等价无穷小量的比较与应用

1、1微积分微积分i i教师：教师：陈新宏陈新宏单位：数学与计算科学学院单位：数学与计算科学学院21 1、无穷小量、无穷小量2 2、无穷大量、无穷大量3 3、无穷小量的比较、无穷小量的比较4 4、等价无穷小量的替换、等价无穷小量的替换2 2、5 5 无穷小的比较与应用无穷小的比较与应用3复习：复习：两个重要极限两个重要极限公式公式1 1、. 1sinlim 0 xxx变形变形. 11sinlim xxx相似：相似：. 0sinlim xxx及及. 01sinlim 0 xxx特点特点 sin.2001上下一致上下一致类型类型证明：用夹逼定理或无穷小的性质证明：用夹逼定理或无穷小的性质注意注意要看清

2、楚是要看清楚是sin0sinor4exlimxx 11e)x(limxx 1012.内外倒数内外倒数特点特点形式1.1变形公式公式2 2、相似：相似：011lim0 xxx及及0)1 (lim1xxx注意注意要看清楚是要看清楚是01or5一、无穷小量一、无穷小量1 1、定义、定义1 1例如例如:(1) :(1) ) 1(lim1xx, 0所以所以1x为为1x时的时的无穷小量无穷小量. .nn1lim).2(, 0所以所以n1为为n时的时的无穷小量无穷小量. .（1 1）无穷小量是一个变量）无穷小量是一个变量. . 不要与很小的数混淆不要与很小的数混淆. .注意注意极限为零的变量称为无穷小量，简

3、称无穷小。极限为零的变量称为无穷小量，简称无穷小。（2 2）无穷小量必须要指明相应的极限过程。）无穷小量必须要指明相应的极限过程。62 2、无穷小的性质、无穷小的性质有限个无穷小的代数和仍为无穷小有限个无穷小的代数和仍为无穷小. 无穷小量与有界变量的乘积是无穷小无穷小量与有界变量的乘积是无穷小. .例如,xxx2sinlim).1 (xxx1coslim).2(02arctanlim).3(xxxxxx2sin1lim. 0. 0 xxxarctan1lim2. 0有限个无穷小的乘积仍为无穷小有限个无穷小的乘积仍为无穷小. .性质性质1.1.性质性质2.2.性质性质3.3.7xxxxxsin3

4、214324lim12例解解014324lim2xxxx5sin32x且0sin3214324lim2xxxxx8练习一下练习一下xxxxxxxsin3cos214352lim253例9定理定理 1a)x(flim)x(xx 000 )x(xxlim,a)x(f aylim 0 lim,ay 无穷小与无穷小与 极限的关系极限的关系10二、无穷大量二、无穷大量定义定义2 2记作记作: : ylim （1 1）无穷大量是一个）无穷大量是一个变量变量, ,不要与很大的数混淆不要与很大的数混淆. .注意注意例如例如. . xlimx10 （2 2）无穷大量必须指明极限过程。）无穷大量必须指明极限过程。

5、 （3 3）无穷大量与无穷小量的关系。）无穷大量与无穷小量的关系。极限为极限为 的变量称为无穷大量，简称无穷大。的变量称为无穷大量，简称无穷大。所以所以x1为为0 x时的时的无穷大量无穷大量. .11思考题：思考题：无穷大量有没有与无穷小量类似的性质？无穷大量有没有与无穷小量类似的性质？12三、无穷小三、无穷小量量阶阶的比较的比较20 xxsinlimxxxsinlimx0.,0 的的无无穷穷小小是是在在同同一一个个极极限限过过程程中中、设设xsin,x,x,x230 x当当时，时，都是无穷小都是无穷小. .xxx3lim 20而而0 1 定义定义3 3,lim0 1)1)若若则称则称是比是比

6、高阶的无穷小高阶的无穷小, , ;o 记作记作,lim 2)2)若若则称则称是比是比低阶的无穷小低阶的无穷小; ;,clim0 3)3)若若则称则称与与是是同阶无穷小同阶无穷小; ;,lim1 4)4)若若则称则称与与是是等价无穷小等价无穷小, ,. 记作记作xxlimx3031 13 ,11lim22nnn , 034lim1230 xxx解解: :2334xox 所以所以0 x时时, ,.11,2低阶的无穷小是比时当nnn , 8416lim324xxx所以所以4x时时, ,162x与与4x是同阶无穷小是同阶无穷小 , 1111lim40nnx.111nnn例例3 3、判断下列无穷小的阶、

7、判断下列无穷小的阶: :)0(3 ,4) 1 (23xxx)(1,1)2(2nnn)4(4,16)3(2xxx.11,1)4(nnn 注意：注意：等价等价与与相等相等不一样不一样14xx sin,0时当 xxx tan22cos1xxxx 1lnxex1记住记住xx arctanxx arcsin常见的等价无穷小量有常见的等价无穷小量有15四四、等价等价无穷小无穷小量量的的替换替换则有且时的无穷小量均为若，ax，1111axlim11limax注意注意1111limaxaxlim11limax证明：证明：16例例4 4求求xxx3tan5sinlim0解解xxxx33tan55sin3535l

8、im0 xxx原式17例例5 5 求求30sintanlimxxxx解解xxxxsintan0lim30 xxxx原式错误错误18正确做法：正确做法：30sintanlimxxxxxxxxxcoscos1sinlim30 xx sin22cos1xx21coslim3202xxxxx原式1921cosxaxba0 x求常数求常数ba,例例6 6、已知当、已知当 时，时，解解知由0coslim0 xbax0baab即201coslimxaxbax又201cos1limxaxax222101limxaxax112aa知知2a从而从而2b20练习一下练习一下例例7 7 求求xxxxarctan31sincoslim021提高题目提高题目例例8 8 已知已知1132xxxy则，则， 为无穷小量为无穷小量x则，则， 为无穷大量为无穷大量x22要要 求求(1)(1)知道无穷小量与无穷大量知道无穷小量与无穷大量(2)(2)熟记简单的等价无穷小量熟记简单的等价无穷小量两条经验两条经验(1).(1).一条性质：无穷小量乘以有界变量还是无穷小量一条性质：无穷小量乘以有界变量还是无穷小量(2).(2).无穷小量的替换只能用在乘除不能用在加减无穷小量的替换只能用在乘除不能用在加减23求极限的方法总结求极限的方法总结x102xx4 4、三