BA(C u A)=UA(C u A)= 例题： 1. 下列四组对象，能构成集合的是（）A 某班所有高个子的学生B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数2.集合 a ， b，c 的真子集共有个3.若集合 M=y|y=x 2-2x+1,xR,N=x|x 0 ，则 M与 N 的关系是.4.设集合 A= x 1 x2 ，B= x x

8、a ，若 AB，则 a 的取值范围是5.50 名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40 人，化学实验做得正确得有31 人，两种实验都做错得有4 人，则这两种实验都做对的有人。6.用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M=.7.已知集合 A=x| x2+2x-8=0, B=x| x222若 BC ， A C=-5x+6=0, C=x| x-mx+m-19=0,，求 m的值二、函数的有关概念1 任取 x 1，x2 D，且 x 1<x2； 2作差 f(x 1 ) f(x 2) ； 3变形（通常是因式分解和配方）；4定号（即判断差 f(x 1 )f(x 2 )

9、的正负）；(B) 图象法 ( 从图象上看升降 )(C) 复合函数的单调性复合函数 f g(x) 的单调性与构成它的函数u=g(x) ， y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间, 不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集 .8函数的奇偶性（整体性质）（1）偶函数：一般地，对于函数 f(x)的定义域内的任意一个x ，都有 f( x)=f(x) ，那么 f(x)就叫做偶函数（2）奇函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有 f( x)= f(x) ，那么 f(x)就叫做奇函数（3）具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于y

10、 轴对称；奇函数的图象关于原点对称利用定义判断函数奇偶性的步骤：3 作出相应结论：若 f( x) = f(x)或 f( x) f(x) = 0 ，则 f(x) 是偶函数；若 f( x)=f(x)或 f( x) f(x) = 0 ，则 f(x)是奇函数注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数. 若对称， (1) 再根据定义判定 ; (2)由 f(-x)±f(x)=0 或 f(x)f(-x)= ±1 来判定 ; (3) 利用定理，或借助函数的图象判定.9、函数的解析表达式（ 1）. 函数的解析式是函数

11、的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.（ 2）求函数的解析式的主要方法有：凑配法待定系数法换元法消参法10函数最大（小）值 : 1) 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值2) 利用图象求函数的最大（小）值3 ）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数 y=f(x)在区间 a ，b 上单调递增，在区间 b ，c 上单调递减则函数y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b) ；如果函数 y=f(x)在区间 a ，b 上单调递减，在区间 b ，c 上单调递增则函数y=f(x)在 x=b 处1 首先确定函数的定义域，并判

12、断其是否关于原点对称；2 确定 f( x) 与 f(x)的关系；的数轴表示5映射：一般地，设A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合Sx ，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应， 那么就称对应 f ：A BA 中的任意一个元素AB（象）”为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“ f （对应关系）： A（原象）对于映射 f ： AB 来说，则应满足：(1) 集合 A中的每一个元素，在集合 B中都有象，并且象是唯一的；(2) 集合 A中不同的元素，在集合 B中对应的象可以是同一个；(3) 不要求集合 B中的每一个元素在集合 A中都有原象。6. 分段函数 (

13、1) 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2) 各部分的自变量的取值情况(3) 分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集补充：复合函数 : 如果 y=f(u)(uM),u=g(x)(xA), 则 y=fg(x)=F(x)(xA)称为 f 、g 的复合函数。二函数的性质1. 函数的单调性 ( 局部性质 )（ 1）增函数 : 设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量 x1 ，x2 ，当 x1 <x2 时，都有f(x 1 )<f(x 2) ，那么就说f(x)在区间 D 上是增函数 . 区间 D 称为 y=f(x)

14、的单调增区间 .如果对于区间D 上的任意两个自变量的值x1 ，x 2 ，当 x1<x2 时，都有f(x 1 ) f(x 2 ) ，那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数 . 区间 D 称为 y=f(x) 的单调减区间 . 注意：函数的单调性是函数的局部性质；（ 2） 图象的特点 : 如果函数 y=f(x) 在某个区间是增函数或减函数，那么说函数 y=f(x) 在这一区间上具有 ( 严格的 ) 单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.(3). 函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法：5下结论（指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性有最小值

15、 f(b)；例题：1. 求下列函数的定义域：yx 22 x15 y1x12x33()x12. 设函数 f ( x) 的定义域为 0， 1 ，则函数 f ( x 2 ) 的定义域为 _3. 若函数 f (x1)的定义域为 2， 3 ，则函数 f (2 x1) 的定义域是4.函数x2( x1)，若 f ( x)3，则 x =x2(1x2)f (x)2x(x2)5.求 下 列 函 数 的 值 域 ： y x22x 3(xR) yx22x3x1,2(3)yx 12x (4)yx24 x56.已知函数2f (x)f (2x1)f (x1)x4x，求函数，的解析式7.已知函数 f (x) 满足 2f(x)

16、f(x) 3x4，则 f (x) =。8.设 f (x)是 R 上的奇函数，且当x0,) 时, f ( x)x(13x) , 则当 x(,0) 时 f (x) =f(x) 在 R 上的解析式为9.求下列函数的单调区间： y x22 x 3 yx22x 3yx26 x110. 判断函数 yx31 的单调性并证明你的结论11. 设函数 f ( x)1x 2判断它的奇偶性并且求证：11 x 2f ( x)f (x )知识点大全新课标数学必修1第一章集合与函数概念测试题(1)一、选择题： 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5 分，共 50 分

17、）。1用描述法表示一元二次方程的全体，应是（）A x ax2+bx+c=0，a， b， cRB xax2 +bx+c=0，a， b，c R，且 a0C ax2+bx+c=0a，b， cRD ax2+bx+c=0 a，b，c R，且 a 02图中阴影部分所表示的集合是（）A.B CU(A C)B.(A B) (B C)C.(A C) (CUB)D. CU(A C) B3设集合 P=立方后等于自身的数，那么集合P的真子集个数是（） A 3 B4 C7D84设 P=质数， Q=偶数，则 P Q等于（）A2 C 2 DN1的定义域为 M ，值域为 N，那么（）5设函数 y11xA M= x x0， N

18、= yy 0B M= xx 0且x 1，或 x0 ， N= y y 0，或 0 y1，或 y 1 CM= xx0， N= y yR D M= xx 1，或 1x 0，或 x 0， N= yy 06已知 A 、 B 两地相距150 千米，某人开汽车以60 千米 /小时的速度从A 地到达 B 地，在 B 地停留 1 小时后再以50 千米 /小时的速度返回 A地，把汽车离开 A地的距离 x 表示为时间 t（小时）的函数表达式是（）A x=60tB x=60t+50t60t , (0t2.5)60t ,(0t2.5)Cx=Dx=150,( 2.5 t3.5)50t ,(t3.5)150150 50(t

19、3.5), (3.5 t6.5)7已知 g(x)=1-2x,fg(x)=1x2 ( x0) ,则 f(1)等于（）A 1B 3C15D309x228函数 y=1 x 21是（）A 奇函数B 偶函数C既是奇函数又是偶函数D 非奇非偶数x9下列四个命题（1） f(x)=x21x 有意义 ;（2）函数是其定义域到值域的映射;（3）函数 y=2x(xN )的图象是一直线；（ 4）函数 y=x2 , x0的图象是抛物线，其中正确的命题个数是（）A 1 B2C3 D4x 2 , x010设函数 f (x)是（， +）上的减函数，又若aR，则（）A f (a)>f (2a)B f (a2)<f

20、(a)C f (a2+a)<f ( a)D f (a2+1)< f (a)二、填空题： 请把答案填在题中横线上（每小题6 分，共 24分） .11设集合 A=x3x2,B=x2k 1x2k1B ，则实数 k 的取值范围是.,且 A12函数 f(x)的定义域为 a,b,且 b>-a>0, 则 F（ x）= f(x)- f(-x) 的定义域是.13若函数 f(x)=(K-2) x2+(K-1) x+3 是偶函数，则 f(x)的递减区间是.14已知 x0,1, 则函数 y=x 21 x 的值域是.三、解答题： 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 76 分).15（ 1

21、2分）已知，全集U= x|-5 x3 ，A= x |-5x<-1 ， B= x|-1 x<1, 求CUA ， CUB ， (CUA) (CU B)， (CUA) (CUB) ， CU(A B)， CU (A B) ，并指出其中相关的集合.16（12 分）集合 A= （ x,y ） x 2mxy20 , 集合 B= （x,y ） x y 10,且 0x 2 ，又 A B，求实数 m 的取值范围 .3 x32x2x(,1)17（ 12 分）已知 f(x)=x 3,求 ff(0) 的值 .x3x(1,)18（ 12 分）如图，用长为 1的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若半圆半径

22、为x，求此框架围成的 面积 y 与 x 的函数式 y=f (x)，并写出它的定义域 .19（14 分）已知 f (x)是 R 上的偶函数，且在 (0,+)上单调递增，并且 f (x)<0对一切 x1在 ( R 成立，试判断f (x)20（ 14 分）指出函数f ( x)x1,1 ,1,0 上的单调性，并证明之 .在x1、若 Ax | 0 x2 , Bx |1 x 2 ，则 A B()（A ） x | x 0（ B） x | x 2（ C） 0 x2（D） x | 0 x 22、若 A0,1,2,3, Bx | x3a, aA，则AB()（ A） 1,2（ B） 0,1（ C） 0,3（D

23、） 33、在映射 f : AB中， AB( x, y) | x, yR ，且 f: ( x, y)( x y, xy) ，则与 A 中的元素 (1,2)对应的 B 中的元素为（）（A）(3,1)（ B） (1,3)（C） (1,3)（D） (3,1)4、是定义在上的增函数 , 则不等式的解集是（） A.(0 ,+ ) B.(0 , 2) C. (2 ,+16) D.(2 ,)75、若奇函数f x在1,3上为增函数，且有最小值0，则它在3,1上（）A . 是减函数，有最小值0B . 是增函数，有最小值0C. 是减函数，有最大值0D . 是增函数，有最大值 06、若1,a, b0, a2 , ab

24、 ，则 a2005b2005的值为 ()（A）0（ B）1（C）1（D）1 或1a7、奇函数 f (x) 在区间 -b,-a上单调递减，且f (x)>0,(0<a<b), 那么 | f (x) |在区间 a,b上是 ()A单调递增B 单调递减C不增也不减 D无法判断8、若 A0,1,2, B1,2,3 ,C2,3,4，则 (AB)( BC )1,2,39、已知 yf ( x) 为奇函数，当 x0 时 f ( x)x(1x) ，则当 x0 时，则 f ( x)10、已知 f (x), g (x) 都是定义域内的非奇非偶函数，而f ( x)g ( x) 是偶函数，写出满足条件的一

25、组函数，f (x)； g(x)；11、 f (x)x 22x1 ， x 2,2 的最大值是12、奇函数 f (x) 满足： f (x) 在 (0,) 内单调递增；f (1)0 ；则不等式 ( x1) f ( x)0 的解集为：；13、已知函数 f (x)0,x x | x2n1,nZ，画出它的图象 , 并求 ff3的值1,x x | x2n, nZ14、已知函数 f （x ）= x1.x（1）判断 f （ x）在（ 0，+）上的单调性并加以证明；（2）求 f （x）的定义域、值域；15、已知 f (x) 是定义在 R 上的函数，设 g (x)f ( x)f (x)f ( x)f (x)2， h

26、( x)2,0)上的单调性，并证明你的结论.知识点大全与 h(x) 的奇偶性；2试判断 g( x), h( x)与 f ( x) 的关系；3由此你能猜1 试判断 g( x)第二章 基本初等函数一、指数函数（一）指数与指数幂的运算:1 根式的概念：一般地，如果xna ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n >1，且 n N * 负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是0，记作 n 00 。当 n 是奇数时， nana ，当 n 是偶数时， nan| a |a(a0)a(a0)2分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：ma nn am ( a 0, m, n N * , n 1)，m1

27、1an(a0,m, nN*, n1)mn a ma n0 的正分数指数幂等于0，0 的负分数指数幂没有意义3实数指数幂的运算性质（1） a r· ara rs(a0, r , s R) ；（ 2） (ar) sa rs(a0,r , sR) ；（ 3）a0，且a1 axNlog aNx ；注意对数的书写格式1 注意底数的限制； 23两个重要对数：常用对数：以10为底的对数 lg N ；自然对数：以无理数e2.71828为底的对数的对数 ln N 指数式与对数式的互化1log a (M· N )2Mlog a3log a M log a N ； log aNM log a N

28、 ；注意：换底公式log a blog cb（ a0 ，且 a1； c0，且 c 1； b0 ）log ca利用换底公式推导下面的结论（1） log am bnn loga b ；（ 2） log a b1mlog b a（二）对数函数1、对数函数的概念： 函数 ylog a x(a0，且 a1)叫做对数函数， 其中 x是自变量，函数的定义域是（0， +）注意： 1对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：y2log 2 x ，x都不是对数函数，而只能称其为对数型函数2对数函数对底数的限制：ylog 55(a0 ，且 a1) 2、对数函数的性质：（表格略）（三）幂函数 :1 、

29、幂函数定义：一般地，形如yx(aR) 的函数称为幂函数，其中为常数2、幂函数性质归纳（1）所有的幂函数在（0，+）都有定义并且图象都过点（1，1）；1、幂函数在第一象限的图象特征2 、幂函数性质： （ 1），图象过（ 0，0）、（ 1，1），下凸递增，如；（2），图象过（ 0，0）、（ 1， 1），上凸递增，如；（ 3），图象过（1，1），单调递减， 且以两坐标轴为渐近线， 如（ 4）幂函数在第四象限没有图象，其它象限的图象可以由奇偶性确定。例题： 1.已知 a>0， a0，函数 y=ax 与 y=log a(-x) 的图象只能是() 24 log 2 3 =12. 计算： log 32

30、;； 253 log 5 27 2log 5 2 =;log 27642=3.函数 y=log(2x-3x+1) 的递减区间为370330.750.0641( )( 2)4160.01121821) 在区间 a,2a上的最大值是最小值的4. 若函数 f (x)loga x(0a3 倍，则 a=5. 已知 f (x) loga1x0且a1)，（ 1）求 f (x) 的定义域（ 2）求使 f( x )0 的 x 的取值范围1( ax第三章 函数的应用 : 函数应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数yf (x)( xD ) ，把使 f ( x)0 成立的实数 x 叫做函数yf (

31、x)( xD ) 的零点。2、函数零点的意义： 函数 yf ( x) 的零点就是方程f ( x)0 实数根，亦即函数 yf (x)的图象与 x 轴交点的横坐标。即：方程 f ( x)0 有实数根函数 yf ( x) 的图象与 x 轴有交点函数 yf (x)有零点3、函数零点的求法：（代数法）求方程f (x)0 的实数根；2（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf ( x) 的图象联系起来，并用函数的性质找出零点4、二次函数的零点：二次函数yax 2bxc(a0) （1），方程 ax2bxc0 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点（2），方程 ax2b

32、xc0 有两相等实根，二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点（3），方程 ax 2bxc0 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点复习1：函数零点存在性定理. 如果函数 yf ( x) 在区间 a,b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有， 么，函数 yf (x) 在区间 ( a, b) 内有零点 .复习 2：二分法基本步骤 .确定区间 a, b ，验证 f ( a)f (b)0 ，给定精度 ；求区间 (a,b) 的中点 x；1计算 f ( x ) ： 若 f (x )0 ，则 x就是函数的零点；若 f ( a)f (x )0 ，则令 b x（此时11

33、111零点 x(a, x ) ）；若 f ( x ) f (b)0 ，则令 ax （此时零点 x0( x ,b ) ）；判断是否达01111到精度 ；即若 | ab |，则得到零点零点值a（或 b）；否则重复步骤 复习3：函数建模的步骤 .根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过想得出什么样的结论，并说明理由(ab) ra r a s(a0,r , sR) （二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数ya x (a 0,且 a1) 叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域为R注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和12、指数函数的图象和性质（表格略）0注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（ 1）在 a ，b 上， f (x )ax ( aa1) 值域是f (a), f ( b)或f (b), f (a)；且（ 2）若 x0 ，则 f (x )1 ； f ( x )