南京邮电学院信号与系统信号3.79,11

1、3.7 相关函数和谱密度相关函数和谱密度 (只讲只讲3.7.1)描述平均功率随频率的分布情况。描述平均功率随频率的分布情况。pfnn2平均功率也可以在频域内获得，称为帕什瓦平均功率也可以在频域内获得，称为帕什瓦尔定理：尔定理：周期信号周期信号 的平均功率为的平均功率为ftt( )ptft dtttt1222( )称为功率信号的功率谱。称为功率信号的功率谱。fnn201.能量信号：有能量谱密度；能量信号：有能量谱密度；2.功率信号：有功率谱密度。功率信号：有功率谱密度。下面讨论在频域中如何计算能量？下面讨论在频域中如何计算能量？能量信号的能量定义为能量信号的能量定义为eft dt2( )由由ef

2、t dt2( )f t ( )非周期信号有非周期信号有dtdeftftj)(21 )(ddtetfftj)( )(21dff)()(21对于对于 为实函数的情况，有为实函数的情况，有 ，得，得efd122( )f t ( )ff()( )上式称为帕什瓦尔等式，或能量等式。表明能上式称为帕什瓦尔等式，或能量等式。表明能量信号的能量不仅可以从时域中求取，也可以量信号的能量不仅可以从时域中求取，也可以从频域中求取。从频域中求取。efdfd121220( )( )f( )2曲线称为信号的能量谱曲线曲线称为信号的能量谱曲线定义：定义：eff( )( )2为能量谱密度。简称能为能量谱密度。简称能量谱。量谱

3、。可以理解为信号的能量是由其所有频率分量的贡可以理解为信号的能量是由其所有频率分量的贡献而合成的，信号的总能量是献而合成的，信号的总能量是 轴上轴上的积分值。的积分值。在2/)(2f显然，能量谱只与信号的幅度谱有关，与相位显然，能量谱只与信号的幅度谱有关，与相位谱无关。谱无关。f( )2如如a)(tft222222f( )2f( )如信号如信号jf1)(f tett( )( )ft dtfd2212( )( )上式可以帮助我们计算一些积分。上式可以帮助我们计算一些积分。且由帕什瓦尔等式可得且由帕什瓦尔等式可得可以方便的求出积分的值来。可以方便的求出积分的值来。efdd11120220( )ef

4、t dtedtt22012( )作为能量谱密度的应用，介绍信号的脉冲作为能量谱密度的应用，介绍信号的脉冲宽度宽度(脉宽脉宽)和频带宽度和频带宽度(带宽带宽)的一般概念。的一般概念。对于一个矩形脉冲来说，其脉宽：对于一个矩形脉冲来说，其脉宽： 它的频谱存在零交点它的频谱存在零交点 ，z20 z定义定义为其脉宽。为其脉宽。但它没有普遍意义。如高斯脉冲，它在时域但它没有普遍意义。如高斯脉冲，它在时域和频域中都没有零交点。和频域中都没有零交点。定义有效脉冲宽度定义有效脉冲宽度 为为ft dte222( )一般取一般取 90%定义有效频带宽度定义有效频带宽度 为为122fde( )同样取同样取 90%一

5、般选用一般选用 较小的脉冲信号。较小的脉冲信号。3-8 连续系统的频域分析连续系统的频域分析前面讨论了连续信号分析的内容。前面讨论了连续信号分析的内容。傅里叶变换有两大作用：傅里叶变换有两大作用：一一. 信号的频谱分析（时域、频域全面了解信号的频谱分析（时域、频域全面了解 了一个信号）了一个信号）二二. 信号作用于线性系统时，频域求解其零状信号作用于线性系统时，频域求解其零状 态响应；直观了解输入、输出信号频谱和态响应；直观了解输入、输出信号频谱和 系统的频率特性。系统的频率特性。讨论信号作用于线性系统时在频域中求解零状讨论信号作用于线性系统时在频域中求解零状态响应的方法，又称频域分析法。态响

6、应的方法，又称频域分析法。由线性时不变系统的数学模型由线性时不变系统的数学模型)()( )()()()( )()(01)1(1)(01)1(1)(txbtxbtxbtxbtyatyatyatyammmmnnnn两边取傅氏变换，用时域微分性质，得两边取傅氏变换，用时域微分性质，得 频域分析法的理论基础是频域分析法的理论基础是时域卷积定理时域卷积定理。一一. 系统函数系统函数 的意义的意义h( )()()()()()()()(01110111xbjbjbjbyajajajammmmnnnn)()()()()()()()(01110111xajajajabjbjbjbynnnnmmmm)()(xh也

7、称频率响应特性称为系统的系统函数，)(h)()()()()()(),()(ththtthtxtyttx当)()()()(hththf ff f显然，冲激响应和系统函数是一对傅氏变换。显然，冲激响应和系统函数是一对傅氏变换。系统函数可以从微分方程直接求得。它是响系统函数可以从微分方程直接求得。它是响应傅氏变换与激励傅氏变换的比。它同样表应傅氏变换与激励傅氏变换的比。它同样表征了系统自身的特性，与输入波形无关。其征了系统自身的特性，与输入波形无关。其分子、分母均为分子、分母均为 j 的多项式之比。的多项式之比。傅氏分析法的步骤：傅氏分析法的步骤：1. 求取求取 的傅氏变换的傅氏变换 ；x( )x

8、t ( )2. 确定系统函数确定系统函数 ；h( )3. 计算计算 ； yxh( )( )( )4. 取取 的反变换，得的反变换，得 。 y( )y t ( )可见，可见， 意义重大，下面重点讨论它。意义重大，下面重点讨论它。h( )1. 由由yxh( )( )( )当当y th t( )( )x tt( )( )时，时，x( )1由由，得，得h th( )( )2. 设激励设激励x tetjt( )() 假设假设 为参变量（一个确定的实数）为参变量（一个确定的实数）由时域由时域卷积分析法，得卷积分析法，得y tx th thedehedehjtjtjjt( )( )( )( )( )()()

9、 这说明，虚指数信号作用于系统时，其零状这说明，虚指数信号作用于系统时，其零状态响应仍为同频率的虚指数信号，不同的仅态响应仍为同频率的虚指数信号，不同的仅仅是零状态响应（也是稳态响应，也是强制仅是零状态响应（也是稳态响应，也是强制响应；也为激励是从响应；也为激励是从 加上的，所以，加上的，所以，自然响应为零）是激励自然响应为零）是激励加了个权加了个权 。h( )t 所以，系统函数也可定义为所以，系统函数也可定义为heejtjt( )在在激励下的响应激励下的响应我们下面更深一步理解傅氏变换的物理意义：我们下面更深一步理解傅氏变换的物理意义：tjtjedxdextx2)()(21)(实质上，实质上

10、，在时域中在时域中，把信号分解为无穷多个，把信号分解为无穷多个冲激信号分量的和；冲激信号分量的和； 而而 在频域在频域中，把信号分解为无穷多个中，把信号分解为无穷多个虚指数信号分量的和。虚指数信号分量的和。如果把积分号看成是求和号，则在如果把积分号看成是求和号，则在 范围内，范围内，dtjtjedyedhxty2)()(2)()(的分量为的分量为x t ( )xdejt( )2则响应的分量为则响应的分量为xdhejt( )( )2把无穷多个响应分量叠加起来，得把无穷多个响应分量叠加起来，得即即y tyedjt( )()12傅里叶分析法是把信号分解为无穷多个无时限傅里叶分析法是把信号分解为无穷多

11、个无时限虚指数信号之和，即虚指数信号之和，即单元信号单元信号是是 ，先求，先求取各个单元信号作用于系统的响应，再叠加。取各个单元信号作用于系统的响应，再叠加。tje实际上，电路分析中的相量法，仅仅是实际上，电路分析中的相量法，仅仅是 取取 为常数，又取其实部时的情况。为常数，又取其实部时的情况。tje或者说，相量法是频域分析法中单一频率的或者说，相量法是频域分析法中单一频率的特例。（这也解释了虚指函数的实际意义）特例。（这也解释了虚指函数的实际意义） 二二. 的求法的求法h( )1. 从微分方程直接求解从微分方程直接求解;(方程两边取傅氏变换方程两边取傅氏变换)2. 从系统的冲激响应从系统的冲

12、激响应 h th( )( )3. 设激励为设激励为 求其响应；求其响应； 4. 由电路模型求得。由电路模型求得。 ejt例：已知微分方程例：已知微分方程yty ty tx t( )( )( )( )32求：系统函数求：系统函数 。h( )解：解：(1) 对方程两边求傅氏变换，可得对方程两边求傅氏变换，可得hjj( )1322(2) 若由第二章已经求得冲激响应为若由第二章已经求得冲激响应为h teettt( )( )2对冲激响应求傅氏正变换，得对冲激响应求傅氏正变换，得hjjjj( )()()11121322当然，很多情况下是反向运作，用来求当然，很多情况下是反向运作，用来求 的。的。h t (

13、 )(3) 设设x tejt( ) 这时的响应为这时的响应为 ,代入原微分方程，得代入原微分方程，得y thejt( )( )jhejheheejtjtjtjt232()()()heejjhjtjt()()1322响应与激励之比，为响应与激励之比，为 t例：求图示电路的系统函数。例：求图示电路的系统函数。+-)(tvsrlc+-)(tv解：先画出其零状态频解：先画出其零状态频域电路模型：域电路模型：+-)(svr+-)(vljcj1(即：把电路中的所有元即：把电路中的所有元件都进行傅氏变换：其件都进行傅氏变换：其中包括中包括电源电源、支路、支路电流电流和和电压电压、无源元件无源元件 电感电感l

14、用用 表示；表示；lj电感电感c用用 表示；电阻表示；电阻r不变不变)cj1)()1/(1/)(svcjrljcjrv下面的计算与电路分析中的方法也一样。本例下面的计算与电路分析中的方法也一样。本例由分压公式，得由分压公式，得)(1)(12svrljlcj1)(1)()()(2rljlcjvvhs得响应傅氏变换与激励傅氏变换之比，为得响应傅氏变换与激励傅氏变换之比，为注意：注意：系统函数系统函数的定义是的定义是: 可见，如果已知电路，可不必先求得微分方程可见，如果已知电路，可不必先求得微分方程；然后再求冲激响应；最后求得系统函数。而；然后再求冲激响应；最后求得系统函数。而可以直接求得可以直接求

15、得 。当然，通过。当然，通过 还能还能得到微分方程。得到微分方程。h( )h( )响应傅氏变换与激励傅氏变换之比响应傅氏变换与激励傅氏变换之比。)()()()(jehhh的复函数，一般是系统函数系统的幅频特性)(h系统的相频特性)(dtethhtj)()(由于dtethhtj)()()()()(hhth为实函数，则若)()()()(和hh三三. 系统的频率特性系统的频率特性总称系统的频率特性总称系统的频率特性可见，可见，系统系统 的频率特性的频率特性与实与实信号的频谱密度信号的频谱密度函函数的特性相类似。数的特性相类似。即：幅频特性是偶函数；相频特性是奇函数。即：幅频特性是偶函数；相频特性是奇

16、函数。但也有不相同的地方：但也有不相同的地方：系统带宽系统带宽(不同于信号带不同于信号带宽宽)一般定义为一般定义为 等于等于 最大值的最大值的 处的处的频率为频率为 (称为称为半功率点频率半功率点频率，或，或截止频率截止频率或或 3 分贝频率分贝频率)作为系统带宽的根据。作为系统带宽的根据。h( )12c如系统为低通滤波器时系统带宽为如系统为低通滤波器时系统带宽为 等等。等等。0 cyxh( )( )( )由公式由公式可以清楚的看到：可以清楚的看到：响应的频谱取决于激励的频谱和系统的频率响应的频谱取决于激励的频谱和系统的频率特性特性 。h( )例：例：rc低通滤波器低通滤波器rcv1v2hj

17、crj cj rcjc( )111111式中式中 。通带宽度为。通带宽度为 。crc10 c幅度频谱为幅度频谱为hc( )112相位频谱为相位频谱为 ( ) arctgch( ) ( )c10707./2/4显然，激励频谱分别为显然，激励频谱分别为ccx1( )x2( )在频域中很容易在频域中很容易判定失真的大小判定失真的大小傅氏分析法与卷积分析法比较傅氏分析法与卷积分析法比较相同之处：都是对信号作相同之处：都是对信号作单元信号的分解单元信号的分解，求取，求取系统在各个单元信号作用下的响应，然后再进行系统在各个单元信号作用下的响应，然后再进行叠加。叠加。不同之处：不同之处：分解的单元信号不同分

18、解的单元信号不同，前者是求响应，前者是求响应的变换域的方法，后者是求响应的时域积分的方的变换域的方法，后者是求响应的时域积分的方法。卷积运算稍显麻烦，而傅氏分析法，则计算法。卷积运算稍显麻烦，而傅氏分析法，则计算比较简便。比较简便。例：某系统的微分方程为例：某系统的微分方程为)()(6)( 5)(txtytyty, 1)0( , 2)0(),()(yytetxt初始状态已知输入激励试求全响应。试求全响应。用傅氏变换分析法求零状态响应解：),() 1 (tyzs11)()(jtxxf f)3)(2(165)(1)(2jjjjh)3)(2)(1(1)()()(jjjxhy32121121jjj)(

19、2121)(32teeetytttzs)()2(tyzi应时域分析法求零输入响该系统的齐次微分方程为该系统的齐次微分方程为0)(6)( 5)(tytyty3221，其特征根为零输入响应的通解为零输入响应的通解为ttziekekty3221)(代入，可解得和将1)0( 2)0(yy5, 721kkttzieety3257)()()()(tytytyzizs全响应为)(2121573232teeeeettttt试求系统的零状态响应输入激励为数例：已知系统的传递函),()(,21)(ttxjhjx1)()(解：1)(21)(jjy)2(1)(21)(jjjy22121)(2jj2211)(21jj)

20、()1(21)(2tetyt激励下的稳态响应例：求系统在周期信号ttx0cos)()()()(jehh稳态响应而且是状态响应就是全响应，不存在零输入响应，零接入系统，激励信号从解：在周期信号激励下t)()(cos)(000txf f)()()()()()(00)(jehxhy)()()()(0)(00)(000jjeheh2)(2)()(0000)(0)(0tjjtjjeeheehty)()(, )()(0000hh由于22)()(0000)()(0tjjtjjeeeehty)(cos)(000th)(, )(00相位移动了以了系数的正弦信号，但幅度乘显然，响应仍为同频率h)()(和相频特性的

21、幅频特性例：某线性时不变系统h),10cos(4)5cos(42)(tttx励如图所示，若系统的激求系统的响应求系统的响应y(t) 1-10 -5 0 5 10)(h)(很明显，激励信号是周期信号，其基波频率为很明显，激励信号是周期信号，其基波频率为5解：取输入信号的傅氏变换得解：取输入信号的傅氏变换得)10()10(4)5()5(4)(4)(x1-10 -5 0 5 10)(h)()4()(x-10 -5 0 5 10)5()(2)5(2)()()(9090jjeexhy)905cos(22)(tty取上式的傅里叶反变换，得取上式的傅里叶反变换，得可见，输入信号通过系统后，直流分量不变，可见

22、，输入信号通过系统后，直流分量不变，基波分量幅度衰减为一半，且相移基波分量幅度衰减为一半，且相移90度，二次度，二次谐波分量被完全滤除。谐波分量被完全滤除。例子也说明通过频域分析使问题的解决变得例子也说明通过频域分析使问题的解决变得非常容易。非常容易。例：已知例：已知vtetst( )( )22求：求：1. 2. 3.v to( )h t ( )h( )vts( )v to( )2210 5 . f解：画频域等效图；解：画频域等效图；hjjjj( )/ /./ /.211052211051421得得hj( )14111反变换，得反变换，得h ttett( )( )( )14如果用时域求解：如果

23、用时域求解：v tvth tettetostt( )( )( )( )( )( ).2142如果用频域求解：如果用频域求解：vvhjjjjv tetosot( )( )( )( )( )221421121112频域分析法小结：频域分析法小结：1.只能求零状态响应；只能求零状态响应；(由傅氏变换定义，无由傅氏变换定义，无法表示初始条件法表示初始条件)2.反变换有时不太容易反变换有时不太容易;(如激励是如激励是 ) 故一般情况下求到故一般情况下求到 就为止了。就为止了。sin() ( ) 0tty( )3.从频域的观点来看，激励与响应的差异概念从频域的观点来看，激励与响应的差异概念十分清楚；十分清

24、楚；4.可以用代数方程代替微分方程卷积求解。可以用代数方程代替微分方程卷积求解。 用傅氏分析法要注意的一点：用傅氏分析法要注意的一点：yty tx tx t( )( )( )( )33如如两边傅氏变换，得两边傅氏变换，得 yjjxj( )233 hyxj( )1 h tsgn t( ) 12本来是因果系统，结果却是非因果的响应。本来是因果系统，结果却是非因果的响应。原因是上述过程隐含原因是上述过程隐含 0即，上式只能得到即，上式只能得到jh( )1其实：其实：jja ( )11上述等式都成立。这里，取上述等式都成立。这里，取a1。即得。即得hj( )( ) 1 h tt( ) 即：即：系统分析

25、时，要尽量满足响应是因果的。系统分析时，要尽量满足响应是因果的。部分分式展开法注意点：需展开的分式必须部分分式展开法注意点：需展开的分式必须是是真分式真分式。如。如hjjjjjjjjjjajbj( )()()() 222453213331312112得得a 2b 1最后得最后得 h ttetettt( )( )( )223-9 信号的无失真传输和理想滤波器信号的无失真传输和理想滤波器)()()(xhy下式显示了输入信号通过系统后频谱的变化。下式显示了输入信号通过系统后频谱的变化。用极坐标表示：用极坐标表示：)()()(xhy)()()(xhy一般情况下，输出信号与输入信号波形不同。一般情况下，

26、输出信号与输入信号波形不同。如前面讨论的低通滤波器，它的幅度频谱随如前面讨论的低通滤波器，它的幅度频谱随着频率的增加而减少；相位频谱也是一条通着频率的增加而减少；相位频谱也是一条通过原点的曲线。过原点的曲线。1.幅度失真；幅度失真；2.相位失真。相位失真。一般地，信号通过线性系统引起的失真称一般地，信号通过线性系统引起的失真称为为线性失真。线性失真。3.9.1 无失真传输无失真传输如果输出信号和输入信号之间的幅度成一定的如果输出信号和输入信号之间的幅度成一定的倍数，波形保持相同，允许保持一定的延时，倍数，波形保持相同，允许保持一定的延时，这种传输叫无失真传输。这种传输叫无失真传输。有时有时要求

27、要求输出信号重现输入波形，没有失真。输出信号重现输入波形，没有失真。无失真传输无失真传输无失真传输系统时域表示：无失真传输系统时域表示：)()(dttkxtydtjekxy)()(上式的傅里叶变换为上式的傅里叶变换为(无失真传输系统时域表示无失真传输系统时域表示)系统函数为系统函数为)()()(jtjehkehd通频带为无穷大,)() 1 (kh成正比相频特性与,)()2(dt无失真传输系统应满足的两个条件：无失真传输系统应满足的两个条件：k)(h)(h信号的无失真传输条件信号的无失真传输条件3.9.2 理想滤波器理想滤波器理想滤波器能在某一频带内无畸变地传输信号理想滤波器能在某一频带内无畸变

28、地传输信号并抑制其它频谱分量。并抑制其它频谱分量。1)(h)(h理想低通滤波器的频率特性理想低通滤波器的频率特性cc秒，即延迟了比输出则通过低通滤波器后的dttxty)()()()(dttkxty理想滤波器的冲激响应理想滤波器的冲激响应)()()()(hxhy理想低通与理想系统相比，通带不为无限大。理想低通与理想系统相比，通带不为无限大。故称为故称为“带限系统带限系统”。hhejtcc0如果输入是一个有限带宽如果输入是一个有限带宽(即小于即小于 )的信号的信号cx t ( )(thtdth thedjt( )()1212keedjtjtdccksattccd()下面讨论理想低通的单位冲激响应：

29、下面讨论理想低通的单位冲激响应：方法一：利用傅氏变换定义来做：方法一：利用傅氏变换定义来做：由对称性：由对称性：kttksacccc()()22方法二：利用傅氏变换性质来做：方法二：利用傅氏变换性质来做：由变换对：由变换对：ksatkcccc 2 ()()最后考虑时移因子，得最后考虑时移因子，得)(thtdts tht( )( )()1ts t ( )cc定义：上升时间，为定义：上升时间，为trc2h tksattccd( )()可见，系统失真了。可见，系统失真了。再讨论其阶跃响应：再讨论其阶跃响应：ts t ( )cc显然，上升时间与理想低通的带宽成反比。显然，上升时间与理想低通的带宽成反比

30、。tx t ( )s显然失真了。显然失真了。信号通过的即使是理想低通滤波器，也有可能信号通过的即使是理想低通滤波器，也有可能产生失真。失真的大小取决于：产生失真。失真的大小取决于：1.理想系统的带宽；理想系统的带宽； 2.输入信号的带宽。输入信号的带宽。2a推广：理想高通滤波器、理想带通滤波器等等。推广：理想高通滤波器、理想带通滤波器等等。它们都是非因果系统。它们都是非因果系统。从频域的角度来证明理想滤波器的非因果性从频域的角度来证明理想滤波器的非因果性是十分方便的。是十分方便的。工程上为了方便，还是经常用理想系统讨论问工程上为了方便，还是经常用理想系统讨论问题。题。 理想低通滤波器是非因果系

31、统，物理上是理想低通滤波器是非因果系统，物理上是不可实现的。实际滤波器或称物理可实现的滤不可实现的。实际滤波器或称物理可实现的滤波器必须首先满足波器必须首先满足 时，冲激响应为零。时，冲激响应为零。t 0例：已知系统图，试画出例：已知系统图，试画出a,b,c和和d点的频谱。点的频谱。h1( )h2( )hkcc10()x t ( )y t ( )contccontc()1abcdhkcc20()x ()11a解：解：fa()cc12afb()cc12akfc()c1()c114akfd()142ak由卷积定理由卷积定理例：某线性时不变系统的频率响应例：某线性时不变系统的频率响应6061)(h,

32、6cos2sin)(ttttx若输入)(ty求该系统输出ttsattttx6cos226cos2sin)(解：)2()2(22atsaa由基本变换对：基本变换对：21, 4, 22, 2aa)()2()2(22ftsa)()6()6(216cos2sin)(xffttttx-2 0 2 )(f-66)(x02-6 -4 4 6)(y02-1 12sat21tsattsaty5cos5cos212)(由变换对：由变换对：3.11 取样定理取样定理 (只讲时域取样定理只讲时域取样定理)根据调制定理，可以把信号搬移到不同的频段根据调制定理，可以把信号搬移到不同的频段来实现来实现“频分多路通信频分多路

33、通信”。（频分复用）。（频分复用）可以想象：可以想象：连续信号连续信号是否能不全部传输到是否能不全部传输到对方，而仍然保留对方，而仍然保留“信号的全部信息信号的全部信息”。f t1( )tft2( )t以两路信号的传输为例，说明以两路信号的传输为例，说明“时分多路通信时分多路通信”是可能的。是可能的。(时分复用时分复用)(这也是引入这也是引入离散信号离散信号的基的基础础)一一. 取样与取样信号取样与取样信号 利用取样脉冲序列利用取样脉冲序列 从连续时间信号从连续时间信号 中抽取中抽取一系列离散的样值的过程称为取样。一系列离散的样值的过程称为取样。f t ( )s t ( )取样后得到的离散信号

34、称之为取样信号。取样后得到的离散信号称之为取样信号。直观取样的例子：直观取样的例子：f t ( )fts( )ttf t ( )fts( )k开关开关 周期地来回动作（等间隔取样）周期地来回动作（等间隔取样）k开关接触开关接触 1 的时间；的时间；ts开关转换周期。开关转换周期。用数学表达：用数学表达：.s t ( )tst取样脉冲取样脉冲ftf ts ts( )( )( )(时域相乘时域相乘)的结果的结果相当于通过一个乘法器相当于通过一个乘法器 二二.理想取样理想取样实现乘以用)()(ttfstt)(tft)(tststt)(tfs)()()()()(nstsntttfttftfs由频域卷积

35、定理由频域卷积定理)()(21)(nsssnffftf ts ts( )( )( )(1)()(1nssnssnftnft)(fmf2mf2s)(sfmf2的相邻两块频谱不重叠时，当)(2smsfff ss( )由于这时由于这时响应信号的频谱响应信号的频谱没有被破坏，从频域没有被破坏，从频域的观点，它的观点，它没有丢失原信号的任何信息没有丢失原信号的任何信息。fs当取样频率当取样频率 大于或等于信号带宽的两倍，可大于或等于信号带宽的两倍，可从从 这恢复原信号。这恢复原信号。fts( )定义定义ffsmmin 2为奈奎斯特取样率。为奈奎斯特取样率。三三.自然取样自然取样用矩形脉冲序列代替理想冲激

36、序列。用矩形脉冲序列代替理想冲激序列。)(ts如开关函数ntjnnsefts)()2(ssnnsatf 1st0t)(tsftf ts ts( )( )( )nsnnfs)(2)(由频域卷积定理由频域卷积定理)()2()()()(21)(snssnsnsnfnsatnffsff)(fmf2mf2)0(f)(ssst2s)(sfmf2)0(fts时域取样定理时域取样定理可见，取样定理必须满足两个条件：可见，取样定理必须满足两个条件：一个在一个在 频谱区间频谱区间( )以外为零的频带有以外为零的频带有限信号限信号(带限信号带限信号) ，可以唯一地由其均匀时，可以唯一地由其均匀时间间隔间间隔 上的取

37、样值上的取样值 确定。确定。f t ( )mm,f nts()ttfssm121. 必须为必须为带限信号带限信号，即在，即在f t ( )m时，时，其频谱其频谱 ；f( ) 02. 取样频率不能过低取样频率不能过低，必须满足，必须满足 。ffsm 2与时域相对应，还有与时域相对应，还有频域取样定理频域取样定理。根据根据 时域与频域的对称性时域与频域的对称性取样定理同时也说明了时域中不易解决的问题取样定理同时也说明了时域中不易解决的问题频域中很容易得到严格的证明。频域中很容易得到严格的证明。三三. 重新恢复过程重新恢复过程(信号信号 的又一种叠加形式的又一种叠加形式)f t ( )取样后的信号如果通过严格理想低通滤波器。取样后的信号如果通过严格理想低通滤波器。就可以恢复原信号。就可以恢复原信号。g( )mm在频域中乘一个门函数，在频域中乘一个门函数，这里假设是理想取样，得这里假设是理想取样，得fgtfss( )( )( )1得得ft fgss( )( )( )在时域中：在时域中：f tt ftsattftsatssmmsmsm( )( )( )用用 代入代入ffsm 2tfsmmm21所以，所以，f tftsatsm( )( )这里这里ftf ttf nttntstsns( )( )(