大学统计学第七章练习题及答案

1、第7章参数估计#练习题7.1从一个标准差为5的总体中抽出一个样本量为40的样本，样本均值为25。（1）样本均值的抽样标准差等于多少？（2）在95%的垃信水平下，边际误差是多少？解:已知b = 5,=40,无=25样本均值的抽样标准差咕升島=孚0.79已知b = 5,巾=40,无=25,1- = 95%= 1.96边际误差 E = Zfl,X = 1.96*« 1.55一 4n47.2某快餐店想要估讣每位顾客午餐的平均花费金额，在为期3周的时间里选取49名顾客 组成了一个简单随机样本。（1）假泄总体标准差为15元，求样本均值的抽样标准误差：（2）在95%的置信水平下，求边际误差：（3）

2、如果样本均值为120元，求总体均值“的95%的置信区间。解已知根据査表得Za/2=1.96（1）标准误差：bg = 2 = -= = 2.14 y/49(2).已知 Sd=l96515以边际皿“矿E忌=4.2置信区间:卡命120土忌心丸陶24.2）7.3从一个总体中随机抽取72 = 100的随机样本，得到J = 104560,假泄总体标准差b = 85414,构建总体均值的95%的置信区间。2#= 1.96*1 = 16741.144104560 -16741 .144 = 87818 .856无+Z» .b = 104560 +16741 .144 = 121301 .144置信区

3、间:(87818.856, 121301.144)7.4从总体中抽取一个« = 100的简单随机样本，得到x = 81, $ = 12。(1) 构建“的90%的宜信区间。(2) 构建“的95%的程信区间。(3) 构建“的99%的巻信区间。解：由题意知w = 100,无= 81,£ = 12.(1) 置信水平为 1 -a = 90%,则Za =1.645.512由公式X±za x- = 81 ± 1.645 X= 81 ± 1.974 T yjnVlOO即 81 ±1.974 =(79.026,82.974 则”的90%的置信区间为79

4、.02682.974(2) 置信水平为l a = 95%,J =1962由公式得x±Za x-L=81±1.96x= 81±2.352T 肩100即 81 ±2.352= (78.648, 83.352),则“的95%的置信区间为78.648-83.352置信水平为l-cr = 99%,则Za =2.576.#s17由公式壬土 5 X - = = 81 ± 2.576 X= 81 ±3.096 T 4n1100即 81±3.1则的99%的置信区间为7.5利用下面的信息，构建总体均值的置信区间。(1) 无= 25, b = 3

5、.5, n = 60,置信水平为 95%。(2) 无= 119.6, $ = 23.89, n = 75,置信水平为 98%。(3) 无=3.419, s = 0.974, w = 32,置信水平为 90%。 X = 25。= 3.5,m = 60,置信水平为95%解：Za =1.96,2= 0.89置信下限：X-Za- = 25 - 0.89 = 24.11 T y/n置信上限：X + Za- = 25+0.89 = 25.892置信区间为(24.11,25.89)(2)% = 119As = 23.89, n = 75,置信水平为98%。解：Za =2.33223 89=2.33 x= =

6、 6.43 vf75置信下限：= 119.6-6.43 = 113.17t yin置信上限：X + Za = 119.6 + 6.43 = 126.032置信区间为G13.17,126.03) x =3.419,s=0.9745n=32,置信水平为 90%根据 t=0.1,査 t 分布表可得 Z()05 (31) = 1.645.Za/2=0.283所以该总体的置信区间为x ± Za/2 (-) =3.419 ±0.283y/n即 3.419±0.283= (3.136 , 3.702)所以该总体的置信区间为31363.7027.6利用下而的信息，构建总体均值“的

7、置信区间。(1) 总体服从正态分布，且已知b = 500，八=15，无= 8900,程信水平为95%。(2) 总体不服从正态分布，且已知b = 500, ”=35,无= 8900,宜信水平为95%。(3) 总体不服从正态分布，cr未知，= 35,无= 8900, 5 = 500,置信水平为 90%«(4) 总体不服从正态分布，7未知，11 = 35,无= 8900, 5 = 500,置信水平为 99% 0(1) 解：已知b = 500, /? = 15, x = 8900, 1-tz = 95%, za = 1.96x±za -i = 8900 ±1.96x1 =

8、 (8647,9153) 皿V15所以总体均值“的置信区间为(8647, 9153)(2) 解：已知b = 500, /? = 35, x = 8900, -a = 95%,=1.962元土上=8900 ±1.96x= (8734.9066) #亦V35所以总体均值“的置信区间为(8734, 9066)(3) 解：已知八= 35,天= 8900, s=500,由于总体方差未知，但为大样本，可用样本方差来代替总体方差Tit信水平 1a =90% s = 1.6452置信区间为元土= 81 ± 1.645 x 甞=(8761,9039)彳亦V35所以总体均值“的巻信区间为(87

9、61, 9039)(4) 解：已知7? = 35，x=8900, $ = 500，由于总体方差未知，但为大样本，可用样本方差来代替总体方差置信水平=99% 乙= 2.58置信区间为T yin500=8900 ± 2.58 x = (8682.9118) V35所以总体均值“的置信区间为(8682, 9118)7.7某大学为了解学生每天上网的时间，在全校7500名学生中采取不重复抽样方法随机抽 取36人，调查他们每天上网的时间，得到的数据见Boo灯.7 (单位:h)o求该校大学 生平均上网时间的巻信区间，苣信水平分别为90%、95%和99%。解：已知：x = 3.3167 s = 1.

10、6093n=361.当置信水平为90%时，=1.645,2_ v1(5093a ±za- = 3.3167 ±1.645 = 3.3167 ± 0.45327 4nx/36所以置信区间为(2.88, 3.76) 2.当置信水平为95%时，g =1.96，一 V1 6()93兀土Cf = 3.3167 ±1.96 =3.引67 ±0.5445 -yin136所以置信区间为(2.80, 3.84) 3当置信水平为99%时，爬=2.58,2x±za-L = 33167 ±258竺竺=3.3167 ±0.7305 远麻V3

11、6所以置信区间为(2.63, 4.01)7.8从一个正态总体中随机抽取样本量为8的样本，0样本值见Boo灯8。求总体均值95% 的置信区间。已知：总体服从正态分布，但O未知，1匸8为小样本，a = 0.05,(0.05(8一 1) = 2.365根据样本数据讣算得：J = 10,5 = 3.46总体均值“的95%的It信区间为:x±ta = = 10±2.365 x-3.46=10 ±2.89,即(7.11,12.89)o7.9某居民小区为研究职工上班从家里到单位的距离，抽取了由16个人组成的一个随机样 本，他们到单位的距离（单位：km）数据见Boo灯.9

12、6;求职工上班从家里到单位平均 距离95%的置信区间。已知：总体服从正态分布，但cr未知，n=16为小样本，a =0.05, r005/2（16 -l） = 231根据样本数据计算可得：无=9.375, s=4.113从家里到单位平均距离得95%的宜信区间为：丘：/2y/n= 9.375 ±2.1314.113x - -V149.375 +2.1916#即(7.18, 11.57).7.10从一批零件中随机抽取36个，测得英平均长度为149.5cm，标准差为193cm。（1）试确定该种零件平均长度95%的置信区间。（2）在上而的估计中，你使用了统汁中的哪一个重要左理？请简要解释这一立

13、理。解：已知b = 103,n=36, J =149.5,置信水平为1-a =95%,査标准正态分布表得Z/2=l96根据公式得:a/2= 149.5±I.96x yjn103V36即 149.5±1.96x103 = (14&9, 150.1)答：该零件平均长度95%的置信区间为148.9-150.1（3）在上而的估计中，你使用了统讣中的哪一个重要左理？请简要解释这一泄理匚答：中心极限泄理论证。如果总体变量存在有限的平均数和方差，那么，不论这 个总体的分布如何，随着样本容量的增加，样本均值的分布便趋近正态分布。在现实生活中, 一个随机变量服从正态分布未必很多，但是

14、多个随即变屋和的分布趋于正态分布则是普遍存 在的。样本均值也是一种随机变量和的分布，因此在样本容量充分大的条件下，样本均值也 趋近正态分布，这位抽样误差的概率估计理论提供了理论基础。7.11某企业生产的袋装食品采用自动打包机包装，每袋标准重量为lOOga现从某天生产的 一批产品中按重复抽样随机抽取50包进行检査，测得每包重量(单位：g)见Boo灯.11 ° 已知食品重虽服从正态分布，要求：(1) 确定该种食品平均重量的95%的置信区间。(2) 如果规左食品重疑低于100g属于不合格，确左该批食品合格率的95%的置信区 间。(1) 已知:总体服从正态分布，但er未知。n=50为大样本。

15、a =0.05, Zo.o5/2=1-96根据样本计算可知X=101.32 s=1.63该种食品平均重量的95%的苣信区间为龙土Z"/、斤=10132±1.96*1.63/烦=101.32±0.45即(100.87, 101.77)(2) 由样本数据可知，样本合格率：“ = 45/50 = 0.9。该批食品合格率的95%的置信区 间为："土Zq2=0.9±1.96£。9)=o.9±O.O8,即(0.82, 0.98)答：该批食品合格率的95%的置信区间为:(0.82, 0.98)7.12假设总体服从正态分布，利用旦輕的数据构

16、建总体均值“的99%的置信区间。 根据样本数据计算的样本均值和标准差如下：x=16.13cr =0.87060.8706""5=0.45置信区间为x±E所以置信区间为(15.68, 16.58)7.13 一家研究机构想估计在网络公司工作的员工每周加班的平均时间，为此随机抽取了 18 名员工，得到他们每周加班的时间数据见Book7.13 (单位:h)o假立员工每周加班的 时间服从正态分布，估计网络公司员工平均每周加班时间的90%的置信区间。解：已知 x =13.56 a = 7.80 a = 0A n=18E=Z *er/Vn%苣信区间=x-a/y/n ,无+ Z呀

17、b/亦所以置信区间=113.56-1.645*(7.80/ 個),13.56+1.645*(7.80/ V18 )=10.36,16.767.14利用下而的样本数据构建总体比例兀的宜信区间。(1) 77=44, “ = 0.51,置信水平为99%.(2) n = 300 /?=0.82,宜信水平为 95%。(3) “ = 1150，p = 0.48,宜信水平为 90%。(1) n = 44, “ = 0.51,置信水平为 99%0解：由题意，已知n=44，置信水平a=99%, Zfl/2=2.58又检验统计量为：p土zjM严,故代入数值计算得，P±Z= (0.316, 0.704),

18、 总体比例兀的豐信区间为(0.316, 0.704)(2) n = 300. "=0.82, it信水平为 95%。解：由题意，已知n=300, 信水平a=95%, Zfl/2=1.96又检验统计量为：P土zj川严,故代入数值计算得，P土Zpd)= (0.777, 0.863),总体比例兀的豊信区间为(0.777, 0.863)(3) n = 1150, p = 0.48,置信水平为 90%。解：由题意，已知n=1150,置信水平a=90%, Zfl/2=1.645又检验统计量为：P土 Z产,故代入数值计算得,P±Z=(0.456, 0.504),总体比例兀的置信区间为(0

19、.456, 0.504)7.15在一项家电市场调査中，随机抽取了 200个居民户，调查他们是否拥有某一品牌的电 视机。其中拥有该品牌电视机的家庭占23%。求总体比例的置信区间，置信水平分別 为 90%和 95%。解：由题意可知n=200, p=0.23(1)当置信水平为19=90%时，Za/2=1.645所以 p±zaZ2i /)(1 -/? > = 0.23 土 1.645 f W)=0.23±0.04895即 0.23 ± 0.04895= (0.1811, 0.2789),(2)当置信水平为19=95%时，Za/2=1.96所以p±Za/2=

20、0.23 ±1.96 J"'""："，" =0.23 ±0.05832V 200即 0.23±0.05832= (0.1717, 0.28835)；答：在居民户中拥有该品牌电视机的家庭在置信水平为90%的苣信区间为(18.11%, 27.89%),在置信水平为95%的置信区间为(17.17%, 28.835%)7.16 一位银行的管理人员想估让每位顾客在该银行的月平均存款额。他假设所有顾客月存 款额的标准差为1000元，要求估计误差在200元以内，应选取多大的样本？解：已知 cr = 1000,E=1000

21、J-a=99%,za/2 =2.58由公式，八2 丁 * 旷2二可知 n=(2.58*2.58* 1000* 1000)/(200*200)= 167 E答：置信水平为99%,应取167个样本。7.17要估计总体比例厂 计算下列个体所需的样本容量。(1) E = 0.02 ,兀= 0.40,过信水平为 96%。(3) E = 0.05 .7： = 0.55,置信水平为90%。(2) E = 0.04,兀未知，置信水平为95%o(1)解：已知 E = 0.02，兀= 0.40Za/2=2.05由 n = Za/227r(-7r)/E2 得n = 2.052 x 0.40(1- 0.4) 一 0.

22、022 =2522答：个体所需的样本容量为2522。(2) 解：已知 E = 0.04 >=1.96由 z? = Za/22(l-)/E2 得n = 1.962 x0.52 4-0.042 =601答：个体所需的样本容量为601。(3) 解：已知E = 0.05= 0.55 Za/?=1.645由 /? = Za/22(l-)/E2 得n = 1.6452 x 0.55 x 0.45 一O.O52 =268答：个体所需的样本容量为268。7.18某居民小区共有居民500户，小区管理者准备采取一向新的供水设施，想了解居民是 否赞成。采取重复抽样方法随机抽取了 50户，英中有32户赞成，18

23、户反对。(1) 求总体中赞成该项改革的户数比例的置信区间，宜信水平为95%o(2) 如果小区管理者预讣赞成的比例能达到80%,应抽取多少户进行调查？(1)已知：n=50 Za = 1.96根摇抽样结果讣算的样本比例为P=32/5O=6O%根据(7.8)式得：64%(1-64%)即 64% ± 12.63% = (51.37%,76.63%)答:置信区间为(51.37%, 76.63%)(2)已知” = 80% E = 10% 乙=1.96则有:"2Z W * 兀(1 一 兀)_ 1 962 * 0.8(1- 0.8)67答：应抽取62户进行调査7.19根据下面的样本结果，计

24、算总体标准差/的90%的宜信区间。(1) 无= 21, s = 2, n = 50o(2) J = 1.3 s = 0.02 , ?7 = 15 «>(3) J = 167, 5 = 31 > n = 22 «>解：已知 1 a = 90%, a = 10%.- = 0.05,1 - - = 0.952 21) 查表知汇 5-1) = 67, / /(«-1) = 342 P2由公式皿“*皿<CT<(5O-l)*2* 234,解得(1.72, 2.40)12#2) 查表知 2 («-1) = 23.6848, / a2(&#

25、171;-l) = 6.570632 '"2由公式.巴二D二<CT2 <一叶#13由公式<CT2 <5-1)“2<<T<(22-1)*31?11.5913,解得(24.85, 41.73)#7.20顾客到银行办理业务时往往需要等待一些时间，而等待时间的长短与许多因素有关,#比如，银行的业务员办理业务的速度，顾客等待排队的方式等等。为此，某银行准备采 取两种排队方式进行试验，第一种排队方式是所有顾客都进入一个等待队列；第二种排 队方式是：顾客在三个业务窗口处列队三排等待。为比较哪种排队方式使顾客等待的时 间更短，银行齐随机抽取了 10名

26、顾客，他们在办理业务时所等待的时间（单位：min） 见 Book7.20o（一种排队方式等待时间标准差的95%的置信区间。（2）构建第二种排队方式等待时间标准差的95%的置信区间。（3）根据（1）和（2）的结果，你认为哪种排队方式更好？7.21从两个正态总体中分别抽取两个独立的随机样本，它们的均值和标准差如下表:来自总体1的样本来自总体2的样本nx = 14n2 =7召=53.2x2 = 43.4昇=96.8s； =102.0(1)求“- “2的90%的置信区间。(2)求M-“2的95%的置信区间。(3)求M- “2的99%的置信区间。7.22从两个正态总体中分别抽取两个独立的随机样本.它们的

27、均值和标准差如下表:来自总体1的样本来自总体2的样本X, =25X, = 23彳=165； =20(1)设 6 =n2 =100,求一“295%的置信区间。(2)设 77, = n2 =10, er,2 = <7；,求“2的95%的苣信区间。(3)设 nx = n2 =10,求一“2的95%的苣信区间。(4)设“1 = 10,7?2 =20, b： = b；,求/, 一他的95%的苣信区间(5)设 = 10,722 =20, b：工b；,求“处的95%的宜信区间7.23 Book723是由4对观察值组成的随机样本。（1） 计算A与B各对观察值之差，再利用得岀的差值计算了和°（2）设M和“2分别为总体A和总体B的均值.构造“d一"2的95%的置信区间。7.24 一家人才测评机构对随机抽取的10