勾股定理培优专项练习

1、勾股定理练习、（根据对称求最小值）基本模型：如下图1 （自己作图）已知点A、B为直线m同侧的两个点，请在直线m上找一点M，使得AM+BM有最小1、已知边长为4的正三角形ABC上一点E，AE=1，AD_LBC于D,请在AD上找一点N，使得EN+BN有最小值，并求出最小值。2、已知边长为4的正方形ABCD上一点E，AE=1，请在对角线AC上找一点N，使得 EN+BN有最小值，并求出最小值。3、如图，已知直线a | b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=2 30 试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MNJ_a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时

2、AM+NB=（）B4、已知 AB=20 , DAI AB 于点 A, CB_LAB 于点 B, DA=10 , CB=5 .1 ）在AB上找一点E，使EC=ED，并求出EA的长；2 ）在AB上找一点F，使FC+FD最小，并求出这个最小值5、如图，在梯形 ABCD 中，ZC=45 °，ZBAD= ZB=90 °，AD=3，CD=2 2 ，M为BC上一动点，则aAMD周长的最小值为-6、如图，等边AABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AB边上一点，则EM+BM的最小值为-7、如图NAOB = 45 °，P是NAOB内一点，PO= 10，Q、R

3、分别是OA、OB上的动点， 求PQR周长的最小值8 如图所示，正方形ABCD的面积为12，ZABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD + PE的和最小，则这个最小值为（）A - 2B 26C 3 D 6 9、在边长为2 cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动占，八、 连接PB、PQ，则APBO周长的最小值为 c_m10、在长方形ABCD中，AB=4,BC=8,E为CD边的中点，若P、Q是BC边上的两动点，且PQ=2，当四边形APQE的周长最小时，求BP的长.（在AD上截取AF=PQ=2，作A关于BC的对称点G，连GE交BC与点Q，作

4、APII AQ，作Rt/kGHE,可求结果为4）二、几何体展开求最短路径1、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm，3dm，2dm，A和B是这个台阶两相对的端点，A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B 点的最短路程是多少dm ?2、如图：一圆柱体的底面周长为20cm，高A B为4cm，B C是上底面的直径-一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程3、如图，一个高18m，周长5m的圆柱形水塔，现制造一个螺旋形登梯，为了减小坡度，要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端，问登梯至少多长？4、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表

5、面爬到对角顶点C处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？5、如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，求 壁虎捕捉蚊子的最短距离。三、折叠问题1、如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8 cm ，BC=10cm，求EF的长。.DA2、如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B '处，点A落在点A '处（；1 ）求证：BE=BF ；2）设AE= a，AB= b，BF= c，试猜想a、b、c之间的一

6、种关系，并给予证明3、如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，将AABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD=。CD'=2 cm，则AD的长为.5、如图，在 RtAABC 中，ZABC=90，ZC=60AC=10，使点c落在BA上的点C '，折痕为BE，则EC的长度是（A、53B、53 5c、10-5 3/A 1-B Bc C L3题图4题圉6、如图，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在CBC=7，求重合部分4EBD的面积。将BC向BA方向翻折过去，D、5 + 3,一6题图的位置上，已知AB=?3，4、如图，折叠长方形ABCD的一边AD，点

7、D落在BC边的D "处A，E是折痕，已知 CD=6 cm ,四、弦图有关问题1、如图，直线I上有三个正方形a、b、c，若a、c的面积分别为5和11，则b的面积为（）A、4D、55C、162、4题2、我国古代数学家赵爽的勾股圆方图，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形 拼成的一个大正方形（如图所示）如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，那么（a+b） 2的值为（）A、13B、19 C、25D 、 1693、如图，直角三角形三边上的半圆的面积依次从小到大记作Si、S 2、S 3，则Si、S 2、S3 之间的关系是（）A、Si+S

8、2>S3 B、Si +S 2<S 3 C、Si +S2=S 3 D、Si2 +S22 =S324、如上图2，由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大小正方形的面积分别为52和 4，则直角三角形的两条直角边的长分别为。5、已知：如图，以RtAABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形若斜边AB =3,则 图中阴影部分的面积为6、如图，RtAABC的周长为（5+3 5 ） cm，以AB、AC为边向外作正方形ABPQ和正cm2.方形ACMN -若这两个正方形的面积之和为25cm2，则aABC的面积是7、在直线I上依次摆放着七个正方形（如图）-已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，

9、正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则Si +S2 + S3 + S4=8、我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”.如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为Si，S2，S3 若Si+S 2+Sa= 10，贝S2的值9、如图，已知4ABC中，ZABC = 90 °,AB = BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线h、I2、I3上，且h、I2之间的距离为2 , l2、I3之间的距离为3 ,求AC的长。五、勾股定理的证明1、将直角边长分别为a、b，斜边

10、长为c的四个直角三角形拼成一个边长为c的正方形，请利用该图形证明勾股定理。2、将直角边长分别为a、b，斜边长为c的四个直角三角形拼成一个边长为a+b的正方形，请利用该图形证明勾股定理。3、以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，把这两个直角三角形拼成如 图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.请利用该图形证明勾股定理。4、已知，如图所示,正方形ABCD的边长为1, G为CD边上的一个动点（点G与C、D不 重合）以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF,连接DE交BG的延长线于点H.1 ）求证：ABCGZADCE HB_LDE2 ）试问当G点运动到什么位置时，BH垂直平分DE

11、?请说明理由.六、勾股定理中考典型题目练习1、图所示的正方体木块棱长为6cm，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图的几何体，一只蚂蚁沿着图的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为cm 2、我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而 上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？，题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一 丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周 后其末 端恰好到达点8处则问题中葛藤的最短长度是 尺-3、如图，4ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD±AC于点 D -

12、贝 IJCD的长为（）A . 2354、如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）A - 4 2dm B - 2 2dmO 25dm 5、如图，在 D -45dm等月要 ABC中，AB=AC，BC边上的高AD=6 cm，腰AB上的高CE=8 cm，则ABC的周长等于cm6、如图，RtAABC中，AB=9，BC=6，ZB=90，将ABC折叠，使A点与BC的中点 D重合，折痕为MN，则线段BN的长为 7、如图是一个直角三角形纸片，Z A=30，BC=4cm，将其折叠，使点C落在斜边上点C '处，折痕为BD，如图

13、，再将沿DE折叠，使点A落在DC '的延长线上的点A / 处如 图,则折痕DE的长。8、如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为Si、S2，则S1+S2的值为(C - 18D - 199、如图 , RtAABC 中 , ZACB=90 °，ZABC=60 °，BC=2cm，D 为 BC 中点,若动点 E 以1cm/s的速度从A点出发，沿着A-B-A的方向运动，设E点的运动时间为t秒(0<t<6)，连接DE，当4BDE是直角三角形时，t的值为()A2 B2.5或3.5 C3.5或4.5 D2或3.5或4.510 如图，已知直线a

14、 | b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=2 30 试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN ±a> AM+MN+NB的长度和最短，贝I址匕时AM+NB=(11 、如图，AAOB中，NAOB=90 °，AO=3，BO=6，AAOB绕顶点O逆时针旋转到A'OB'处，此时线段AB与B。的交点E为B0的中点，则线段BE的长度为12、如图，四边形ABCD中，ZBAD= ZBCD=90 °A，B=AD，若四边形ABCD的面积是 24cm 2，则 AC 长是 cm.13、一个正方体物体沿斜坡向下滑动

15、，其截面如图所示.正方形DEFH的边长为2米，坡角 NA = 30°,NB = 90°,BC = 6米.当正方形DEFH运动到什么位置，即当AE=米时，有 DC2 = AE2 + BC2.14 、如上图4所示，四边形ABCD中，DC | AB，BC=1 ，AB=AC=AD=2.贝1J BD的长为()A. 14 B. 15C. 3 2D. 2 315、如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到4ABC，则4ABC中BC边上的高是。16、已知4ABC是边长为1的等腰直角三角形，以RtAABC的斜边AC为直角边，画第二 个 等腰RtAACD，再

16、以RtAACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰RtAADE，依 此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是-17、1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成,它可以验证勾股定理在右图的勾股图中，已知N ACB=90ZBAC=30 °，AB=4 作PQR使得NR=90。，点H在边QR上，点D，E在边PR上，点G、F在边PQ上，那么PQR的周长等于-18、如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm -如果用一根细线从点A开 始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要cm ；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要cm .19、如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，EH=12厘米，EF=16厘米，则边AD的长是（）A. 12厘米B. 16厘米C, 20厘米D28厘米20、如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在涉C、CD上，将AB、AD分别和AE、AF折叠，点B、D恰好都将在点G处，已知BE=1则，EF的长为（A .B - 52C 9D 3421 、