2019上海市数学春考试卷及答案解析

1、2019年上海市普通高校春季招生统一文化考试数学试卷2019.1、填空题（本大题共 12题，茜分54分，第1 6题每题4分，第7-12题每题5分）1.已知集合 A 1,2,3,4,5 , B 3,5,6，则 A B 【答案】3,5【考点】考察的集合内容，集合的交并补运算2.计算:2n2 3n 1lim 2n 4n 122 3 口解析】lim n- limnn-n 4n 11 4 ±12n n，.八 3 1 lim 2 2n n41lim 12n n【考点】极限的知识点，此题属于数列的极限;1)lim f类型，方法：分子、分母同时除以n g nn的最高次2）可有理化类型;0 1 q 1

2、3） limqn （q为常数）类型，lim qn 1 q 1 nn不存在q1或q 13.不等式x 1| 5的解集为.【答案】6,4【解析】Q |x 1 55 x 1 56 x 46,4【考点】绝对值不等式的解法1） f x x的解是 x f x x , f x x的解是f x x或f x x . b d2）解关于x的不等式 ax b cx d m,或ax b cx d m时，可以按季点 一， 一分段求解a c4 .函数f x X2 X 0的反函数为.【答案】f 1 X , X X 0【解析】由y X2 X 0 ,解得y 0, x jy f 1 X JX X 0【考点】求反函数的一般步骤：(1)

3、求原函数的值域；(2)反解，由 y f(X)解出 x f1(y);(3)写出反函数的解析式(互换 X,y),并注明反函数的定义域(即原函数的值域)。注：析分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数再合成5 .设i为虚数单位，3z i 6 5i ,则|z的值为.【答案】【解析】设 z x yi x, y R , z x yi x, y R , 3z i 6 5i 解得 z 2 2i X,y R z z J22 222V2【考点】负数模的运算法则|z Izl, |z1 z2|z2 ,2x 2y 16 .已知二兀线性万程组:有无穷多解，则实数 a .4x【答案】2 221【解析】若方程组有无穷多解

4、，则两个方程对应系数必成比例，工 彳 a 27.在X的二项展开式中，常数项的值为15Tr 1C：an rbrCrxC6rx,则常数项为0 ,解得r 4,故常数项为丁41 C64 15【考点】二项式定理：a bnC°anC：an1b1CanrbrC；bnn N* ,二项展开式的通项为：Tr 1 C：an rbr8.在 ABC 中，AC 3,3sin A2sin B ,且 cosC【答案】.10【解析】先利用正弦定理有:sin A sin BBCACBC 2,再利用余弦定理222c 1abecosC - 4 2abI AB212解得AB10【考点】正余弦定理9.首届中国国际进口博览会在上

5、海举行，某高校拟派4人参与连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加天，其余每人各参加1天，则所有不同的安排种数为（结果用数值表示）【答案】24【解析】在5天的时间里，甲连续32天，共有4种，剩下的3人排列，故一共有 4 P3 24【考点】排列组合10.如图，正方形OABC的边长为a a 1 ,函数y2 .3x的图像交AB于点Q,函数y1x的图像交BC交于点P ,当AQ CP最小时，a的值为【解析】点P在函数y1x 2上,则CP a，点Q在函数y 3x2上，且满足1 3a 1',3a 4 t 113a-,AQxqCPf= 2</- 2 3 4 ,当且仅当 -i= 即 a .3 时.a

6、3. a 3、a 3取等号【考点】函数，不等式2x11.已知P为椭圆一421上任意一点,2Q与P与关于x轴对称，FF2为椭圆的左右焦点，若有uuir uuurF1P F2Puuiruuuu【解析】则F1P与F2Q的夹角范围为x, y ，则Q点坐标为x,1的焦点坐标为22,0 ,V2,0 ,uuirQ F1PuuuuF2 P2 y22，二八 x幺士 42 y_2可得1,2UUITuuuuF故F1P与F2Q的夹角满足:cosuuirF1Puutr-uuuu F2Q -uuuu2 3y2F1P F2P82V1.131 arccos-, 3【考点】椭圆，向量12.已知t R,集合t,t4,t,0A,若

7、存在正数A,则t的值为分类，当t0时，当at,t 14,t1 19,t1-一-，又Q0t可得t 9't可得当当综上所述:9时,与构造方程相同,1时，可得t 1t 9解得t 3不符合题意,解得t舍去【考点】考查利用集合与元素的关系求解参效的取值问题 t 4 t 9 t 9 t 4二、选择题（本大题共有 4题，菌分20分，每题5分）13 .下列函数中，值域为0, 的是（）A y 2x1B y x2【C】y tanx【D】y cosx【答案】B【解析】函数的图像及函数的基本性质14 .已知 a,b R ,则“ a2 b2” 是 “ a b ” 的（）【A】充分非必要条件B必要非充分条件C1充

8、要条件D既非充分又非必要条件【答案】C15 .已知平面 、两两垂直，直线a、b、c满足：a ,b , c，则直线a、b、c不可能是（）A两两垂直B两两平行C两两相交【D】两两异面【答案】B【解析】其他情况均存在16 .平面直角坐标系中，两动圆01、02的圆心分别为 a,0、a2,0 ,且两圆均过定点 1,0 ,两圆与y轴1 1正半轴分别交于点 0,y1、0,y2 ，若ln y1 ln y2 0,点 , 的轨迹为 ，则 所在的曲线可能是a a2（）A直线B圆【Q椭圆D»双曲线【答案】A【解析】因为 r1 1a142yT,y212al ,同理，y212a2 ,又因为 Iny1In y20

9、 ,所以y1y211贝U 1 2al 1 2a2 1,即 2ala2 备 a2, 2 a1 a21X 设a1 ,则x y 2为直线，故答案为 A.1y a2三、解答题（本大题满分76分） 17.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 如图，正三棱锥P ABC中，侧棱长为2,底面边长为J3, M、N分别是PB和BC的中点.(1)求异面直线MN和AC所成角的大小;(2)求三棱锥P ABC的体积.It【答案】(1) arccos；(2)-. 44【解析】难度不大18.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)已知数列an中，a1 3 【答案】(1) Sn 2n n ； (

10、2)1,0 U 0,前n项和为Sn.(1)若an为等差数列，且a【解析】考察的是数列19.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 15,求Sn；4 a ，一lim Sn 12(2)若an为等比数列，且n n ,求公比q的取值范围改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍，卫生总费用包括个人现金支出、社会支出、政府支出，下表为2012年2015年我国卫生费用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比年份卫生整蔓用个人现金卫生支出社会卫生支出政府卫生支出与）占卫牛总落 用比建能对数 （亿元）占牛思若军比重能对数 （亿元）占卫牛

11、总着 用比重201228119.009656.3234,3410030,7035,678431.9829.99 J201331668 95107293411393.7935.989545.81304011295.413L9913437.753出。51057 g.2329.96201540974.6411992.6529.2716505.71402912475.283645（1）计算A B的数据，并指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占 比的变化趋势;（2）设t 1表示1978年，第n年卫生总费用与年份t之间拟合函数ft357876.

12、60536.4420 0.1136t1 e，研究函数f t的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份.【答案】（1）个人现金支出占比逐渐减少，社会支出占比逐渐增多;（2）单调递增，t 51, 2028年首次超过12万亿20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分）已知抛物线y2 4x, F为焦点,P为抛物线准线l上一动点，线段 PF与抛物线交于点 Q ,定义PFFQ1,（1）若点P的坐标为_ 2d P PF a求证：存在常数a,使得2d P PF a成立;设PH艮为抛物线准线l上三点，且PP2次，试比较d P1d B与2dB的大小.【答案】见解析8【解

13、析】（i）因为kpF24234一 、一3x1,联立方程34 彳y x 1324y 4xXq则PFQF10354(2)当 P 1,0 时，易得 a 2d P PF 2 ,不妨设1,yPyp0,直线PF : x my 1 ,贝U myP2 ,联立my 12d PPF4x2y 4my0 ， Vq4m . 4m 2 162m 2Vm21 ,1 m2 yP22一m 2m 2 , m2 12v1 m2,m2 1 m 2、1 m22 22也Vq（3）设 P1,yi ,P21,y2 ,P3 1,y3 ,则2 d P d P34d P2PF| |P3F 2P2F y24 y24 2y24g 所 2j "

14、; 4 -,y24. y24 .yiy32 1622因为 y24 .y4yi y3162. y2 4 y24 2y1y28又因 y24 y2 4 y1y34 24 y-2 拈 8y1y30 ,所以d R d自 2d F2【总结】(3)的本质为：AE为 ABC的中线，则由三角形两边之和大于第三边，可知2AE AB AC21.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) *若an是等差数列，公差d 0，,数列*满足：bnsinan，n N ,记S x|xbn，nN2a10, d (1)设3 ,求集合S；a1(2)设2 ,试求d的值，使得集合 S恰有两个元素；(3)若集合

15、S恰有三个元素，且bn T bn ,其中T为不超过7的正整数，求T的所有可能值.【答案】见解析【解析】(1) S-,0,； (2) d 或 d ;223(3)当T 3时，bn 3 bn ,集合S b1,b2,b3 ,符合题意；当T4时，bn 4 bn ,sin an 4d sinan ,斗4d an 2k 或不 4d 2k 不，k因为an为公差d 0的等差数列，故an4d% 2k , d » ,又d，故k1,2 .当k 1时，如图取ai 0, S 0,1, 1 ,符合条件因为因为5时， bn 5bn ,sin an 5dan为公差d 0的等差数列,一 . 3S sin ,1, sin

16、 10当Tan为公差d6d0的等差数列,1时，如图取ai 0 时,7时，bn 7bn,sin an7d因为an为公差d 0的等差数列,sinan, an故 an 5d,符合条件;sinan,故an3,2sinan ,故an5danan6d6dan7danan2kan2k7d anan 2k2k2k2k或an2k5或an或an2k75d6d2k2k1,2,3 .7d 2k1,2,3 .am an2 ?1时，因为b>,b2,L ,b7对应3个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有222n d 2 ,d ,即=,m n 7,m 7,不符合条件；m n m n 7当k 2时，因为b>,b2,L ,bz对应3个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有am an 2 ,即m n d 2 ,d -2,即-2=, m n不是整数，故不符合条件bi,b2,L,bz对应3个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有 am an 2或4 ,若mn d2 ,d上一，即上一=6_,mn不是整数，m nm n 7若mn