高中数学数列压轴题练习(江苏)及详解

1、高中数学数列压轴题练习（江苏）及详解1 .已知数列丽是公差为正数的等差数列，其前n项和为S二且由严=" Si - 16.（I ）求数列的通项公式；rr 1-| 人儿“一%=7三 '（日）数列佃）满足3”小华求数列瓦的通项公式；是否存在正整数m"m#"Z姮m”机”九成等差数列*存在，求出m, n的值;若不存在，请说明理由.解:（I）设数列"%的公差为d,则（ai 十 d）（r i + 2d） = 15lct| + （id = 162n + 1累加得:n. - 12r? - 1TI 1 4-元二1 = 1 +Ji. 1 3H 22n - 1 2r?

2、- 1f>l = 1也符合上式.ft假设存在正整数m、2n - 14n - 211(m 丰 n)，使得bi b)=2(-42J1in - 22m ，即In - 2化简得:JI + 1，即"二时,巾=(舍去);嚣+1 = 9，即一存在正整数TH时,巾=符合题意.% %,解析(I)直接由已知列关于首项和公差的方程组，求解方程组得首项和公差，代入等化时(R)把数列的通项公式代入院十1 一院，然后裂项，累加后即差数列的通项公式得答案J可求得数列业”的通项公式；假设存在正整数m、使得“心、屋成等差数列，则.由此列关于m的方程，求计算得出答案|(1,百1 = 2 R 1 = : '

3、tnL2 .在数列中，已知”41求证:数列"3"为等比数列；6rl =+ (1 - bj17：；7；J记_，且数列1 1的前n项和为：若"为数列 ''中的最小项，求入的取值范围.解：(1)证明j% + i =初“ + 2n 77.是以3为首项，公比为3的等比数列由知道嵋=隔 + （1 - A）r?,若为数列')中的最小项，则对亡有" 叵成立,口口 3n l "多产+ n- 12)入小广一冷、即'对II包成立、36101_ 1n之a -4之一当冗-1时，有9 t n = 一 3人>。产当一时，有一'？

4、;才 |, tl>4 r n* + 用一J当 时，12 =（碍 + 4）（川-3） > 0包成立,，则f（n +1）-式口）=；打（2万 -26） I 162（门+ 1）（0? + 3" - 10）（ J，+ m一12）寸旧)=在一时为单调递增数列解析小外M =初作+ 2L/用+ n I =；加加+ n) &+>()由，整理得：.由/出门+ I = oari + it4|，可以知道1是以3为首项，公比为3的等比数列；由(1)求得数列*通项公式及前n项和为人，由人为数列中的最叩 1 & 一 1) 一 磅±1 a>39 - 6人小项，则对

5、一片22包成立，分类分别求得当几二1时和当"=2、的取值范围,>4"n)=富1_T5当,时，"+" 一 ,利用做差法，根据函数白单调性，即可求得的取值范围.3.在数列I12中，已知“L 对X ,设3,为M 1为前n项和.:*厮求证:数列是等差数列；求J(3)是否存在正整数p,q,使一，晶产成等差数列？若存在，求出p,q,r的值;若不存在，说明理由.(1)证明：由数列是以1为首项，以-2为公差的等差数列:"巴什=1- 1)(2)由(1)可以推知：，3 - 2n% = -7所以，制，11353-加51*? J2 用 JL'%匕所以/*

6、$，111353 2孔3 F岁中常：向，-，得所以(3)假设存在正整数p,q" 二"C ,使加 3成等差数列% P V即事:尹亨因为当所以数列W单调递减.又，所以,0 - 1且q至少为2,所以r 1所以31"",所以丁 =：',(数列"",单调递减，解唯一确定).综上可以知道，p,q,r的值分别是1,2,3.解析12把给出的数列递推式，l ""，"" ,变形后得到新数列 "")，该数列是以1为首项，以-2为公差的等差数列；由(1)推出的通项公式，利用错位相减法从而求得

7、求(3)根据等差数列的性质得到坳=与+ $，从而推知p,q,r的值.4 .已知n为正整数，数列I '满足 ,，设数列间满足心器求证:数列 ' '为等比数列；若数列 他)是等差数列，求实数t的值；若数列他J是等差数列，前n项和为*',对任意的 心，均存在 W',使得区内沃"小一 =I'%成立，求满足条件的所有整数山的值.(1)证明：.数列满足®n+1冉工一数列为等比数列，其首项为，公比为2;(2)解:由(1)可得:fflf x4x2xJ-x 常列.，是关于n的一次函数，因此数列鼠= -T- 瓦01 bft =-：'=12

8、时，以：” ,改收，不是关于因此数列出/不是等差数列.综上可得二；n的一次函数b -吧(3)解:由(2)得 1 ,对任意的 f ,均存在 心“，使得MS”/=1版成立,乂1:n(l +/» -胃/涓=LG 即有门?1n 口 川=丁 化简可得 ,% _ 1当"】=2m;川1"",对任意的"喧",，符合题意；当口产N ,当皿=1时对任意的心、，不符合题意.心=2卜 k£nwN x n?E A-综上可得，当，对任意的，均存在使得成立.解析%4d_ , Uri根据题意整理可得，而口 ?C，再由等比数列的定义即可得证；运用等比数列的通

9、项公式和等差数列中项的性质，可得",，解方程可得t,对t的值，检验即可得到所求值;由(2)可得儿=学，对任意的，均行仕，使得8门5件 o 1 J7, ： 16b.7即有Xr?J ? h(1 + n) rt JM = LG2m。广? 4，讨论1为偶数和奇数，化简整理，即可得到所求值 5.已知常数'，数列”1满足h1 若1,1,求“1的值；求数列S")的前n项和(2)若数列3)中存在三项巴列，求”的取值范围.解:"=：W = 11 色| 卜 2q< + 1 = 2 - 2 1 = 1,叫=11 <i| + 2口电 + 1 = 1) + 2 1 1=

10、3,口 = 1 -+ 2。号 +1=2 + 6 1 1=9,"=1 - = |1一涮 + " + 1 ,r Ji >2 r < r 4 > 1一当时，叫,mz 丁仑2 I巴e=- 14% 1况41 = 3% 当时，为首项，以3为公比的等比数列，.p - %+ 2。时+ p p.EjVx,1TW A-x.< 咨 < t.) 依次成等差数，即从第二项起，数列是以1一数列显然当” =1时，上式也成立,:小沁，即的单调递增.巴1(i)当 时，有 ，于是若数列中存在三项"K 门依次成等差数列，则(x).因此不成立.因此此时数列S中不存在三项n

11、n依次成等差数列口当时，有一"V匕时口于是当""2时，从而口若数列"”中存在三项今"依次成等差数列，则* 2k =出+叫有，同(i)可以知道：丁 = L于是有2 Vml +刎=1 " 2sL,2m ,p < 用 < p矛盾.故此时数列(叫中不存在三项即产< 2.】依次成等差 数列.此时数列)中存在三项皿:'依次成等差数列< -1-综上可得："解析叫| = |"即|+兄+，可得ti2 = 11 - n J + 2a 1 = 2-2+ 1 = 1,同理可得：4 a =：,fl-J1&qu

12、ot;用】=1 一即,+ 2。+ L、“ 71>2 订，当一时，7 >2，当-时，= -l+o114 20Tl+ 1 = 3H.，即从第二项起，数列是以1为首项，以3为公比的等比数列，利用等比数列的求和公式即可得出Su,5On41 > On一|可得，即匾单调递增.p -1 >P丘川 I" alf = ；5rt J -(i.(i)当 时，有，于是，可得一.利用反证法 即可得出不存在.1 < =- < 1 I；-(n) rpz p <(i < pr ii >2 rf>n j > />当时，有 .此时I一I.于是当时，

13、,批正，从而二I.假设存在"，同(i)可以知道：= .得出矛盾，因此不存在.I < 1阚当P -时，有5*7 < 马4 * ".于是门.即可得出结论.6 .已知两个无穷数列!叫和他/的前n项和分别为S. , 7； , = 1国=1 ,对任意的“£井、，都有：-5“ + -%求数列 S)的通项公式；(2)若小)为等差数列，对任意的心，都有人 >案.证明:% >鼠；一 工T 士孕=)(3)若住“为等比数列，' =应，* = &，求满足鼠心”的n值.解：(1)由35r+j = 2S,i 十 Siw 十日./寸2(Sk+i 1 “

14、? =* - Su 4-+ On匚值41 4 41 4，所以t J. " 1 xS-F = r n , 4.>z, Qc = $.由 ，可以知道所以数列""J是以1为首项,2为公差的等差数列.故"*的通项公式为由=1+ 2("1)= 2”一心乂证法一：设数列鼠)的公差为d,Stl = - h ( 1 + 2)i. - 1) = n由知，-( T >r > nb + < n(n - l)(f因为“"，所以(2Ir>汁 如i > 11即 '包成立,所以2 d-'2bv > 0，即(

15、K22瓦< d又由品> Ti4寸所以n fen 2n 1 瓦一(n l)d = 2 - d)n + d 1 瓦之2 d + d 1 M = 1 瓦所以% ”得证.证法二：设出j的公差为d,假设存在自然数""主? ,使得4则电 + 2 MLM-皿-I)d " 3L 1阳 2)a-i >仇 d >工因为，所以所以L)M + (瓦中斗 ” 1 > " g、/" A:eNx 业 ” > -Vn, g i：. - -% > “卜一总、 因为，所以存在，当时恒成立.这与对任意的W ,都有斗 > 孔”矛盾！所以

16、 加,得证.由知，* =".因为<"J为等比数列， 所以 *是以1为首项，3为公比的等比数列.限- -jrr-l7=,用- 1).所以L', 一m 2Tfi _2n- I 3n _ 1 _ 3r I 2n - 2 _- 2n 2则小kF = E=,fET% + 2* v §E4 力WAX, 6仃-2n + ? > I二匕r、1鼠 + 20因为 ，所以，所以，所以41- + 27ri 1-=1btt f 2Sfl，即# 一武”1 = 0( x ).,2时，田)式成立;时，设加)=3"f(n 4-1) - fn) = 3" -(

17、7* + I)2 + n -(广1 - U * n-l)= 2(3"-1 - n) > 0所以口 二 *打工削)<一<加)<，故满足条件的n的值为1和2.解析运用数列的递推式和等差数列的定义和通项公式，即可得到所求(2)方法一、设数列步”1的公差为d,求出&，集.由恒成立思想可得 求出一“，判断符号即可得证；方法二、运用反证法证明，设乩的公差为d,假设存在自然数“,使得以打1£4打d > 2，推理可得国 ,推出大于0,即可得证；八十邛< T 4 + 2 £运用等差数列和等比数列的求和公式，求得"，"，

18、化简"，推出小于3,结合等差数列的通项公式和数列的单调性，即可得到所求值.7 .已知数列 “,1“'都是单调递增数列，若将这两个数列的项按由小到大的顺序排成一列(相同的项视为一项)，则得到一个新数列圆'设数列,分别为等差、等比数列,的=瓦=L飒=" & =8忐<?(.石,，不 ；设I '的首项为1,各项为正整数，若新数列是等差数列，求数列1储J的前n项和'作；设“ = " 是不小于2的正整数)二瓦，是否存在等差数列值力，使 得对任意的"EV ,在"与“川之间数列而的项数总是“?若存在，请 给出一个满

19、足题意的等差数列 第1 ；若不存在，请说明理由.解：(1)设等差数列的公差为d,等比数列O的公比为q,J 1 + </ = <r根据题意得，"，计算得出或3,因数列4单调递 增，(2)设等差数列 的公差为d,又'，且“=",所以1f"=:所以'=.+ 1 -,因为加=*是中的项，所以设瓦=,即心1)二 *2d = < 1当时，计算得出，不满足各项为正整数一当b"时,d = 1 ,此时心="，只需取为，="，而等比数列瓦的项都民=飞+ U是等差数列!冉/，中的项，所以“2；-bi c? 3，予 g? =

20、 1.2 j? L当 一 时,1,此时，只需取,所以等比数列他J的项都是等差数列"/中的项,所以凡=”一“S _ i + 1)“综上所述，数列匕J的前n项和一2，或8= "，.(3)存在等差数列1，只需首项"QL'J公差"="I下证"与仇+i之间数列!%的项数为却.证证对任意正整数n,都有J b忙 < Xbi+.-l-fcji i+l| 鼠+1 >=也+瓦+从 ,&Z < ai +?+. .4v"斗1rr 11 > -即成立.bimi =一国一 (14 q + + 片-)lg-L)=L

21、<()山儿+1 一门I刊十十甲1 = q" 一“ 一 (I + Q + ,+- l)(q - 1) = ?一门i >所以首项"二"/",公差”"1的等差数列%>符合题意解析设等差数列色的公差为d,等比数列他/的公比为q,根据题意得1 + d = q'I + 5d =/，计算得出戈3,因数列4瓦，> (I聿调递增，fl > 1 =，可得，利用通项公式即可得出.设等差数列1 的公差为d,又'i.L4=3"1=1,，且，所以,所以。+ 1 - d1瓦=X因为:I Cn|是中的项，所以设方 1 =

22、 cn，跳由 n 1) = 2.当Ji >4 r、r . .时，计算得出2d = ： < 1n - 1，不满足各项为正整数当hi = r 4 = 3 r .时，当Ai = 3.时，即可得出.(3)存在等差数列M口,¥用内曰L力八* d =。- 1，只需自项，公差下诃一 <<_间数列%的项数为什.即证对任意正整数n,都有作差利用通项公式即可得出8.对于数列r (101 - 1+ |叫I -闻)(其中E ,比"'为数列的前k项“波动均值”.若对任意的 收*,都有尸1fH"，则称数列4为“趋稳数列”.(1)若数列1,x,2为“趋稳数列”，

23、求x的取值范围若各项均为正数的等比数列佃的公比f/C(lU：，,求证：他,是“趋稳数列”；(3)已知数列词 的首项为1,各项均为整数，前k项的和为 斗.且对任意口 ,都有3四SD12s试计算：dHM + 2C；：HW 十十 g - 1)C：P(/J佃之2e£A) .|1一工1 + I工一2|11 | > 口解：(1)根据题意可得一,即2 ,两边平方可得/ 2 + 1>-1,+l ,3苜 K计算得出”;现 =加广> ()证明：由已知，设,力1 > IJ0 < r/ < L因 且,出“红'% 青泊ENX切右b1 >瓦故对任忠的，都有，;R

24、h)=-他I 加 一 & |K-i -瓦Q - 1=77-r (S 一电电一如，+ % - 一 领)=空 (1 4 q + / + .+ q1 ) k - 1fr - 1AA + 1)=' (1 + V + / 十.+ f/T) J.,因O一7,上 1 > bI q > ql q1 > f/-1 ,相-* > f/-1，I fj I / + I T > (fr- I)/-1,A1 卜吊十 / + . /一?)> %一 1)(1 + q + Q2 + . + 41上 +一'),(1 + q + / d 一 .十尸)(1 +<7+

25、-+T +/T),k- 1k,瓦(1 - 1)(1 |歹十一 + 甲-2) 加(1 .0 + +) I I 心-工 + 产) -Jt - 1>F即对任意的JWN",都有门如） 宜瓦川，故瓦是趋稳数列，；（3）当检之时，HSQ = II （IS - S4+ 陶一阳 + + |S*_i - SJ） = 1_I （匕| + M + + 1同） 行一 1 £- 1k>3时,P(Sk_1) = t5(I。1+ 1嘲 + + k*b-il) 斡一 £，住一 11RSJ 一特- 2)P(Si)=向 |同理,(fc l)P(a*) (it -= |口方_! 一叫3体

26、DRSg =2g - I)只改门O-2)RS-i) = 2(k -2)fa所以4u = 2(" j - f所以鼻=一 2口!因为山=L且才启，所以 y，从而t尸，所以)=3 (11-(-2)1 + 1(-2) - (-2)2| + +2户1 - (-2师=HC；Hm) + 2G?月词 + 3C；Rr J 卜+ g - 1)C；：PE) ,=3(需经+比咚之+ G；2* +I禺咽1) 一(端+壮+ C：+C；：)=3匕3前-2n - 1) - (2r, - n - 1) = (3柞-2rr+l + 1) .解析11 -j| + Lt - 21 |1 一 11 >«由新定

27、义可得“，解不等式可得x的范围；运用等比数列的通项公式和求和公式，结合新定义，运用不等式的性质即可得证；A'> 2左Ar3月5熄=2门内)由任意，都有'' ",可得(k - k -2)HSa i) = |他|"1i "'i "，由等比数列的通项公式，可得%=(一2/臼，结合新定义和二项式定理，化简整理即可得到所求值.itaF1 I15J _一，、，一、，一、,.，一，一 一 弭加 2一*9.已知首项为1的正项数列an?两足+<an+ian, nCN3(1)若a2= 一，a3=x, a4=4,求x的取值范围；1(2)设数列an是公比为q的等比数列，Sn为数列an前n项的和，若一Sn<Sn+i<2Sn, nCN*,求q的取值范围；(3)若ai,a2,，ak(k>5成等差数列，且ai+a2+- +ak=120,求正整数k的最小值，以及k取最小值时