第1节多元函数的概念二

1、1一一. .多元函数的连续性多元函数的连续性二二. .偏导数及高阶偏导数偏导数及高阶偏导数复习二、多元函数的极限二、多元函数的极限一、多元函数的定义、定义域、图形一、多元函数的定义、定义域、图形, ),.,(nxxxfu2 21 1 点函数点函数u=f(p)能表示所有的函数能表示所有的函数.2 2 n多元函数的极限定义多元函数的极限定义 apfpp )(lim0, ),(yxfz dyx ),(ayxfyyxx ),(lim00利用点函数的形式有利用点函数的形式有n元函数的极限元函数的极限3一一. .多元函数的连续性多元函数的连续性二二. .偏导数及高阶偏导数偏导数及高阶偏导数4一一. .多元

2、函数的连续性多元函数的连续性目的要求目的要求重点二元函数的连续性的概念二元函数的连续性的概念 1.1.了解二元函数的连续性的概念了解二元函数的连续性的概念 2.2.了解有界闭区域上连续函数的性质了解有界闭区域上连续函数的性质四四. .多元函数的连续性多元函数的连续性设函数设函数 z= f (x,y)在点在点p0(x0, y0)的某一邻域的某一邻域),(),(lim00,00yxfyxfyyxx 若在点若在点p0(x0, y0) 处处,自变量自变量x, y各取增量各取增量x, ),(),(0000yxfyyxxfz 则称函数则称函数 z = f (x, y)在点在点 p0(x0, y0) 处处连

3、续连续 . , 0lim00 zyx)()(lim00 xfxfxx 在点在点 处处连续连续.),(000yxp则称函数则称函数 f (x, y)若若内有定义内有定义, 1.定义定义即即函数随之取得增量函数随之取得增量z，y时，时，若若一一元元函函数数连连续续定定义义：0lim0 yx或或例例1 1 讨论函数讨论函数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的连续性的连续性解解取取kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化， 极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)(0,0)处不连续

4、处不连续四四. .多元函数的连续性多元函数的连续性.)1, 2()85(),(处处的的连连续续性性在在讨讨论论 yxyxf又又2)85() 1, 2()1, 2( yxf2)85(lim)1,2(),( yxyx的的某某邻邻域域内内有有定定义义在在)1, 2(),( yxf故故解解.)1, 2()85(),(处处连连续续在在 yxyxf例例2 2四四. .多元函数的连续性多元函数的连续性2.二元函数二元函数z=f (x, y)在区域在区域d上的连续性上的连续性 如果二元函数如果二元函数z=f (x, y)在平面区域在平面区域d内内每一点都连续，每一点都连续， 是空间中的一个不断开是空间中的一个

5、不断开(无孔无缝无孔无缝)的连续曲面。的连续曲面。二元连续函数的图形二元连续函数的图形并称并称z=f (x, y)为区域为区域d上的连续函数上的连续函数.连续，连续，则函数则函数z=f (x, y)在区域在区域d内内四四. .多元函数的连续性多元函数的连续性oxyzd),(yxfz 四四. .多元函数的连续性多元函数的连续性 如果函数如果函数 z= f (x, y) 在点在点p0(x0, y0)不连续，不连续，(1) 在点在点 p0(x0, y0) 没有定义，没有定义，(2) 极限极限 不存在，不存在，),(lim00yxfyyxx(3)，),(),(lim0000yxfyxfyyxx 则点则

6、点 p0(x0, y0)为函数的为函数的 z = f (x, y) 的间断点的间断点.如果函数如果函数 z= f (x, y) 有下列情形之一：有下列情形之一：或称或称间断点间断点.是函数是函数 f (x, y) 的的不连续点不连续点，),(000yxp点点3.间断点间断点则称则称四四. .多元函数的连续性多元函数的连续性 二元函数间断的情况要比一元函数复杂二元函数间断的情况要比一元函数复杂, 例例 0001),(xyxyyxf此函数对于此函数对于x轴与轴与y轴上的点均间断轴上的点均间断. 010),(222222yxyxyxyxf此函数在原点此函数在原点(0,0)处间断处间断.有间断点外有间

7、断点外, 它除了它除了还可能有还可能有间断线间断线.例例1 11 12 22 2 yxzsin.上间断上间断在在1 12 22 2 yx例例四四. .多元函数的连续性多元函数的连续性4.4.二元函数的连续性质二元函数的连续性质 由变量由变量x的初等函数、的初等函数、y的初等函数的初等函数经过有限次四则运算或有限次复合步骤而构成的，经过有限次四则运算或有限次复合步骤而构成的， 二元初等函数在其定义区域内处处连续二元初等函数在其定义区域内处处连续. 连续函数的和、差、积、商连续函数的和、差、积、商(分母不为零分母不为零)与复与复合仍连续合仍连续.定理定理二元初等函数二元初等函数称为称为二元初等函数

8、二元初等函数.一个数学式子表示的函数一个数学式子表示的函数,且用且用定理定理四四. .多元函数的连续性多元函数的连续性例例3 求求2212limxyxyxxyy 解解 一般地，求一般地，求 时，如果时，如果f (p) 是是初等函数，初等函数，0lim( )ppf p00lim( )().ppf pf p 22221212lim11122xyxyxxyy 于是于是 则则 f (p) 在在p0处连续，处连续，且且 p0是是f (p) 的定义域内的点，的定义域内的点，四四. .多元函数的连续性多元函数的连续性例例4 求极限求极限22210arcsinlimyxyx .11lim00 xyxyyx )

9、11(11lim00 xyxyxyyx,arcsinlim22210yxyx 解解xyxyyx11lim00 .6 41arcsin .21 .)ln(lim 2 22 20 01 1yxexyyx 求求)0 , 1(f 原式原式. 2ln 例例5 解解四四. .多元函数的连续性多元函数的连续性5. 5. 闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域d d上的二元连续函数，如果在上的二元连续函数，如果在d d上上取得两个不同的函数值，则它在取得两个不同的函数值，则它在d d上必取得介于这两上必取得介于这两值之间的任何值至少一次值之间的任何值至少一次(2) (2) 最大

10、值和最小值定理最大值和最小值定理(3) (3) 介值定理介值定理 在有界闭区域在有界闭区域 d上的二元连续函数在上的二元连续函数在 d上一定有上一定有最大值和最小值最大值和最小值.四四. .多元函数的连续性多元函数的连续性（1 1）有界性定理）有界性定理 有界闭区域有界闭区域d d上的多元连续函数是上的多元连续函数是d d上的有界函数上的有界函数 多元函数的连续多元函数的连续多元函数的连续定义多元函数的连续定义 )()(lim00pfpfpp 由于这种形式上的统一，使得多元函数的一些主由于这种形式上的统一，使得多元函数的一些主要概念、性质要概念、性质与二元函数类似与二元函数类似. .并将其统一

11、为并将其统一为点函数点函数形式形式. 同二元函数类似，可以定义多元函数的连续概念同二元函数类似，可以定义多元函数的连续概念.可以由二元函数微积分类似推广可以由二元函数微积分类似推广.微积分的研究微积分的研究主要以二元函数为主主要以二元函数为主,多元函数微积分多元函数微积分因此，对于多元函数因此，对于多元函数四四. .多元函数的连续性多元函数的连续性小 结一一. .多元函数的连续性多元函数的连续性),(),(lim,0 00 00 00 0yxfyxfyyxx 0 00 00 0 zyxlim作业:p302 5(1)二二. .闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质思考题思考题1？最最近近的

12、的点点存存在在？为为什什么么点点最最远远和和上上是是否否一一定定有有到到一一点点。问问外外为为，为为空空间间任任一一有有界界闭闭区区域域设设pp 四四. .多元函数的连续性多元函数的连续性思考题思考题1解答解答有有.,),(),(000任任意意一一点点上上为为，点点的的坐坐标标为为设设 zyxqzyxp四四. .多元函数的连续性多元函数的连续性数数的的性性质质可可知知，由由闭闭区区域域上上连连续续函函上上的的连连续续函函数数，它它是是 2 20 02 20 02 20 0)()()(zzyyxxpq 则则两两点点间间距距离离为为一定有最大值和最小值存在一定有最大值和最小值存在对应的点即为最值点对应的点即为最值点. . 若若点点),(yx沿沿着着无无数数多多条条平平面面曲曲线线趋趋向向于于点点),(00yx时时，函函数数),(yxf都都趋趋向向于于 a，能能否否断断定定ayxfyxyx ),(lim),(),(00？ 思考题思考题2 2不能不能.,)(),(:24223yxyxyxf 例如例如)0 , 0(),(yx,kxy 取取2442223)(),(xkxxkxkxxf 00 x,2 2yx 但若取但若取244262)(),(yyyyyyf .41二二.多元函数极限的概念及极限不存在的判定多元函数极限的概念及极限不