空间向量与空间角

1、高考数学精品复习资料 2019.5空间向量与空间角一、 知识与方法：（一）空间向量1、向量共线定理：方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量（也叫共线向量），向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个实数，使，（其中为非零向量）。推论：如果为经过已知点且平行于已知非零向量的直线，那么对于任意一点，点在直线上的充要条件是：存在实数满足等式。其中向量叫做直线的方向向量。2、共面向量：在同一平面内或平行于的向量。显然空间任意的两个向量都是共面向量。3、共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在实数 使。由此推出：空间一点在平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使，或对空间任一点，有

2、 或，且 4、空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使。若三个向量不共面，就称为空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。5、运用向量判定线、面平行的方法（1）两条不重合直线平行的判定：；（2）直线与平面平行的判定： 设平面的法向量为，则/； 设是平面的一组基底，则；（3）两个平面平行：设不重合的平面的法向量分别为，则 ； ； 。6、运用向量判定线、面垂直的方法（1）两条直线垂直的判定：；（2）直线与平面垂直的判定：设平面的法向量为，则； （3）平面的法向量分别为，则。7、平面的法向量：若直线，则直线的方向向量叫

3、做平面的法向量。（二）空间角1、异面直线所成的角：范围 平移法：过空间上一点（注意取图形中的特殊点）作、，则与所成的锐角或直角就是异面直线所成的角；（书写时要分三步：作 指 求） 证明，则与的夹角为； 向量法：求，（)，再确定异面直线与所成的角()。2、直线与平面所成的角：范围 定义法：找出直线在平面内的射影（射影怎么找），则锐角就是直线与平面所成的角；（书写时要分三步：作 指 求） 证明(或)，则直线与平面所成的角（或）； 向量法：求与的法向量所成的角，则直线与平面所成的角为或，总之有。3、二面角 直接法：直接作出二面角的平面角（书写时要分三步：作 指 求）； 向量法：设平面的法向量与平面的

4、法向量所成的角为，则所求的二面角为 或（要依图形确定是取，还是取）。二、例题例1、已知平行六面体中，求的长。解： ， 所以，例2、已知四棱锥的底面为直角梯形，底面，且，是的中点（1）证明：平面平面；（2）求异面直线与所成的角的余弦值；（3）求直线与平面所成角的正弦值；答案：（1）证明：平面，故平面平面；（2）解：建系，因（3）设为平面的一个法向量，则，即，令，则，故，则设直线与平面所成角为，则。三、练习题：1、已知正方体中，点为上底面的中心，若，则_。2、已知为不共线的三点，平面，平面，且满足，则_。3、若为共线向量，则_。4、正三棱柱，（1）若侧棱长与底面边长相等，则与侧面所成角的正弦等于_

5、； （2）若侧棱长为，底面三角形的边长为，则与侧面所成的角是 。 ；5、已知分别是正方体的棱的中点，则截面与底面所成二面角的正弦值是_。6、正方体中，为的交点，则与所成的角的余弦值等于_。7、从点引出的三条射线，每两条的夹角都是，则直线与平面所 a b c v e 成的角的余弦是_。8、如图，在底面边长为的正三棱锥中，是的中点，若的面积是，则侧棱与底面所成角的正切值为 。9、长方体中，点为上一点，且，点在线段上，（1）求；（2）求 直线与平面所成的角的正切值；（3） 平面与底面所成角（锐角）的余弦值。解： (1) 以a为原点，ab、ad、aa1所在直线为x轴，y轴，z 轴，则d(0,8,0)，

6、a1 (0，0，4)，m(5,2,4) (2) 由(1)知a1dam，又由已知a1dan，平面amn，垂足为n。因此ad与平面所成的角即是易知。(3) 平面abcd，a1n平面amn，分别成为平面abcd和平面amn的法向量。设平面amn与平面abcd所成的角（锐角）为，则10、如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，侧面底面。（1）与是否相互垂直，请证明你的结论；（2）求二面角的正切值；（3）求证：平面平面解：（1）与相互垂直.证明如下：取的中点，连结，交于点；连结，又平面平面，平面平面，平面在梯形中，可得，即， 。（2）连结，由平面，可得，为二面角的平面角，设，则在中，。（3）取的中点，连结，由题意知：平面平面，则由（1）可得平面，取的中点，连结，则由，得四边形为平行四边形。 ，平面平面平面。11、矩形中，沿对角线将三角形向上折起，使点 移动到点，使点在底面上的射影在上。（1）求证：； （2）求二面角的正弦值； （3）求直线与平面d所成角的正弦值。（1）证明：四边形abcd为矩形，bccd，daab，a点移动到了p点， pdpb，又p点在平面bcd上的射影在cd上，过p点作pfcdpf面bcd，bc面pcd，bcpd，pd面pbc， pdpc（2）解：pf面bcd， 过点f作