西安交大高数42

1、第二节第二节 换元积分法换元积分法 一、第一类换元法一、第一类换元法 二、第二类换元法二、第二类换元法 三、小结三、小结 思考题思考题问题问题 xdx2cos,2sincx 解决方法解决方法利用复合函数，设置中间变量利用复合函数，设置中间变量.过程过程令令xt2 ,21dtdx xdx2cosdtt cos21ct sin21.2sin21cx 一、第一类换元法一、第一类换元法在一般情况下：在一般情况下：设设),()(ufuf 则则.)()( cufduuf如果如果)(xu （可微）（可微）dxxxfxdf)()()( cxfdxxxf)()()( )()(xuduuf 由此可得换元法定理由此

2、可得换元法定理设设)(uf具有原函数，具有原函数， dxxxf)()( )()(xuduuf 第一类换元公式第一类换元公式（凑微分法凑微分法）说明说明使用此公式的关键在于将使用此公式的关键在于将 dxxg)(化为化为.)()( dxxxf观察重点不同，所得结论不同观察重点不同，所得结论不同.)(xu 可可导导，则有换元公式则有换元公式定理定理1 1例例1 1 求求.2sin xdx解解（一）（一） xdx2sin )2(2sin21xxd;2cos21cx 解解（二）（二） xdx2sin xdxxcossin2 )(sinsin2xxd ;sin2cx 解解（三）（三） xdx2sin xd

3、xxcossin2 )(coscos2xxd .cos2cx 例例2 2 求求.231dxx 解解,)23(23121231 xxxdxx 231dxxx)23(23121 duu 121cu |ln21.|23|ln21cx dxbaxf)( baxuduufa)(1一般地一般地例例3 3 求求.)ln21(1dxxx 解解dxxx )ln21(1)(lnln211xdx )ln21(ln21121xdx xuln21 duu121cu |ln21.|ln21|ln21cx 例例4 4 求求.)1(3dxxx 解解dxxx 3)1(dxxx 3)1(11)1()1(1)1(132xdxx 2

4、21)1(2111cxcx .)1(21112cxx 例例5 5 求求.122dxxa 解解dxxa 221dxaxa 222111 axdaxa2111.arctan1caxa 例例6 6 求求解一：解一：.cos11 dxx dxxcos11 dxxxxcos1cos1cos1 dxxx2cos1cos1 dxxx2sincos1 )(sinsin1sin122xdxdxx.sin1cotcxx 解二：解二： 2sin21cos112xdxdxx)2(2csc2xdx cx 2cot例例7 7 求求解解.cossin52 xdxx xdxx52cossin )(sincossin42xxd

5、x )(sin)sin1(sin222xdxx )(sin)sinsin2(sin642xdxxx.sin71sin52sin31753cxxx 说明说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分次项去凑微分.例例8 8 求求解解.2cos3cos xdxx),cos()cos(21coscosbababa ),5cos(cos212cos3cosxxxx dxxxxdxx)5cos(cos212cos3cos.5sin101sin21cxx 例例9 9 求求 22xadx解：解： 22xadxdxxaxaa)11(21 xadxaxadxa2121cx

6、aaxaa |ln21|ln21)0(|ln21 acxaxaa类似地可推出类似地可推出 22axdx)0(|ln21 acaxaxa例例1010 求求解解（一）（一） dxxsin1.csc xdx xdxcsc dxxx2cos2sin21 22cos2tan12xdxx 2tan2tan1xdxcx 2tanln.cotcsclncxx （使用了三角函数恒等变形）（使用了三角函数恒等变形）解解（二）（二） dxxsin1 xdxcsc dxxx2sinsin )(coscos112xdxxucos duu211 duuu111121cuu 11ln21.cos1cos1ln21cxx 类

7、似地可推出类似地可推出.tanseclnsec cxxxdx例例11 求求 22xadx解：解： 22xadx 2)(11axdxa 2)(1)(axaxd)0(arcsin acax积积 分分 公公 式式 22)16(xadx)0(ln21 acxaxaa 22(axdx或）或）)0(ln21 acaxaxa 22)15(xadx)0(arcsin acaxdxxa 221)14(.arctan1caxa xdxsec)17(cxx tansecln xdxcsc)18(cxx cotcscln cxxdxcoslntan)19(cxxdx sinlncot)20(问题问题?125 dxxx

8、解决方法解决方法改变中间变量的设置方法改变中间变量的设置方法.过程过程令令txsin ,costdtdx dxxx251tdtttcossin1)(sin25 tdtt25cossin （应用（应用“凑微分凑微分”即可求出结果）即可求出结果）二、第二类换元法二、第二类换元法其其中中)(x 是是)(tx 的的反反函函数数. . 证证设设 为为 的原函数的原函数,)(t )()(ttf 令令)()(xxf 则则dxdtdtdxf )()()(ttf ,)(1t 设设)(tx 是单调的、可导的函数，是单调的、可导的函数， )()()()(xtdtttfdxxf 则有换元公式则有换元公式并且并且0)(

9、 t ，又设又设)()(ttf 具有原函数，具有原函数，定理定理2 2第二类积分换元公式第二类积分换元公式 cxfdxxf)()(,)(cx )()()()(xtdtttfdxxf )(tf ).(xf 说明说明)(xf为为)(xf的原函数的原函数,例例1010 求求解解).0(122 adxax令令taxtan tdtadx2sec dxax221tdtata2secsec1 tdtsecctt tanseclntax22ax .ln22caaxax 2,2t例例1111 求求解解.423dxxx 令令txsin2 tdtdxcos2 2,2tdxxx 234 tdtttcos2sin44s

10、in223 tdtt23cossin32 tdttt22cos)cos1(sin32 tdttcos)cos(cos3242 ctt )cos51cos31(3253t2x24x .4514345232cxx 例例1 12 求求解解).0(122 adxax令令taxsec 2, 0ttdttadxtansec dxax221dttatta tantansec tdtsecctt tanseclntax22ax .ln22caaxax 说明说明(1)(1) 以上几例所使用的均为以上几例所使用的均为三角代换三角代换.三角代换的三角代换的目的目的是化掉根式是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有

11、一般规律如下：当被积函数中含有22)1(xa 可令可令;sintax 22)2(xa 可令可令;tantax 22)3(ax 可令可令.sectax 积分中为了化掉根式是否一定采用积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定情况来定.说明说明(2)(2)例例1 13 求求dxxx 251, 122 tx,tdtxdx dxxx 251 tdttt 221 dttt 1224cttt 353251.1)348(151242cxxx 21xt 令令解一：解一：解二：解二：令令txtan tdtdx2sec 2,2tt12 xx1

12、dxxx 251 xdxxsectan5 xxdsectan4 xdxsec)1(sec22 xdxxsec)1sec2(sec24cxxx secsec32sec5135.1)348(151242cxxx 例例1414 求求解解.11dxex xet 1令令, 12 tex,122dtttdx dxex 11dtt 122dttt 1111ctt 11ln .11ln2cxex ,1ln2 tx说明说明(3)(3) 当被积函数含有两种或两种以上的当被积函数含有两种或两种以上的根式根式 时，可采用令时，可采用令 （其中（其中 为各根指数的为各根指数的最小公倍数最小公倍数） lkxx,ntx n

13、例例1515 求求.)1(13dxxx 解解令令6tx ,65dttdx dxxx )1(13 dtttt)1(6235 dttt2216 dttt221116 dtt21116ctt arctan 6.arctan 666cxx 三、小结三、小结两类积分换元法：两类积分换元法： （一）（一）凑微分凑微分（二）（二）三角代换、根式代换三角代换、根式代换基本积分表基本积分表(2)一、一、 填空题：填空题： 1 1、 若若cxfdxxf )()(而而)(xu 则则 duuf)(_； 2 2、 求求 )0(22adxax时， 可作变量代换时， 可作变量代换_ _，然后再求积分；，然后再求积分； 3

14、3、 求求 dxxx211时可先令时可先令 x_； 4 4、 dxx_)1(2xd ； 5 5、 dxex2_ _ _ _)1(2xed ； 6 6、 xdx_ _ _ _ _)ln53(xd ； 练练 习习 题题7 7、 291xdx = =_ _ _ _ _)3arctan(xd；8 8、 21xxdx_ _ _ _ _)1(2xd ；9 9、 dtttsin_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；1 10 0、 222xadxx_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .二、二、 求下列不定积分： （第一类换元法）求下列不定积分：

15、 （第一类换元法） 1 1、 dxxaxa； 2 2、 )ln(lnlnxxxdx； 3 3、 221.1tanxxdxx； 4 4、 xxeedx； 5 5、 dxxx321； 6 6、 dxxxx4sin1cossin； 7 7、 dxxxxx3cossincossin； 8 8、 dxxx2491； 9 9、 dxxx239； 10 10、 )4(6xxdx； 1111、 dxxxx)1(arctan ； 12 12、 dxxexxx)1(1； 1313、 dxxx2arccos2110； 14 14、 dxxxxsincostanln. . 三、三、 求下列不定积分： （第二类换元法）求下列不定积分： （第二类换元法） 1 1、 21xxdx； 2 2、 32)1(xdx； 3 3、 xdx21； 练习题答案练习题答案一一、1 1、cuf )(; ;； 2 2、taxsec 或或taxcsc ； 3 3、t1； 4 4、21； 5 5、- -2 2； 6 6、51； 7 7、31； 8 8、 ； 9 9、ct cos2； 1 10 0、cxaaxaxa )(arcsin22222. . 二、二、1 1、cxaaxa 22arcsin； 2 2、cx lnlnln； 3 3、cx 21cosln. 3； 4 4、cex arctan； 5 5、cx 233)1(