第五节二阶常系数线性微分方程1

1、一阶线性方程一阶线性方程)()(xqyxpy dxexqeceydxxpdxxpdxxp )()()()(对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解常数变易法常数变易法二阶微分方程二阶微分方程, 0),( yyyxf).,(yyxfy 复习复习:)()()(cdxexqeydxxpdxxp 第五节第五节 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程 内容提要内容提要 1. 1. 二阶常系数齐次线性微分方程；二阶常系数齐次线性微分方程； 2. 2. 二阶常系数线性微分方程解的结构二阶常系数线性微分方程解的结构. . 3. 3. 二阶常系数线性微分方程的解法二阶常系数线性微分方程

2、的解法. 教学要求教学要求 1. 1. 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法；掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法； 2. 2. 了解二阶常系数线性微分方程解的结构了解二阶常系数线性微分方程解的结构. . 3. 掌握二阶常系数线性微分方程的解法掌握二阶常系数线性微分方程的解法.形如形如（1）,的的方方程程称为二阶线性微分方程称为二阶线性微分方程.时，时，当当0)( xf称为二阶齐次线性微分方程称为二阶齐次线性微分方程.称为二阶非齐次线性微分方程称为二阶非齐次线性微分方程.)1(方程方程时，时，当当0)( xf)2(方程方程0 qyypy（2）一、二阶一、二阶线性微分方程的概念线性微分方程的概念

3、)()()(xfyxqyxpy .,:的的一一次次方方程程是是关关于于特特点点yyy 叫自由项，叫自由项，)(xf,)(),(),(均为已知函数均为已知函数xfxqxp二、二阶线性微分方程的解的结构二、二阶线性微分方程的解的结构1.1.二阶齐次方程解的结构二阶齐次方程解的结构: :定定理理 1 1 如如果果函函数数)(1xy与与)(2xy是是方方程程( (1 1) )的的两两个个解解, ,那那末末2211ycycy 也也是是( (1 1) )的的解解. .（21, cc是是常常数数）)1(0)()( yxqyxpy证明证明的解的解是是由于由于)1(,21yy0)()(111 yxqyxpy则则

4、0)()(222 yxqyxpy）的左边，得）的左边，得代入（代入（将将12211ycycy 解的线性组合解的线性组合11212 , 2 , iyyyy )()()(221122112211ycycqycycpycyc 左边左边)()(22221111qyypycqyypyc 右边右边 0)()()(221122112211ycycqycycpycyc 证毕证毕问题问题: :一一定定是是通通解解吗吗？2211ycycy 例如例如的的两两个个特特解解为为：0 yyxxeyey2,21 .)2(22121就不是通解就不是通解而而xxxeccececy 的的两两个个特特解解为为：又又知知0 yyxx

5、eyey 21,.021的通解的通解就是就是 yyececyxx例如例如xxeyey2,21 xxeyey 21，线性无关线性无关线性相关线性相关时，时，当当),( x定义定义:),()()(21常数常数若若kxyxy .)()(21线性相关线性相关，则称则称xyxy),()()(21常数常数若若kxyxy .)()(21线性无关线性无关，则称则称xyxy,)(),(21个个函函数数是是定定义义在在某某区区间间上上的的两两设设xyxy常数常数 xxxeee2常数常数 212xxee定理定理 2 2：如果：如果)(1xy与与)(2xy是方程是方程(1)(1)的两个线的两个线性无关的特解性无关的特

6、解, , 那么那么2211ycycy 就是方程就是方程(1)(1)的通解的通解. .例如例如的的两两个个特特解解为为：0 yy,sin,cos21xyxy ,tan12常数常数且且 xyy.sincos21xcxcy 的的两两个个特特解解为为：0 yyxxeyey 21,.021的通解的通解就是就是 yyececyxx常数常数 xxxeee2线性无关线性无关例如例如2.2.二阶非齐次线性方程的解的结构二阶非齐次线性方程的解的结构: :定定理理 3 3 设设*y是是二二阶阶非非齐齐次次线线性性方方程程)2()()()(xfyxqyxpy 的的一一个个特特解解, , y是是与与( (2 2) )对

7、对应应的的齐齐次次方方程程( (1 1) )的的通通解解, , 那那么么*yyy 是是二二阶阶非非齐齐次次线线性性微微分分方方程程( (2 2) )的的通通解解. .证明证明的解的解是是)2(*y)(*)()*)()*(xfyxqyxpy 的解的解是是)1(y0 qyypy)2()()()(xfyxqyxpy ）的左边，得）的左边，得代入（代入（将将2* yyy .*2211yycycy 右边右边 )(0)(xfxf)*()*(*yyqyypyy ）（左边左边)*()*(*yyqyypyy ）（)(*)*qyypyqypyy （证毕证毕说明说明:若求若求 的通解的通解 )()()(xfyxqy

8、xpy 和和只只需需求求它它的的一一个个特特解解*y0)()( yxqyxpy.,21yy的的两两个个线线性性无无关关的的特特解解则则 的通解为的通解为)()()(xfyxqyxpy 定理定理 4 4 设非齐次方程设非齐次方程(2)(2)的右端的右端)(xf是几个函是几个函数之和数之和, , 如如)()()()(21xfxfyxqyxpy 而而*1y与与*2y分别是方程分别是方程, , )()()(1xfyxqyxpy )()()(2xfyxqyxpy 的特解的特解, , 那么那么*2*1yy 就是原方程的特解就是原方程的特解. .解的叠加原理解的叠加原理)()()()(21xfxfyxqyx

9、py )()()(1xfyxqyxpy )()()(2xfyxqyxpy 该定理的证明该定理的证明(p140)1、定义、定义0 qyypy1.二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式)(xfqyypy 2.二阶常系数非齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式三、三、 二阶常系数线性微分方程的解法二阶常系数线性微分方程的解法(p,q为常数为常数)(p,q为常数为常数)2211ycycy 通通解解为为：*2211yycycy 通通解解为为：).(,121221xuyyyyyy 常数，即常数，即即即线性无关线性无关其中其中2、二阶常系数齐次线性方程的解法、二阶

10、常系数齐次线性方程的解法rxey 设设将其代入上方程将其代入上方程, 得得0)(2 rxeqprr, 0 rxe故有故有02 qprr特征方程特征方程,2422,1qppr 特征根特征根0 qyypy(p,q为常数为常数)是方程的解是方程的解.,rxrey 则则rxery2 有两个不相等的实根有两个不相等的实根21rr ,11xrey ,22xrey 两个线性无关的特解：两个线性无关的特解：得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为;2121xrxrececy )0( 设特征根为设特征根为常数常数 xrrxrxreee)(2121023 yyy如如特征方程为特征方程为0232 rr2, 121 rr

11、xxececy221 通通解解为为：且且21,rr 有两个相等的实根有两个相等的实根,11xrey ,221prr )0( 一特解为一特解为得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为;)(121xrexccy 代入原方程并化简，代入原方程并化简，将将222yyy , 0)()2(1211 uqprrupru, 0 u知知,)(xxu 取取,12xrxey 则则,)(12xrexuy 设设另另一一特特解解为为特征根为特征根为044 yyy如如特征方程为特征方程为0442 rr221 rrxexccy221)( 通通解解为为：)(12xuyy 有一对共轭复根有一对共轭复根,1 ir ,2 ir xiey

12、)(1 xiey)(2 )0( 重新组合重新组合)(21211yyy ,cos xex )(21212yyiy ,sin xex 得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为).sincos(21xcxceyx 设特征根为设特征根为0 yy如如特征方程为特征方程为012 ririr 21,xcxcysincos21 通解为：通解为：xixee )sin(cosxixex xixee )sin(cosxixex 02 qprr0 qyypy 特征根的情况特征根的情况 通解的表达式通解的表达式实根实根21rr 实根实根21rr 复根复根 ir 2, 1xrxrececy2121 xrexccy2)(21

13、)sincos(21xcxceyx 定义定义 由常系数齐次线性方程的特征方程的根由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为确定其通解的方法称为特征方程法特征方程法. .总之总之.0322的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程为特征方程为,03222 rr解得解得,25212,1ir 故所求通解为故所求通解为).25sin25cos(2121xcxceyx 例例2 2.076的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程为特征方程为,0762 rr解得解得,7, 121 rr故所求通解为故所求通解为.721xxececy 例例1 1:4)0(, 1)0(得得由由 yy 43112

14、1ccc解得解得, 1, 121 cc故所求特解为故所求特解为.)1(3xexy 解解特征方程为特征方程为,0962 rr解得解得,321 rr故所求通解为故所求通解为.)(321xexccy 096 yyy求方程求方程例例3 3.4)0(, 1)0(的的特特解解满满足足 yy.)(332132xxexccecy 小结小结二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程）写出相应的特征方程;（2）求出特征根）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况）根据特征根的不同情况,得到相应的通解得到相应的通解. 特征根的情况特征根的情况 通解的表达式通

15、解的表达式实根实根21rr 实根实根21rr 复根复根 ir 2, 1xrxrececy2121 xrexccy2)(21 )sincos(21xcxceyx 02 qprr0 qyypy02 qprr),(0为常数为常数qpqyypy 复习复习 特征根的情况特征根的情况 通解的表达式通解的表达式实根实根21rr 实根实根21rr 复根复根 ir 2, 1xrxrececy2121 xrexccy2)(21 )sincos(21xcxceyx 0)()( yxqyxpy2211ycycy 通通解解为为：)()()(xfyxqyxpy *2211yycycy 通通解解为为：)(xfqyypy 对

16、应齐次方程对应齐次方程, 0 qyypy通解结构通解结构*,*2211yycycyyyy 即即f(x)常见类型常见类型),(xpm,)(xmexp ,cos)(xexpxm ,sin)(xexpxm 难点难点：如何求特解如何求特解y*？方法方法：待定系数法待定系数法.二阶常系数非齐次线性方程的解法二阶常系数非齐次线性方程的解法02 qprr(p,q为常数为常数)设非齐方程特解为设非齐方程特解为xexqy )(* 代入原方程代入原方程)()()()()2()(2xpxqqpxqpxqm 不是特征方程的根，不是特征方程的根，若若 )1(,02 qp ),()(xqxqm 可可设设是特征方程的单根，

17、是特征方程的单根，若若 )2(,02 qp , 02 p ),()(xxqxqm 可设可设;)(*xmexqy ;)(*xmexxqy 一、一、 型型xmexpxf )()( 是特征方程的重根，是特征方程的重根，若若 )3(, 02 qp , 02 p ),()(2xqxxqm 可可设设综上讨论：非齐次方程综上讨论：非齐次方程,)(*xmkexqxy 是是特特征征重重根根是是特特征征单单根根不不是是特特征征根根 2,10k.)(*2xmexqxy qyypyxmexp )(的通解的通解y*可以设为：可以设为：特别地特别地xaeqyypy xkebxy *b是待定常数是待定常数特别地特别地)(x

18、pqyypym )(*xqxymk 0020, 0,01000qppqqk即即是重根是重根即即是单根是单根即即不是根不是根（a是常数）是常数） 是是特特征征重重根根是是特特征征单单根根不不是是特特征征根根 2,10k02 qprr.)1(32的的一一个个特特解解求求方方程程xexyyy 解解特征方程特征方程, 0322 rr，3, 121 rr不不是是特特征征单单根根，而而这这里里1, 1,) 1()( xexxf,)(*xebaxy 设设144 xbax.)1(41*xexy 于是于是例例1 1 1414ba,)(*xxebaxaey ,)(2*xxebaxaey 代代入入原原方方程程，得得

19、将将*,*, yyy比较系数，得比较系数，得41,41 ba.22的一个特解的一个特解求方程求方程xyyy 解解特征方程特征方程, 0122 rr，121 rr是特征根，是特征根，不不这里这里0,)(02 xexxf,*2cbxaxy 设设代入方程代入方程, 得得22)22()4(xcbaxbaax 022041cbabaa. 64*2 xxy于是于是例例2 2 641cba型型二二、sincos)(xbxaexfx ,sincos*xdxcexyxk 设设,10 是特征根是特征根不是特征根不是特征根 iikc,d是待定常数是待定常数.a,b,是常数是常数以上的推导过程省略以上的推导过程省略,

20、只要求我们会用它只要求我们会用它.)(xfqyypy 的特解的特解y*可设为：可设为：.2cos3的一个特解的一个特解求方程求方程xeyyyx 解解特征方程为特征方程为, 0132 rr.有实根有实根,21不不是是特特征征根根ii ),2sin2cos(*xdxceyx 故故设设xexcdxcdexx2cos2sin)10(2cos)10( 010110cdcd所求非齐方程特解为所求非齐方程特解为)2sin101102cos1011(*xxeyx 例例3 3这里这里)2sin02(cos)(xxexfx 2, 1 代代入入原原方方程程，得得将将*,*, yyy10110,1011 dc.sin

21、4的通解的通解求方程求方程xyy 解解特征方程特征方程, 012 r,是是特特征征单单根根ii ),sincos(*xdxcxy 故故代入原方程代入原方程,sincos2sin2xxdxc 0,21 dc所求非齐方程特解为所求非齐方程特解为,cos21*xxy 原方程通解为原方程通解为.cos21sincos21xxxcxcy 例例4 4,02, 1ir 对应齐次方程的通解对应齐次方程的通解,sincos21xcxcy 1, 0),sin4cos0()(0 xxexfx这里这里.sin14的通解的通解求方程求方程xxyy 解解xxfxxfxfxfxfsin)(, 1)(),()()(2121

22、特征方程特征方程,042 r,*)(411baxyxfyy 的特解可设为的特解可设为*21yyy .*yyy 原原方方程程的的通通解解为为：例例5 5,202 , 1ir ,2sin2cos21xcxcy ,sincos*)(422xdxcyxfyy 的特解可设为的特解可设为请设出下列方程的一个特解：请设出下列方程的一个特解：3445. 12 xyyy23. 2 xyyxexyy29. 4 xeyyy 2. 3xeyyyx2sin52. 5 )sin4(cos32. 64xxeyyyx cbxaxy 2*. 1)(*. 2baxxy xebxy2*. 3 xecbxaxy)(*. 42 )2s

23、in2cos(*. 5xdxcxeyx )sincos(*. 64xdxceyx 二阶常系数非齐次线性微分方程解法二阶常系数非齐次线性微分方程解法)(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程型型)()()1(xpexfmx 解法解法待定系数法待定系数法., )(*xqexymxk 设设 是特征重根是特征重根是特征单根是特征单根不是特征根不是特征根 2,10k三、小结三、小结型型sincos)()2(xbxaexfx ,sincos*xdxcexyxk 设设 .1;0是是特特征征方方程程的的单单根根时时不不是是特特征征方方程程的的根根时时 iik例例6?:.5.,00:5 ,:,.1 .21,4 .316 .32,20:8,30:7 他他被被排排除除在在嫌嫌疑疑犯犯之之外外不不在在现现场场的的证证言言能能否否使使张张某某问问分分钟钟案案现现场场步步行行需需”从从张张某某的的办办公公室室到到凶凶公公室室打打完完电电话话就就离离开开了了办办时时打打了了一一个个电电话话办办公公室室上上班班“下下午午张张某某一一直直在在并并有有证证人人说说张张某某声声称称自自己己是是无无罪罪的