第二章第5节函数的微分

1、1一、问题的提出二、微分的定义三、可微的条件四、微分的几何意义五、微分的求法六、微分形式的不变性八、小结及作业七、微分在近似计算中的应用第五节 函数的微分2实例实例: :正方形金属薄片受热后面积的改变量正方形金属薄片受热后面积的改变量.20 xa 0 x0 x,00 xxx 变到变到设边长由设边长由,20 xa 正方形面积正方形面积2020)(xxxa .)(220 xxx )1()2(;,的主要部分的主要部分且为且为的线性函数的线性函数ax .,很小时可忽略很小时可忽略当当的高阶无穷小的高阶无穷小xx :)1(:)2(x x 2)( x xx 0 xx 0一、问题的提出3再例如再例如,30,

2、.yxxxy设设函函数数在在点点处处的的改改变变量量为为时时 求求函函数数的的改改变变量量3030)(xxxy .)()(3332020 xxxxx )1()2(,很小时很小时当当 x .320 xxy ),()2(xox 的高阶无穷小的高阶无穷小是是既容易计算又是较好的近似值既容易计算又是较好的近似值 问题问题: :这个线性函数这个线性函数(改变量的主要部分改变量的主要部分)是否所有是否所有函数的改变量都有函数的改变量都有?它是什么它是什么?如何求如何求?4二、微分的定义000000( ),()()(),()( ),( ),yf xxxxyf xxf xyaxoxaxoxxyf xxaxyf

3、 xxxx 设在某区间内有定义及在这区间内 如果函数增量可表示为其中 是与无关的常数是比高阶的无穷小；则称在点 可微 称为在点 相应于 增量的微分),(xdfdy 或或记作记作xady即即5点点在在如如xxy122) 12(1)(222xxxy因为2)(24xxx点可微，在称xxy12,4xxdy01. 0, 1xx如果取如果取04. 001. 014dy问题：问题：?a6).(,)()(000 xfaxxfxxf 且且处可导处可导在点在点数数可微的充要条件是函可微的充要条件是函在点在点函数函数定理定理证证(1) 必要性必要性,)(0可微可微在点在点xxf),( xoxay ,)(xxoaxy

4、 xxoaxyxx )(limlim00则则.a ).(,)(00 xfaxxf 且且可导可导在点在点即函数即函数三、可微的条件7(2) 充分性充分性),()(0 xxxfy 从而从而,)(0 xfxy即即,)(0可导可导在点在点函数函数xxf),(lim00 xfxyx ),0(0 x),()(0 xoxxf .)(,)(00axfxxf且且可微可微在点在点函数函数).(.0 xfa 可微可微可导可导.)(xxfdy即即8例例1 1解解.02. 0, 23时的微分时的微分当当求函数求函数 xxxyxxdy )(3.32xx 02. 02202. 023 xxxxxxdy.24. 0 .,xd

5、xdxxx 即即记作记作称为自变量的微分称为自变量的微分的增量的增量通常把自变量通常把自变量.)(dxxfdy ).(xfdxdy .微商微商导数也叫导数也叫,2xey 如如dxxedyx229)(xfy 0 xmntdyy)( xo ）xyo x 几何意义几何意义:(:(如图如图) ).,对应的增量对应的增量就是切线纵坐标就是切线纵坐标坐标增量时坐标增量时是曲线的纵是曲线的纵当当dyy xx0 p .,mnmpmx可近似代替曲线段可近似代替曲线段切线段切线段的附近的附近在点在点很小时很小时当当 四、微分的几何意义10dxxfdy)( 求法求法: : 计算函数的导数计算函数的导数, 乘以自变量

6、的微分乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdcdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221 五、微分的求法11dxxxddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)( 2. 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则2)()()()(vudvv

7、duvududvvduuvdcducuddvduvud arc12例例2 2解解.),ln(2dyexyx求求设设 ,2122xxexxey .2122dxexxedyxx 例例3 3解解.,cos31dyxeyx求求设设 )(cos)(cos3131xdeedxdyxx .sin)(cos,3)(3131xxeexx dxxedxexdyxx)sin()3(cos3131 .)sincos3(31dxxxex 13;)(,)1(dxxfdyx 是自变量时是自变量时若若则则微函数微函数的可的可即另一变量即另一变量是中间变量时是中间变量时若若),(,)2(txtx ),()(xfxfy 有导数有

8、导数设函数设函数dttxfdy)()( ,)(dxdtt .)(dxxfdy 结论结论：的微分形式总是的微分形式总是函数函数是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量无论无论)(,xfyx 微分形式的不变性微分形式的不变性dxxfdy)( 六、微分形式的不变性14例例4 4解解例例3 3解解.),12sin(dyxy求求设设 ududycos )12()12cos( xdxdxx2)12cos( .)12cos(2dxx .,21arctandyeyx求求)1(arctan21arctan2xdedyx2221arctan1)1(112xdxex)1 (121212221arctan2xdxxe

9、xdxxxxex221122)(arctan15例例5 5解解在下列等式左端的括号中填入适当的函数在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使使等式成立等式成立.).()()(sin)2(;cos)()1(2xdxdtdtd ,cos)(sin)1(tdttd )(sin1costdtdt .cos)sin1(tdtctd );sin1(td dxxdxxxxdxd21cos2)()(sin)2(22 ,cos42xxx ).()cos4()(sin22xdxxxxd 161、计算函数增量的近似值、计算函数增量的近似值, 0)()(00很小时很小时且且处的导数处的导数在点在点若若xxfxxfy 例

10、例1 1?,05. 0,10问面积增大了多少问面积增大了多少厘米厘米半径伸长了半径伸长了厘米的金属圆片加热后厘米的金属圆片加热后半径半径解解,2ra 设设.05. 0,10厘米厘米厘米厘米 rrrrdaa205. 0102 ).(2厘米厘米 .)(0 xxf 00 xxxxdyy 七、微分在近似计算中的应用172、计算函数的近似值、计算函数的近似值;)(.10附近的近似值在点求）xxxf)()(00 xfxxfy .)(0 xxf .)()()(000 xxfxfxxf )(很小时很小时x 例例1 1.0360coso的近似值的近似值计算计算 解解,cos)(xxf 设设)( ,sin)(为弧

11、度为弧度xxxf ,360,30 xx18.23)3(,21)3( ff)3603cos(0360coso 3603sin3cos 3602321 .4924. 0 ;0)(.2附近的近似值在点求）xxf.)0()0()(xffxf ,)()()(000 xxfxfxxf ., 00 xxx 令令19常用近似公式常用近似公式)(很小时很小时x.)1ln()5(;1)4();(tan)3();(sin)2(;111)1(xxxexxxxxxxnxxn 为弧度为弧度为弧度为弧度证明证明,1)()1(nxxf 设设,)1(1)(11 nxnxf.1)0(, 1)0(nff xffxf)0()0()(

12、 .1nx 20例例2 2.计算下列各数的近似值计算下列各数的近似值解解.)2(;5 .998)1(03. 03 e335 . 110005 .998)1( 3)10005 . 11(1000 30015. 0110 )0015. 0311(10 .995. 9 03. 01)2(03. 0 e.97. 0 21八、小结微分学所要解决的两类问题微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题函数的变化率问题函数的增量问题函数的增量问题微分的概念微分的概念导数的概念导数的概念求导数与微分的方法求导数与微分的方法,叫做叫做微分法微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学研究微分法与导数理论及其应用的科学

13、,叫做叫做微分学微分学.导数与微分的联系导数与微分的联系:.可微可微可导可导 22近似计算的基本公式近似计算的基本公式.)0()0()(xffxf 00 xxxxdyy .)(0 xxf ),()()()(000 xxxfxfxf ,很很小小时时当当 x ,0时时当当 x2312352p习题54)(3)(2 , 1（做在书上），单数，做在书上125p总习题二.14,13),2(12,11),2(10),2(9),4 , 2(8 , 7),1 (6 , 524思考题思考题 因因为为一一元元函函数数)(xfy 在在0 x的的可可微微性性与与可可导导性性是是等等价价的的，所所以以有有人人说说“微微分

14、分就就是是导导数数，导导数数就就是是微微分分”，这这说说法法对对吗吗？25思考题解答思考题解答说法不对说法不对. 从概念上讲，微分是从求函数增量引从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念的极限，它们是完全不同的概念. 26一、一、 填空题：填空题：1 1、 已知函数已知函数2)(xxf 在点在点x处的自变量的增量为处的自变量的增量为0.20.2，对应的函数增量的线性全部是，对应的函数增量的线性全部是dy=0.8=0.8，那，那么自变

15、量么自变量x的始值为的始值为_._.2 2、 微分的几何意义是微分的几何意义是_._.3 3、 若若)(xfy 是可微函数，则当是可微函数，则当0 x时，时， dyy 是关于是关于x 的的_无穷小无穷小. .4 4、 xdxd sin_ . .5 5、 dxedx2_ . .6 6、 xdxd3sec_2 . .7 7、 xexy22 , ,_22dxdedyx . .8 8、 _)2(arctan2 xed， _ xde. .练练 习习 题题27二、二、 求下列的函数的微分：求下列的函数的微分：1 1、 12 xxy；2 2、 2)1ln(xy ；3 3、 21arcsinxy ；4 4、2211arctanxxy ； 5 5、xeyx3cos3 ，求，求3 xdy； 6 6、求由方程、求由方程22)cos(yxxy 所确定的所确定的 y微分微分. .