线性代数11、2节 矩阵与向量的概念、矩阵的运算

1、 引引 言言 矩阵是线性代数的一个最基本的概念，也是矩阵是线性代数的一个最基本的概念，也是数学的最基本的一个工具。数学的最基本的一个工具。它在二十世纪得到飞它在二十世纪得到飞速发展，成为在物理学、生物学、地理学、经济速发展，成为在物理学、生物学、地理学、经济学等中有大量应用的数学分支，学等中有大量应用的数学分支，现在矩阵比行列现在矩阵比行列式在数学中占有更重要的位置。式在数学中占有更重要的位置。矩阵这个词是英矩阵这个词是英国数学家西勒维斯特在国数学家西勒维斯特在18501850年首先使用的，但历年首先使用的，但历史非常久远，可追溯到东汉初年（公元一世纪）史非常久远，可追溯到东汉初年（公元一世纪

2、）成书的成书的九章算术九章算术，其方程章第一题的方程实，其方程章第一题的方程实质上就是一个矩阵，所用的解法就是矩阵的初等质上就是一个矩阵，所用的解法就是矩阵的初等变换。变换。 第一章第一章 矩阵的运算与初等变换矩阵的运算与初等变换 矩阵的运算是线性代数的基本内容之一。矩阵的运算是线性代数的基本内容之一。18491849年英国数学家凯莱介绍了可逆方阵对乘法年英国数学家凯莱介绍了可逆方阵对乘法成群。凯莱成群。凯莱 毕业于剑桥三一学院，他与毕业于剑桥三一学院，他与西勒维斯特长期合作作了大量的开创性的工作西勒维斯特长期合作作了大量的开创性的工作创立了矩阵论；与维尔斯特拉斯一起创立了代创立了矩阵论；与维

3、尔斯特拉斯一起创立了代数型理论，奠定了代数不变量的理论基础；他数型理论，奠定了代数不变量的理论基础；他对几何学的统一也有重大贡献，一生发表近千对几何学的统一也有重大贡献，一生发表近千篇论文。篇论文。 本章首先引入矩阵概念，继而介绍矩阵的本章首先引入矩阵概念，继而介绍矩阵的基本运算，最后介绍简化矩阵运算的技巧基本运算，最后介绍简化矩阵运算的技巧矩阵分块法及矩阵的初等变换。为今后的学习矩阵分块法及矩阵的初等变换。为今后的学习打下扎实的理论基础打下扎实的理论基础. . 教学目的：教学目的：通过本章的教学使学生了解矩阵的概念，通过本章的教学使学生了解矩阵的概念，掌握矩阵的运算掌握矩阵的运算,认识矩阵在

4、线性代数学中的地位与作用，认识矩阵在线性代数学中的地位与作用，为今后的学习打好基础为今后的学习打好基础. 教学要求教学要求：理解矩阵的概念，熟练掌握矩阵的各种理解矩阵的概念，熟练掌握矩阵的各种运算，会用矩阵解决各种实际问题运算，会用矩阵解决各种实际问题. 教学重点：教学重点：矩阵的概念，矩阵的各种运算矩阵的概念，矩阵的各种运算. 教学难点：教学难点：矩阵的乘法运算与矩阵的初等变换矩阵的乘法运算与矩阵的初等变换.分块矩分块矩阵，特别是分块矩阵的乘法运算阵，特别是分块矩阵的乘法运算. 1. 1. 矩阵的引出矩阵的引出考察线性方程组考察线性方程组12312312321,232,234.xxxxxxx

5、xx隐去未知量和等号，分离出各未知量的系数和常数项，隐去未知量和等号，分离出各未知量的系数和常数项，便得到便得到一般地，我们有如下的定义一般地，我们有如下的定义.112123121234. 1 1 矩阵与向量的概念矩阵与向量的概念 1.1 1.1 矩阵的概念矩阵的概念 定义定义1.11.1 由由mn个数排成个数排成m个行个行n个列的数表个列的数表111212122212nnmmmnaaaaaaaaa叫做叫做m行行n列的矩阵列的矩阵，或称，或称mn矩阵矩阵.2.2.矩阵的定义矩阵的定义表示法表示法：a、b、c、e；等；等； a mn， b s r 等；等； a=(aij) 或或 a=(aij)

6、mn等等. mnmmnnaaaaaaaaaa112222111211简记为简记为 .ijnmijnmaaaa .,简简称称为为元元的的元元素素个个数数称称为为这这anm 元素是实数的矩阵称为元素是实数的矩阵称为实矩阵实矩阵,元素是复数的矩阵称为元素是复数的矩阵称为复矩阵复矩阵.例如例如 元元的的矩阵矩阵jia,例如例如 34695301是一个是一个 实矩阵实矩阵,42 2222222613i是一个是一个 复矩阵复矩阵,33 421是一个是一个 矩阵矩阵,13 9532是一个是一个 矩阵矩阵,41 4是一个是一个 矩阵矩阵.11 显然，一阶矩阵就是一个数。显然，一阶矩阵就是一个数。3. 3. 几

7、种特殊的矩阵几种特殊的矩阵同型矩阵：同型矩阵：行数和列数都分别相等的矩阵行数和列数都分别相等的矩阵.相等矩阵相等矩阵：同型矩阵、对应元素相等：同型矩阵、对应元素相等.方阵方阵111211222212.nnn nnnnnaaaaaaaaaa简记为简记为 （一阶方阵等同于构成它的元素）（一阶方阵等同于构成它的元素） na主对角线主对角线副对角线副对角线 主对角线下（上）方元素全为零的方阵称为主对角线下（上）方元素全为零的方阵称为上（下）上（下）三角形矩阵三角形矩阵.11121222nnnnaaaaaa上三角阵上三角阵), 2 , 1,(0 ,njiajiij 时时当当 上、下三角矩阵上、下三角矩阵

8、 nnnnaaaaaa21222111下三角阵下三角阵), 2 , 1,(0 ,njiajiij 时时当当120000.00n 对角矩对角矩阵阵简记作简记作 .,21ndiag 列矩阵列矩阵11211.mbbbb也称为n维列向量。11121(,).anaaa行矩阵行矩阵 也称为n维行向量。 n n维列向量与维列向量与n n维行向量统称为维行向量统称为n n维向量维向量，简称，简称向向量量。常用。常用 等表示。第等表示。第i i个元素称为个元素称为向量的第向量的第i i个个分量，分量，第第i i个分量为个分量为1 1，其余分量为，其余分量为0 0的的n n维列（行）向量称为维列（行）向量称为n

9、n维基本列（行）向量维基本列（行）向量，n n个个n n维维基本列（行）向量可排成一个基本列（行）向量可排成一个n n阶单位阵。阶单位阵。zyx, 零矩阵零矩阵000000.000o注意注意不同阶数的零矩阵是不相等的不同阶数的零矩阵是不相等的.100010.001ne 单位矩阵单位矩阵 负矩阵负矩阵= (),= ()ijm nijm naaaaa设称-为矩阵 的负矩阵. 对称矩阵对称矩阵11= (),=,ijn nijjiaaaaa设且则称 为对称矩阵. 反对称矩阵反对称矩阵12= (),= -,ijn nijjiaaaaa设则称 为反对称阵且矩.线线上上的的元元素素全全为为零零显显然然，反反

10、对对称称阵阵主主对对角角4.4.矩阵的应用矩阵的应用 例例1.11.1 某厂向三个商店发送四种产品，其发送的数某厂向三个商店发送四种产品，其发送的数量和单价及单件的重量都可用矩阵来刻划量和单价及单件的重量都可用矩阵来刻划. . 若用若用aij表示为工厂向第表示为工厂向第 i 店发送第店发送第j j 种产品数量，种产品数量，则矩阵则矩阵表示了工厂向三个商店发送四种产品的数量表示了工厂向三个商店发送四种产品的数量.111213142122232431323334aaaaaaaaaaaaa 若用若用bi1 表示第表示第 i 种产品的单价，种产品的单价，bi2 表示第表示第 i 种产品的种产品的单件重

11、量，则这四件产品的单价及单件重量也可用矩阵表单件重量，则这四件产品的单价及单件重量也可用矩阵表示为示为 例例1.2 四个城市间的单向航线如下图所示四个城市间的单向航线如下图所示.42131112212231324142.bbbbbbbbb若令若令 从从i市到市到j市有一条单向航线市有一条单向航线; 从从 i 市到市到 j 市没有单向航线市没有单向航线.则图中的航线用矩阵表示为则图中的航线用矩阵表示为01ija01111000.01001010a2 矩阵的运算矩阵的运算2.1 矩阵的加法矩阵的加法1. 1. 定义定义 定义定义2 .12 .1 设有两个设有两个mn矩阵矩阵 a =(aij) ，b

12、 =(bij)那那末矩阵末矩阵 a 与与 b 的和记作的和记作 a + b , 规定为规定为a + b =矩阵的减法：矩阵的减法：a b = a + ( b ).111112121121212222221122.nnnnmmmmmnmnababababababababab 2. 运算律运算律 矩阵的加法满足下列运算规律设矩阵的加法满足下列运算规律设 a、b、c 都是都是 mn 矩阵矩阵:1） a + b = b + a;2）（）（a + b）+ c = a +（ b + c ）;3） a +（a）= a a = o. 2.2 2.2 数与矩阵相乘数与矩阵相乘1.1.定义定义 定义定义2.22.

13、2 数数与矩阵的乘积与矩阵的乘积,记作记作a 或或a，规定为，规定为a = a=111212122212.nnmmmnaaaaaaaaa2. 运算律运算律 数乘矩阵满足下列运算规律：数乘矩阵满足下列运算规律： 设设 a、b 为为 mn 矩阵，矩阵，、为数为数2） （ ) a = a + a；1） （）a = ( a )； 3） ( a + b ) = a + b. 这样定义矩阵加法和数乘矩阵的运算，统称为这样定义矩阵加法和数乘矩阵的运算，统称为矩阵的矩阵的线性运算线性运算. 1. 对乘加法则对乘加法则1.sikkjijkabc1212jjiiissjbbaaab1 122ijijissja b

14、a ba b称此运算为行矩阵与列矩阵的称此运算为行矩阵与列矩阵的“对乘加对乘加”法则法则. . 2.3 矩阵与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘 2. 定义定义 定义定义2.32.3 设设 a =（aij)ms , b = ( bij )sn 矩阵，那末规矩阵，那末规 定矩阵定矩阵 a与矩与矩 b 的乘积是一个的乘积是一个mn矩阵矩阵c = ( c ij )mn .其其中中即即 a b = c.1(1,2,;1,2),sikkjka bim jn1 122ijijijissjca ba ba b例例2.222263422142 c22 16 32 816设设 415003112101a 121113121

15、430b例例2.22.2故故 121113121430415003112101abc. 解解 ,43 ijaa ,34 ijbb .33 ijcc5 671026 2 17 10对于矩阵的乘法需注意以下三点：对于矩阵的乘法需注意以下三点： 第一，第一，只有矩阵只有矩阵a的列数等于的列数等于b的行数时，的行数时，ab才才有意义。有意义。 第二，第二，乘积乘积c=（cij）m n的第的第i行第行第j列的元素等列的元素等于矩阵于矩阵a的第的第i行的每一个元素与矩阵行的每一个元素与矩阵b的第的第j列列的对应元素的乘积之和。的对应元素的乘积之和。 第三，第三，乘积乘积c的行数等于矩阵的行数等于矩阵a的行

16、数，列数等的行数，列数等于矩阵于矩阵b的列数。的列数。 106861985123321例如例如 123321 132231 .10 不存在不存在. 例例2.3 设矩阵设矩阵求求ab与与ba.2412a, 解解2412ab2436ba24122436b.1632;81624360000.呵呵，发现两个现象！呵呵，发现两个现象！baab 显然显然这些正是矩阵与数的不同这些正是矩阵与数的不同00, 0 baba但但矩阵乘法不满足交换律矩阵乘法不满足交换律有非零的零因子有非零的零因子 3. 3. 运算律运算律 1) 矩阵的乘法矩阵的乘法一般不满足交换律一般不满足交换律； 2) （ab）c = a（bc

17、）；）； 3) (ab) = (a) b = a( b),( 其中其中为数为数 ); 4) a ( b + c ) = ab + ac； ( b + c ) a = ba + ca. 4. 方阵的幂运算方阵的幂运算 设设 a为为 n 阶方阵阶方阵. k , l 为正整数为正整数2)klk l aaa1)kk aaaa3) ().klkl aa:.kkkaba b注 一般说来;) 5nmnmmnnmaaeea 例例2.4 已知已知 .,31,21,1 321 naa求求设设， .3 332131211 1aann ）（）（所以所以，由于由于解解（教材第（教材第9页例页例2.5) 2.4 2.4

18、可换矩阵及方阵多项式可换矩阵及方阵多项式1.1.可交换矩阵可交换矩阵设设 a、b 均为均为n阶方阵，若阶方阵，若 ab = ba ，则称是可换的，则称是可换的.例例 2.5 设设若矩阵若矩阵 a与与 b 可交换，求可交换，求 a ,b 的值的值 .解解 由于由于 ab = ba ，即，即12,.1132abab 故故 a = 8 , b = 6 .1212,11323211abab 642,3254abababab即 6,42,35,24.aabbabab 亦即 例例2.6 设设100020 ,003a 求与求与 a 可交换的所有矩阵可交换的所有矩阵.解解 设设123123123xxxyyyz

19、zzx 与与 a 可交换可交换，即有即有于是于是1231231231231231232322223.33323xxxxxxyyyyyyzzzzzz 12312312312312312310010002 002 0 .003003xxxxxxyyyyyyzzzzzz 从而从而 x2 = 2x2 , x3 = 3x3 , 2y1 = y1 , 2y3 = 3y3 , 3z1 = z1 , 3z2 = 2z2 , 即即 x2 = x3 = y1 = y3 = z1 = z2= 0 ,所以，与可交换所以，与可交换的任一矩阵是的任一矩阵是0000 ,00abc其中其中 a ，b，c 为任意实数为任意实数

20、.注意：若注意：若ab=ba,即即a、b可交换，则有可交换，则有则则以以上上各各式式未未必必成成立立但但若若 ,)()(2)( ,)(111122222baabbabcbacababababababababaabnnnnnnnnkkk 2. 方阵多项式方阵多项式 设有设有 n 阶矩阵阶矩阵 a 和多项式和多项式 f ( ) = amm + am-1m-1 + + a1 + a0.规定规定 f ( a ) = am am + am-1 am-1 + + a1a + a0e.称称 f ( a ) 为方阵为方阵 a 的矩阵多项式的矩阵多项式.例例2.7 设有多项式设有多项式 f () = 2 3 +

21、 2和矩阵和矩阵112011 ,121a 求矩阵多项式求矩阵多项式 f (a) .（书书p10例例2.6） 解解 因为因为2112112011011121121a3363033 ,363a 325112 ,231 则则f (a) = a2 3a + 2e3253362 0 01120330 2 02313630 0 2 251121 .130 2.5 矩阵的转置矩阵的转置1. 定义定义 定义定义2.42.4 把矩阵把矩阵 a 的行换成同序数的列得到的矩阵的行换成同序数的列得到的矩阵,叫做叫做 a 的转置矩阵的转置矩阵,记作记作 at.例如例如123,456at1425 .36a ,618 b.

22、618 tb 2 2. .运算律运算律 ;1aatt ;2tttbaba ;3ttaa .4tttabab 为为正正整整数数）特特别别地地kaakttk()()( 这里仅证明这里仅证明(4)设设 a = ( aij )ms , b = ( bij )sn .abc = ( cij )mn ， btat = d = ( dij )nm. 显然，要证明（显然，要证明（ab )t = btat, 只须证明只须证明 cji = dij即可即可.因为因为sijsijijjibababac2211jssijijiababab2211ijd).,2, 1;,2, 1(mjni即即 d=ct,也就是也就是btat=(ab)t. 例例2.8 已知已知201,132a171423 .201b( ab )t.（书（书p12例例2.7） 解法解法1 因为因为t017 ()1413 .310ab所以171201423132201ab0143.1713100171413 .310 解法解法2t311 2b a.abb attt 有了转置矩阵的定义后，显然有有了转置矩阵的定义后，显然有a为反对称矩阵，为反对称矩阵，at=-a.a为对称矩