勾股定理典型例题归类总结

1、精选文档9 .已知RtAABC的周长为,其中斜边 出5二2 ,求这个三角形的面积。10 .如果把勾股定理的边的平方理解为正方形的面积，那么从面积的角度来说，勾股定理可以推广（1）如图，以RtABC的三边长为边作三个等边三角形，则这三个等边三角形的面积&、S2、S3之间有何关系？并说明理由。（2）如图，以Rt ABC的三边长为直径作三个半圆，则这三个半圆的面积S、S2、S3之间有何关系？（3）如果将上图中的斜边上的半圆沿斜边翻折180。，请探讨两个阴影部分的面积之和与直角三角形的面积之间的关系，并说明理由。（此阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”）例1.如果梯子的底端离建筑物9米，那

2、么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米?跟踪练习：1 .如图（8）,水池中离岸边 D点1.5米的C处，到岸边，它的顶端 B恰好落到D点，并求水池的深度 AC.幻的兴是世5木，把特苇拉用22 .一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端长为13米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是（）A、12 米 B、13 米C、14 米D、15 米3 .如图，有两颗树，一颗高 10米，另一颗高4米，两机目距8米.一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的 树梢，问小鸟至少飞行（）A、8 米B、10 米C、12 米 D、14米题型三：勾股定理和逆定理并用一一1 一一,，例3.如图3,正万形A

3、BCD中，E是BC边上的中点，F是AB上一点，且FB AB那么 DEF是直角4三角形吗？为什么？注：本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。跟踪练习：1.如图，正方形 ABCD中，E为BC边的中点，F点CD边上一点，且 DF=3CF ,求证：/ AEF=90°题型四：利用触殳定理求线段长度一一例1.如图4,已知长方形 ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E,将4ADE折叠使点 D恰好落在BC边上的点F,求CE的长.跟踪练习：1 .如图，将一个有 45度角的三角板顶点 C放在一弓宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点 B在纸带的另边沿上，测得三角板的一边与纸带

4、的一边所在的直线成30。角，求三角板的最大边 AB的长.2 .如图，在 ABC 中，AB=BC , / ABC=90° , D 为 AC 的中点，DE，DF ,交 AB 于 E,交 BC于 F, (1) 求证：BE=CF; (2)若 AE=3 , CF=1 ,求 EF 的长.3 .如图，CA=CB,CD=CE, / ACB= / ECD=90° ,D 为 AB 边上的一点 若 AD=1 , BD=3 ,求 CD 的长.题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直一一例1.有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至5米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米

5、的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？跟踪练习：ABC的形1 .如图，每个小正方形的边长都是1, ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，试判断4状，并说明理由.（1）求证：/ ABD=90° ; （2）求的值2 .下列各组数中，以它们边的三角形不是直角三角形的是（）A、9, 12, 15 B、7,24,25 C、 AV3,VG D、3, 4, 53 .在 ABC 中，下列说法/ B=/C-/A;/ =e + &（5-匕；/ a：/B:/C=3: 4: 5;a:b:c=5:4:3;rF： I产：（T=1：2:3,其中能判断 ABC为直角三角形的条件有（）A、2个 B、3个

6、C、4个D、5个4 .在 ABC中，/ A、/ B、/C的对边分别是a、b、c.判断下列三角形是否为直角三角形？并判断哪一个是直角？（1） a=26, b=10, c=24; （2） a=5, b=7 , c=9; （3） a=2, = y/3, e - yflA、2个 B、3个 C、4个 D、5个5 .已知 ABC的三边长为a、b、c,且满足伍一 7/十心一国十心T3 - 0,则此时三角形一定是（）A、等腰三角形B、直角三角形C、等腰直角三角形D、锐角三角形6 .在 ABC 中，若 a= n2 1 , b=2n , c= n2 1 ,则 ABC 是（）A、锐角三角形B、钝角三角形C、等腰三角

7、形D、直角三角形7 .如图，正方形网格中的 ABC是（）A、直角三角形B、锐角三角形 C、钝角三角形D、锐角三角形或钝角三角形8 .已知在 ABC中，/ A、/ B、/C的对边分别是 a、b、c,下列说法中，错误的是（）A、如果/ C-/B=/A,那么/ C=90°B、如果/ C=90° ,那么/ 一 <?=C、如果（a+b） （a-b）=y，那么/ A=90 ° D、如果/ A=30 ° ,那么 AC=2BC并说明理由10 .观察卜列各式：十+ r =修,即+和2 =写出下一个式子为 11 .已知，m>n, m、n为正整数，以 m2一12

8、.一个直角三角形的三边分别为n+1, n-1,题型六：旋转问题：例题6.如图，P是等边三角形 ABC内一点, 必J:10 15* + 82 = F 242 + 102 = 2伊，根据其中规律,心, 2mn,订/ + 1产为边的三角形是_三角形.8,其中n+1是最大边,当n为多少时，三角形为直角三角形？PA=2,PB= 2 J3 ,PC=44 ABC 的边长.B9 .已知 ABC的三边分别为a, b, c,且a+b=3 , ab=1，匕=小，求/ +肥的值，试判断 ABC的形状,跟踪练习1.如图， ABC为等腰直角三角形，/ BAC=90 ° , E、F是BC上的点，且/ EAF=45

9、 ° ,试探究222、BE2、CF2、EF2间的关系，并说明理由题型七：关于翻折问题例题7.如图，矩形纸片 ABCD的边AB=10cm, BC=6cm , E为BC上一点，将矩形纸片沿 AE折叠，点B 恰好落在CD边上的点G处，求BE的长.跟踪练习,把 ADC沿直线AD翻折，点C落在点C'的位置，BC=4,1.如图，AD是4ABC的中线，/ ADC=45 求BC'的长.（一）折叠直角三角形1.如图，在 ABC 中，/ A = 90，点D为AB上一点，沿CD折叠 ABC，点A恰好落在BC边上的A处,AB=4 , AC=3 ,求 BD 的长。2.如图，RtA ABC 中，

10、/ B=90,AB=3 , AC=5 .将 ABC折叠使C与A重合，折痕为DE ,求BE的长.（二）折叠长方形1.如图，长方形 ABCD中，AB=4, BC=5, F为CD上一点，将长方形沿折痕 AF折叠，点D恰好落在BC 上的点E处，求CF的长。2.如图，长方形ABCD中，AD=8cm , AB=4cm ,沿EF折叠，使点 D与点B重合，点 C与C'重合.(1)求DE的长；（2）求折痕EF的长.3 . （2013?常德）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边CD落在对角线AC上，折痕为CE,且D点落在 对角线D'处.若 AB=3 , AD=4 ,则ED的长为（）4 .如图，长方

11、形ABCD中，AB=6 , AD=8 ,沿BD折叠使A至U A'处DA'交 BC于F点.(1)求证：FB=FE(2)求证：CA' /BD(3)求 DBF的面积7.如图，正方形 ABCD中，点E在边CD上，将 ADE沿AE对折至 AFE ,延长EF交边BC于点G,GDE为BC的中点，连结 AG、CF. (1)求证：AG/CF; (2)求CE的值.题型八：关于勾股定理在实际中的应用：例1、如图，公路 MN和公路PQ在P点处交汇，点 A处有一所中学，AP=160米，点A到公路MN的距 离为80米，假使拖拉机行驶时， 周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路 MN上沿P

12、N方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？例2.一辆装满货物高为1.8米，宽1.5米的卡车要通过一个直径为5米的半圆形双向行驶隧道，它能顺利通过吗？跟踪练习:1 .某市气象台测得一热带风暴中心从A城正西方向300km处，以每小时26km的速度向北偏东60°方向移动，距风暴中心 200km的范围内为受影响区域。试问 A城是否受这次风暴的影响？如果受影响，请 求出遭受风暴影响的时间；如果没有受影响，请说明理由。A北2 .一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米耍开进厂门形状如下图的某工厂，问这辆卡车

13、能否通过该工厂的厂门？3有一个边长为 50dm的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少多长？（结果保留整4 .如图，铁路上 A,B两点相距25km,C,D为两村庄，DA，AB于A,CB，AB于B,已知DA=15km,CB=10km , 现在要在铁路 AB上建一个土特产品收购站 E,使得C, D两村到E站的距离相等，则 E站应建在离A站 多少km处？题型九：关于最短性问题例1、如右图1 19,壁虎在一座底面半径为 2米，高为4米的油罐的下底边沿 A处，它发现在自己的正 上方油罐上边缘的 B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而 是绕着油罐，沿一条

14、螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击.结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐.请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫？（兀取3.14,结果保留1位小数，可以用计算器计算）tl 例2.跟踪练习：1 .如图为一棱长为 3cm的正方体，把所有面都分为9个小正方形，其边长都是 1cm,假设一只蚂蚁每秒爬行2cm,则它从下地面 A点沿表面爬行至右侧面的 B点，最少要花几秒钟？2 .如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm, 3cm和1cm, A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到 B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从 A点出发，沿着 台阶面爬到B点，最短线路是多

15、少？3 .一个长方体盒子的长、宽、高分别为8cm, 6cm, 12cm,一只蚂蚁想从盒底的 A点爬到盒顶的B点,你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？4 .如图将一根13.5厘米长的细木棒放入长、宽、高分别为 4厘米、3厘米和12厘米的长方体无盖盒子中, 能全部放进去吗？题型十：勾股定理与特殊角（一） 直接运用30°或45°的直角三角形1 .如图，在 ABC中，/ C = 90 ° , B = 30° , AD是 ABC的角平分线，若 AC= 2J3 ,求AD的长。2 .如图，在 ABC 中，/ ACB = 90 ° ,

16、AD 是 ABC 的角平分线，CD LAB于 D, / A= 3 0° , CD=2 ,求3.如图，在 ABC 中，AD LBC于 D, / B= 60,/ ,C= 45° , AC=2 ,求 BD 的长。D（二）作垂线构造30°或45。的直角三角形（1） 将105°转化为45°和60°1 .如图，在 ABC 中，/ B= 45° , / A=105 ° , AC=2 ,求 BC 的长。2 .如图，在四边形 ABCD 中，Z A= ZC= 45 , Z ADB= /ABC=105 ；若 AD=2,求AB的长；若 A

17、B+CD= 273+2,求 AB 的长。(2)将75 转化为30°和45°3.如图，在 ABC 中，/ B=45° ,Z BAC=75 ° , AB= <6 ,求 BC 的长。(一)直接用勾股定理列方程1.如图，在 ABC 中，Z C= 902.如图，在 ABC中，题型十一：运用勾股定理列方程AD 平分/ CAB 交 CB 于 D, CD=3,BD=5 ,求 AD 的长。且/ CAD=2 Z BAD,若 BD=3 , CD=8 ,求 AB 的长。（二）巧用“连环勾”列方程1 .如图，在 ABC 中，AB=5 , BC=7, AC= 4J2，求 S

18、ABC2 .如图，在 ABC 中，/ ACB= 90 ° , CD LAB 于 D, AC=3 , BC=4 ,求 AD 的长。,CD LAB 于 D, AD=1 , BD=4 ,求 AC 的长4 .如图， ABC 中，/ ACB=90° , CD LAB 于 D, CD=3 , BD=4 ,求 AD 的长题型十二：勾股定理与分类讨论（一） 锐角与钝角不明时需分类讨论1.在 MBC 中，AB=AC=5:占匚=7工,求bc的长2 .在4ABC 中，AB=15, AC=13, AD 为 ABC 的高，且 AD=12 ,求 ABC 的面积。（二）腰和底不明时需分类讨论3 .如图1

19、, 4ABC中，/ ACB=90° , AC=6 , BC=8 ,点D为射线 AC上一点，且 ABD是等腰三角形，求 ABD的周长.（三）直角边和斜边不明时需分类讨论1 .已知直角三角形两边分别为 2和3,则第三边的长为2 .在 ABC中，/ ACB=90° , AC=4 , BC=2 ,以AB为边向外作等腰直角三角形 ABD ,求CD的长3 .如图，D(2,1)，以OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在 出落在x轴上的顶点坐标.题型十三：也上 L1或通匕问题的证明1 .如图 1, ABC 中，CA=CB, / ACB=90° , D 为 AB 的中点,x轴上

20、，这样的等腰三角形能画多少个汨M、N分别为 AC、BC上一点，且 DM，DN. (1)求证：CM+CN= .BD(2)如图2,若M、N分别在AC、CB的延长线上，探究 CM、CN、BD之间的数量关系式。2 .已知/ BCD=a , / BAD=B ,CB=CD. (1)如图 1,若 a = B =90 ° ,求证AB+AD= V2AC; (2)如图 2,若 a = 3 =90° ,求证:AB-AD= V- AC; (3)如图 3, 如图 3,若 a = 3 =120 ° ,求证AB-AD= VAC；若 a =120 ° ,3 =60。，求谓B=AD=巡A

21、C; (4)题型十四：-问题的证明1.如图，OA=OB , OC=OD , / AOB= / COD=90° , M、N 分别为 AC、BD 的中点，连 MN、MN= . ON.ON.求证:1,若 E、F(1)中的结2 .已知 ABC 中，AB=AC , / BAC=90° , D 为 BC 的中点，AE=CF ,连 DE、EF. (1)如图 分别在AB、AC上，求证：EF=M?DE; (2)如图2,若E、F分别在BA、AC的延长线上，J 论是否仍成立？请说明理由.3 .如图， ABD中，。为AB的中点，C为DO延长线上一点，/ACO=135° , / ODB=4

22、5°探为D、OC、AC之间相等的数量关系.4 .如图， ABD 是等腰直角, / BAD=90° BC/ AD , BC=2AB , CE 平分/ BCD ,交 AB 于 E,交 BD 于H .求证：(1) dc=/2da； (2) be=J2dh题型十五：勾股定理（逆定理）与网格画图1 .如图，每个小正方形的边长为 1, A、B、C是小正方形的顶点，则/ ABC的度数为.2 .如图，每个小正方形的边长都是1,在图中画一个三角形，使它的三边长分别是3,2色，且三角形的三个顶点都在格点上.3 .如图，每个小正方形的边长都是1,在图中画一个边长为的正方形，且正方形的四个顶点在格

23、点上.4在图中以格点为顶点画一个等腰三角形，使其内部已标注的格点只有3个.5.如图，在4个均匀由16个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角形，那么这 4个三角形中,与众不同的是 中的三角形，图4中最长边上的高为 6.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为 列要求画图：1,每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下(1)画一条线段 MN ,使MN='/修；(2)画 ABC,三边长分别为 3, 1疔彳，诋。7.如图，在5X5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,线段AB的端点在格点上.(1)图1中以AB为腰的等腰三角形有 个，画出其中的一个，并直接写出其底边长.(2)图2中，以AB为底边的等腰三角形有 个，画出其中的一个，并直接写出其底边上的高.题型十六：利用勾股定理逆定理证垂直1.如图，在 ABC中，点D为BC边上一点，且 AB=10 , BD=6 , AD=8 , AC=7 ,其求 CD的长.2.如图，在四边形 ABCD中,B=90° , AB=2 , BQ = fC CD=5 , AD=4 ,求BCD3 .如图，在 ABC中，AD为BC边上的中线， AB=5,AC=13,AD=6 ,求BC的长.4 .已知 ABC中，CA=