高三数学复习 第6节　正弦定理和余弦定理及其应用

1、高考数学精品复习资料 2019.5第6节正弦定理和余弦定理及其应用 课时训练 练题感 提知能【选题明细表】知识点、方法题号用正、余弦定理解三角形1、5、8、9、11与三角形面积有关的问题2、4判断三角形的形状3、10实际应用问题7、15综合应用6、12、13、14、16a组一、选择题1.(20xx广东湛江十校联考)在abc中,内角a、b、c所对的边分别是a、b、c,已知b=2,b=30°,c=15°,则a等于(a)(a)22(b)23(c)6-2(d)4解析:a=180°-30°-15°=135°,由正弦定理asina=bsinb,得

2、a22=212,即a=22.故选a.2.(20xx潮州二模)在abc中,a=3,ab=2,且abc的面积为32,则边ac的长为(a)(a)1(b)3(c)2(d)2解析:sabc=12ab·ac·sin a=12×2·ac·sin3=32,ac=1.故选a.3.(20xx湛江高考测试(二)若三条线段的长分别为3,5,7,则用这三条线段(c)(a)能组成直角三角形(b)能组成锐角三角形(c)能组成钝角三角形(d)不能组成三角形解析:依题意得,注意到任意两边之和均大于第三边,因此,它们能够构成三角形,边长为7的边所对的内角的余弦等于32+52-72

3、2×3×5<0,因此,该内角是钝角.该三角形是钝角三角形,故选c.4.(20xx汕头市高三质量测评(二)在abc中,内角a,b,c对应的边分别是a,b,c,已知c=2,c=3,abc的面积sabc=3,则abc的周长为(a)(a)6(b)5(c)4(d)4+23解析:依题意得12absin c=34ab=3,ab=4,c2=a2+b2-2abcos c=a2+b2-ab=4(a+b)2-3ab=4(a+b)2=16a+b=4a+b+c=6,即abc的周长是6,故选a.5.(20xx汕头市高三质量测评(一)在abc中,内角a,b,c的对边分别是a,b,c,若sincsi

4、na=2,b2-a2=32ac,则cos b等于(c)(a)12(b)13(c)14(d)15解析:ca=sincsina=2,即c=2a,又b2-a2=32ac,由余弦定理得b2=c2+a2-2accos b,32a×2a=4a2-4a2cos b,即cos b=14.6.(20xx珠海一模)直线l1与l2相交于点a,点b、c分别在直线l1与l2上,若ab与ac的夹角为60°,且|ab|=2,|ac|=4,则|bc|等于(b)(a)22(b)23(c)26(d)27解析:由题意,abc中,a=60°,ab=2,ac=4.由余弦定理知bc2=ab2+ac2-2ab

5、·accos a=12,bc=23.故选b.二、填空题7.某居民小区为了美化环境,给居民提供更好的生活环境,在小区内的一块三角形空地上(如图,单位:m)种植草皮,已知这种草皮的价格是120元/m2,则购买这种草皮需要元. 解析:三角形空地面积s=12×123×25×sin 120°=225(m2),故共需225×120=27000(元).答案:270008.(高考北京卷)在abc中,若a=2,b+c=7,cos b=-14,则b=. 解析:由已知根据余弦定理b2=a2+c2-2accos b得b2=4+(7-b)2

6、-2×2×(7-b)×(-14),即15b-60=0,得b=4.答案:49.(20xx潮州高三期末质检)在abc中,角a,b,c的对边分别是a,b,c,若(2b-c)cos a=acos c,则cos a=. 解析:由(2b-c)cos a=acos c,得2bcos a=ccos a+acos c,2sin bcos a=sin ccos a+sin acos c,故2sin bcos a=sin(a+c),又在abc中,sin(a+c)=sin b>0,故cos a=12.答案:1210.在abc中,内角a、b、c所对的边分别是a、b、c若si

7、n c+sin(b-a)=sin 2a,则abc的形状为. 解析:由sin c+sin (b-a)=sin 2a得sin(a+b)+sin(b-a)=sin 2a,2sinbcos a=2sin acos a.cos a=0或sin a=sin b.0<a、b<,a=2或a=b,abc为直角三角形或等腰三角形.答案:等腰或直角三角形三、解答题11.(20xx广东六校第二次质检)如图,四边形abcd中,ab=5,ad=3,cos a=45,bcd是等边三角形.(1)求四边形abcd的面积;(2)求sin abd.解:(1)由题意及余弦定理得bd2=ab2+ad2-2

8、5;ab×ad×cos a=10,cos a=45,sin a=35.四边形abcd的面积s=sabd+sbcd=12×ab×ad×sin bad+12×bd2×sin dbc=9+532.(2)由正弦定理得adsinabd=bdsina,sin abd=adbd×sin a=91050.12.(20xx深圳市二调)在abc中,角a,b,c的对边分别为a,b,c,已知a=3,b=5,c=7.(1)求角c的大小;(2)求sin(b+3)的值.解:(1)由余弦定理可得cos c=a2+b2-c22ab=32+52-72

9、2×3×5=-12,0<c<,c=23.(2)由正弦定理可得bsinb=csinc,sin b=bsincc=5sin 237=5314,c=23,b为锐角,cos b=1-sin2b=1-(5314) 2=1114,sin(b+3)=sin bcos 3+cos bsin 3=5314×12+1114×32=437.b组13.(高考新课标全国卷)已知锐角abc的内角a,b,c的对边分别为a,b,c,23cos2a+cos 2a=0,a=7,c=6,则b等于(d)(a)10(b)9(c)8(d)5解析:由题意知,23cos2a+2c

10、os2a-1=0,即cos2a=125,又因为abc为锐角三角形,所以cos a=15.在abc中,由余弦定理知72=b2+62-2b×6×15,即b2-125b-13=0,即b=5或b=-135(舍去),故选d.14.在abc中,设角a、b、c的对边分别为a、b、c,若a=(cos c,2a-c),b=(b,-cos b)且ab,则b=. 解析:由ab,得a·b=bcos c-(2a-c)cos b=0,利用正弦定理,可得sin bcos c-(2sin a-sin c)cos b=sin bcos c+cos bsin c-2sin acos b=0

11、,即sin(b+c)=sin a=2sin acos b,因为sin a0,故cos b=12,因此b=3.答案:315.如图所示,a、b、c、d都在同一个与水平面垂直的平面内,b、d为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面a处测得b点和d点的仰角分别为75°,30°,于水面c处测得b点和d点的仰角均为60°,ac=0.1 km.(1)试探究图中b、d间距离与另外哪两点间距离会相等?(2)求b、d的距离.解:(1)如图所示,在adc中, dac=30°,adc=60°-dac=30°,cd=ac=0.1 km,又bcd=180°

12、;-60°-60°=60°,ced=90°,cb是cad底边ad的中垂线,bd=ba.(2)在abc中,abc=75°-60°=15°,由正弦定理得absinbca=acsinabc,ab=0.1·sin60°sin15°=32+620(km),bd=32+620(km).故b、d间的距离是32+620km.16.在abc中,内角a,b,c所对的边分别为a,b,c,已知sin b(tan a+tan c)=tan atan c.(1)求证:a,b,c成等比数列;(2)若a=1,c=2,求abc的面积s.(1)证明:在abc中,sin b(tan a+tan c)=tan atan c,sin bsinacosa+sinccosc=sinacosa·sinccosc,sin b(sin acos c+cos asin c)=sin asin c,sin bsin(a+c)=sin asin c,a+c=-b,sin(a+c)