第九章第2节二重积分的计算2

1、1二、利用极坐标系计算二重积分,),( dyxfd对对:讨论其极坐标形式讨论其极坐标形式:系系直直角角坐坐标标与与极极坐坐标标的的关关 sincosyx)sin,cos(),( fyxf 2ao.)sin,cos(),( ddddfdxdyyxf 极坐标系下极坐标系下 d 直角坐标系下直角坐标系下dxdyd ? d ddd aodd3.)sin,cos()()(21 dfd ado)(1 )(2 dddf )sin,cos(二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图, ).()(21 4区域特征如图区域特征如图, ).()(21 aod)(2 )(1

2、dddf )sin,cos(.)sin,cos()()(21 dfd5aod)( .)sin,cos()(0 dfd二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图, ).(0 dddf )sin,cos(6 dddf )sin,cos(.)sin,cos()(020 dfd极坐标系下区域的面积极坐标系下区域的面积. ddd 二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图).(0 doa)( ,2 07例例 1 1 计算计算dxdyedyx 22，其中，其中 d 是由中心在是由中心在原点，半径为原点，半径为a的圆周所围成

3、的闭区域的圆周所围成的闭区域. 解解在极坐标系下在极坐标系下d：a 0， 20. dxdyedyx 22 aded0202 ).1(2ae 8例例2. 计算二重积分计算二重积分,d222dyxr其中其中d 为圆周为圆周xryx22所围成的闭区域所围成的闭区域.解解: 利用极坐标利用极坐标原式原式cos022drr2033d)sin1(32r)34(313rydr xo:dcos0r2222d9解解32 61 sin4 sin2 dxdyyxd)(22 36sin4sin22 dd).3(415yyx422 yyx222 03 yx03 xy10解解| ),(2221ryxyxd 2| ),(2

4、222ryxyxd 0, 0 yx0 ,0| ),(ryrxyxs 显显然然有有 21dsd , 022 yxe 122dyxdxdye syxdxdye22.222 dyxdxdye1d2dss1d2drr211又又 syxdxdyei22 ryrxdyedxe0022;)(202 rxdxe 1i 122dyxdxdye rded0022 );1(42re 同理同理 2i 222dyxdxdye);1(422re 12当当 r时时,41 i,42 i故故当当 r时时,4 i,21iii );1(4)()1(4222220rrxredxee 13例例 5 5 计算二重积分计算二重积分 ddx

5、dyyxyx2222)sin(, 其中积分区域为其中积分区域为41| ),(22 yxyxd. 解解由对称性，可只考虑第一象限部分由对称性，可只考虑第一象限部分， 注意：注意：被积函数也要有对称性被积函数也要有对称性. ddxdyyxyx2222)sin(4 12222)sin(ddxdyyxyx 210sin42 dd. 4 14dd 1d14例例 6 6 求曲线求曲线 )(2)(222222yxayx 和和222ayx 所围成的图形的面积所围成的图形的面积. 解解在在极极坐坐标标系系下下)(2)(222222yxayx ,2cos2 a ,222aayx 1d根据对称性有根据对称性有 14

6、dd 15 得得交交点点)6,( aa, 14ddxdy 2cos2064aadd).33(2 a由由 aa 2cos2 16例例7. 求球体求球体22224azyx被圆柱面被圆柱面xayx222)0( a所截得的所截得的(含在柱面内的含在柱面内的)立体的体积立体的体积. 解解:由对称性可知由对称性可知 dd4422 da20d4 cos2022d4aad)sin1 (3322033a)322(3323aoxyza2yxyxavddd44222 178例例公共部分体积公共部分体积与与求球体求球体rzzyxrzyx22222222:解解求两球交线的投影求两球交线的投影zrzzyxrzyx消去消去由由2222222222243ryx投影柱面方程投影柱面方程d投影域投影域22243ryx222yxrz222yxrrz dyxrryxrvd)(222222 drrdr 2302220)2(3125r 181 yx122 yx解解在极坐标系下在极坐标系下 sincosyx所以圆方程所以圆方程1 , 直直线线方方程程为为 cossin1 , ddxdyyxf),(.)sin,cos(201cossin1 dfd1910例例改变坐标系改变坐标系dyyxfdxxx1011221),()( dfd )sin,cos(012 2 dyy