曲面及其方程

1、第四节第四节 曲面及其方程曲面及其方程一、一、曲面方程的概念曲面方程的概念二、旋转曲面二、旋转曲面三、柱面三、柱面四、二次曲面四、二次曲面一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念求到两定点a(1,2,3) 和b(2,-1,4)等距离的点的222)3()2() 1(zyx07262zyx化简得即说明说明: 动点轨迹为线段 ab 的垂直平分面.引例引例: :显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程.222)4() 1()2(zyx解解: :设轨迹上的动点为, ),(zyxm,bmam 则轨迹方程. 定义定义1. 1. 0),(zyxfszyxo如果曲面 s 与方程 f

2、( x, y, z ) = 0 有下述关系:(1) 曲面 s 上的任意点的坐标都满足此方程;则 f( x, y, z ) = 0 叫做曲面曲面 s 的的方程方程, 曲面 s 叫做方程 f( x, y, z ) = 0 的图形图形.两个基本问题两个基本问题 : :(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2) 不在曲面 s 上的点的坐标不满足此方程,求曲面方程.(2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状( 必要时需作图 ). 故所求方程为例例1. 求动点到定点),(zyxm),(0000zyxm方程. 特别,当m0在原点时,球面方程为解解: 设轨迹上动点为rmm0即依题意距离为 r 的轨迹xy

3、zom0m222yxrz表示上(下)球面 .rzzyyxx202020)()()(2202020)()()(rzzyyxx2222rzyx例例2. 研究方程024222zxzyx解解: : 配方得5, )1, 0 , 2(0m此方程表示:说明说明: : 如下形式的三元二次方程 ( a 0 )都可通过配方研究它的图形.其图形可能是的曲面. . 表示怎样半径为的球面.0)(222gfzeydxzyxa球心为 一个球面球面, 或点点 , 或虚轨迹虚轨迹.5) 1()2(222zyx定义定义2. . 一条平面曲线二、旋转曲面二、旋转曲面 绕其平面上一条定直线定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面旋转曲

4、面.该定直线称为旋转旋转轴轴 . .例如例如 :机动 目录 上页 下页 返回 结束 建立建立yoz面上曲线面上曲线c 绕绕 z 轴旋转所成曲面轴旋转所成曲面的的方程方程:故旋转曲面方程为, ),(zyxm当绕 z 轴旋转时,0),(11zyf,), 0(111czym若点给定 yoz 面上曲线 c: ), 0(111zym),(zyxm1221,yyxzz则有0),(22zyxf则有该点转到0),(zyfozyxc思考：当曲线当曲线 c 绕绕 y 轴旋转时，方程如何？轴旋转时，方程如何？0),(:zyfcoyxz0),(22zxyf例例3. 求坐标面yoz 上的椭圆12222bzay绕 z 轴

5、旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解解: :绕 z 轴旋转122222bzayx即1222222bzayax这种曲面叫做旋转椭球面.所成曲面方程为例例4. 求坐标面xoy 上的抛物线)0(22ppyx绕 y 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解解: :绕 y 轴旋转pyzx222这种曲面叫做旋转抛物面.所成曲面方程为例例5. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为的圆锥面方程. 解解: 在yoz面上直线l 的方程为cotyz 绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为cot22yxz)(2222yxazcota令xyz两边平方l), 0(zymxyz三、柱面三、柱面引例引例. 分析方程表示怎样的曲面

6、 .的坐标也满足方程222ryx解解: :在 xoy 面上，表示圆c, 222ryx222ryx沿曲线c平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆圆故在空间222ryx过此点作柱面柱面. .对任意 z ,平行 z 轴的直线 l ,表示圆柱面圆柱面oc在圆c上任取一点 , )0 ,(1yxmlm1m),(zyxm点其上所有点的坐标都满足此方程,xyzxyzol定义3. 平行定直线并沿定曲线 c 移动的直线 l 形成的轨迹叫做柱面柱面. 表示抛物柱面抛物柱面,母线平行于 z 轴;准线为xoy 面上的抛物线. z 轴的椭圆柱面椭圆柱面.xy2212222byaxz 轴的平面平面.0 yx表示母线平行

7、于 c(且 z 轴在平面上)表示母线平行于c 叫做准线准线, l 叫做母线母线.xyzooxzy2l一般地一般地, ,在三维空间在三维空间柱面,柱面,平行于 x 轴;平行于 y 轴;平行于 z 轴;准线 xoz 面上的曲线 l3.母线柱面,准线 xoy 面上的曲线 l1.母线准线 yoz 面上的曲线 l2. 母线表示方程0),(yxf表示方程0),(zyg表示方程0),(xzhxyz3lxyz1l例例7. 下列方程各表示何种曲面1) 3(1)2(149) 1 (22222xzzyyx解解: :（1 1）因为方程中缺z z,所以它表示母线平行于z轴的椭圆柱面。椭圆柱面。 （2 2）因为方程中缺x

8、 x,所以它表示母线平行于x轴的双曲柱面。双曲柱面。 （3 3）因为方程中缺y y,所以它表示母线平行于y轴的抛物柱面抛物柱面。四、二次曲面四、二次曲面三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 .研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法截痕法 其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面二次曲面. fzxeyxdxyczbyax2220jizhygx(二次项系数不全为 0 )zyx1. 椭球面),(1222222为正数cbaczbyax(1)范围：czbyax,(2)与坐标面的交线：椭圆,012222zbyax,012222xc

9、zby 012222yczax1222222czbyax与)(11czzz的交线为椭圆：1zz (4) 当 ab 时为旋转椭球面;同样)(11byyy的截痕）（axxx11及也为椭圆.当abc 时为球面.(3) 截痕:1)()(212221222222zcyzcxcbcacba,(为正数)z2. 抛物面zqypx2222(1) 椭圆抛物面( p , q 同号)(2) 双曲抛物面（鞍形曲面）zqypx2222zyx特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面.( p , q 同号)zyx3. 双曲面(1)(1)单叶双曲面单叶双曲面by 1) 1上的截痕为平面1zz 椭圆.时, 截痕为2212

10、2221byczax(实轴平行于x 轴；虚轴平行于z 轴）1yy zxy),(1222222为正数cbaczbyax1yy 平面 上的截痕情况:双曲线: 虚轴平行于x 轴）by 1)2时, 截痕为0czax)(bby或by 1)3时, 截痕为22122221byczax(实轴平行于z 轴;1yy zxyzxy相交直线: 双曲线: 0(2) 双叶双曲面),(1222222为正数cbaczbyax上的截痕为平面1yy 双曲线上的截痕为平面1xx 上的截痕为平面)(11czzz椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别: 双曲线zxyo222222czbyax单叶双曲面11双叶双曲面p18 目录 上页 下页 返回 结束 图形图形4. 椭圆锥面),(22222为正数bazbyax上的截痕为在平面tz 椭圆在平面 x0 或 y0 上的截痕为过原点的两直线 .zxyo1)()(2222t byt axtz ,可以证明, 椭圆上任一点与原点的连线均在曲面上.xyz内容小结1. 空间曲面三元方程0),(zyxf 球面2202020)()()(rzzyyxx 旋转曲面如, 曲线00),(xzyf绕 z 轴的旋转曲面:0),(22zyxf 柱面如,曲面0),(yxf表示