高三一轮专题复习基本不等式及其应用(有详细答案)

1、学习必备欢迎下载§7.3基本不等式及其应用a b1.基本不等式ab2(1) 基本不等式成立的条件： a>0， b>0.(2) 等号成立的条件：当且仅当a b 时取等号 .2.几个重要的不等式22 2ab(a， b R ).(1) a b(2) b a 2(a，b 同号 ).abab 2(a， b R).(3) ab2a2 b2a b 2(a，b R).(4)223.算术平均数与几何平均数设 a>0 ， b>0 ，则 a， b 的算术平均数为a bab，基本不等式可叙述为两2 ，几何平均数为个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.4.利用基本不等式求最值问题已

2、知 x>0， y>0，则(1) 如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当xy 时， x y 有最小值是2p.(简记：积定和最小)p2(2) 如果和 x y 是定值 p，那么当且仅当 x y 时， xy 有最大值是 4 .( 简记：和定积最大 )1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“×” )1的最小值是 2.(×)(1) 函数 yx x(2) ab (a b 2成立的条件是 ab>0.(×)2)学习必备欢迎下载(3) 函数 f(x) cos x4.(×)4 ， x (0， )的最小值等于cos x2x y(4) x>0 且 y

3、>0 是 y x 2 的充要条件 .(×)(5) 若 a>0，则 a3 12的最小值为 2 a.(×)a(6) a2 b2 c2 abbc ca(a， b， c R ).()2.当 x>1 时，关于函数f(x) x1 ，下列叙述正确的是()x 1A. 函数 f(x)有最小值 2B. 函数 f(x)有最大值 2C.函数 f(x)有最小值 3D. 函数 f(x)有最大值 3答案C3.若 a， b R，且 ab>0 ，则下列不等式中，恒成立的是()A. a2 b2>2 abB. a b 2 abC.11>2D.b a 2ababa b答案D解析

4、 a2 b2 2ab (a b)2 0， A 错误 .对于 B 、 C，当 a<0， b<0 时，明显错误 .b a 2b a对于 D ， ab>0， · 2.a ba b4.设 x， y R， a>1， b>1，若 ax by 3， ab 23，则11的最大值为()xy31A.2B. 2C.1D. 2答案Cxy11解析由 a b3，得：x log a3，y log b3，由 a>1，b>1 知 x>0，y>0 ，x y log3a log 3b log 33a b2 1，当且仅当 ab 3时 “ ” 成立，则 1 1的最大值为

5、1.ab log2x y1 |a|取得最小值 .5.(2013 天·津 )设 a b 2， b>0，则当 a _时， 2|a|b答案 2解析由于 a b 2，所以1|a| a b|a|ab|a|b2|a| b 4|a| b 4|a| 4|a| b ，由于 b>0，|a|>0，所以 4|a|a|b|a|1|a|151|a|最 24|a|· 1，因此当 a>0 时， 的最小值是 1 ；当 a<0 时，的bb2|a|b442|a|b学习必备欢迎下载131 |a|3b |a|，4|a| b小值是4 14.故 2|a| b 的最小值为4，此时即 a 2.

6、a<0，题型一利用基本不等式求最值例 1 (1) 已知 x>0， y>0，且 2xy 1，则 1x 1y的最小值为 _；2x(2) 当 x>0 时，则 f(x)x2 1的最大值为 _.思维启迪利用基本不等式求最值可以先对式子进行必要的变换.如第 (1) 问把 11中的xy“ 1”代换为 “2x y” ，展开后利用基本不等式；第(2) 问把函数式中分子分母同除“ x”，再利用基本不等式.答案(1)3 22(2)1解析(1) x>0， y>0，且 2x y 1，112x y2x y x yxyy2xy 2x 3x y 322.当且仅当 x y 时，取等号 .2x

7、2 2(2) x>0， f(x) x2 11 21，x x当且仅当 x1，即 x 1 时取等号 .x思维升华(1)利用基本不等式求函数最值时，注意“ 一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小 ”.(2) 在求最值过程中若不能直接使用基本不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够使用基本不等式.xy(1)已知正实数 x， y 满足 xy 1，则 (y) ·( x)的最小值为 _.yx，且满足 x y 1，则 xy 的最大值为 _.(2) 已知 x，y R34答案 (1)4 (2)3学习必备欢迎下载解析(1)依题意知， (xyy2x2y2×

8、x2xy1y y)(x x) 1 x y 1 2 2xy 4，当且仅当xy时取等号，故 (y) ·( x)的最小值为 4.yxxy 2xyxy(2) x>0， y>0 且 13412， xy 3.当且仅当34时取等号 .题型二不等式与函数的综合问题例 2 (1) 已知 f(x) 32x( k1)3x 2，当 x R 时， f(x)恒为正值，则k 的取值范围是 ()A.( ， 1)B.( ， 2 21)C.( 1,2 2 1)D.( 2 2 1,2 21)x2 ax11*，f(x) 3恒成立，则 a 的取值范围(2) 已知函数 f(x)(a R)，若对于任意 x Nx 1是

9、 _.思维启迪对不等式恒成立问题可首先考虑分离题中的常数，然后通过求最值得参数范围 .答案(1)B(2) 8， )3解析2 xx(1)由 f(x)>0 得 3 (k 1)·3 2>0，解得 k1<3x2x2x2 x x2(当且仅当 3 x，3，而33 23即 xlog 3 2时，等号成立 )， k1<2 2，即 k<2 2 1.*， f(x) 3x2 ax113 恒成立，即知8(2) 对任意 x N恒成立，即a (x x) 3.x 1设 g( x) x8x， x N* ，则 g(2) 6， g(3)173. g(2)> g(3) ， g(x)min

10、 17. (x 8) 3 8，3x388 a 3，故 a 的取值范围是 3， ).思维升华(1)a>f(x)恒成立 ?a>(f(x) max ，a<f(x)恒成立 ? a<( f(x) min；(2)求最值时要注意其中变量的条件，有些不能用基本不等式的问题可考虑利用函数的单调性.若不等式 x2 ax 10 对于一切 x (0，1)成立，则 a 的最小值是()2学习必备欢迎下载5A.0B.2C.2D.3答案C解析方法一 设 f(x) x2ax 1，a则对称轴为 x 2.a1当 2 2，即 a 1时，115f(x) 在(0 ，2)上是减函数，应有 f(2) 0?a2， 5

11、a 1.2当 a 0，即 a 0 时， f(x)在 (0，1)上是增函数，22应有 f(0) 1>0 恒成立，故a 0.a 1当 0< 2<2，即 1<a<0 时，222应有 f(aaa1 1a 0 恒成立，2)424故 1< a<0.5综上， a 2，故选 C.当 x(0，121方法二2)时，不等式x ax 1 0恒成立转化为a (x x)恒成立 .11又 (x) x x在 (0， 2)上是减函数，15 (x)min ( ) ，2215 (x ) max ，x2 a 5.2题型三基本不等式的实际应用例 3 某单位决定投资3 200 元建一仓库 (长方

12、体状 )，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40 元，两侧墙砌砖，每米长造价45 元，顶部每平方米造价 20元，求：仓库面积S 的最大允许值是多少？为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？学习必备欢迎下载思维启迪把铁栅长、砖墙长设为未知数，由投资3 200 元列等式，利用基本不等式即可求解 .解设铁栅长为x 米，一侧砖墙长为y 米，则顶部面积S xy，依题设，得40x 2× 45y20xy3 200，由基本不等式得3 200240x·90y 20xy 120xy 20xy 120S 20S，则S 6S160 0，即 (S 1

13、0)(S 16) 0，故 0<S 10，从而 0< S 100，所以 S 的最大允许值是100 平方米，取得此最大值的条件是40x 90y 且 xy 100，解得 x 15，即铁栅的长应设计为15 米 .思维升华对实际问题，在审题和建模时一定不可忽略对目标函数定义域的准确挖掘，一般地，每个表示实际意义的代数式必须为正，由此可得自变量的范围，然后再利用基本不等式求最值 .(1)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800 元 .若每批生产 x 件，x则平均仓储时间为 8天，且每件产品每天的仓储费用为1元 .为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A

14、.60 件B.80 件C.100件D.120 件(2) 某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p%，第二次提价q%；方案乙：每次都提价 p q_.2 %，若 p>q>0，则提价多的方案是答案(1)B (2)乙解析(1)设每件产品的平均费用为y 元，由题意得800x 2800 x 20.y8·xx 8800x当且仅当x 8(x>0) ，即 x 80 时 “ ”成立，故选 B.(2) 设原价为 1，则提价后的价格为方案甲： (1 p%)(1 q%) ，p q方案乙： (12%)2 ，1 p%1 q%p q因为1 p%1 q%22 12%，学习必备欢迎下载

15、p q且 p>q>0 ，所以1 p% 1 q% <1 2 %，pq即 (1 p%)(1 q%)<(1 2 %) 2，所以提价多的方案是乙 .忽视基本不等式等号成立的条件致误典例： (10分 )(1)(2012浙·江 )若正数x，y 满足x 3y 5xy，则3x 4y 的最小值是()2428A.5B.5C.5D.6(2) 函数3y1 2x x(x<0) 的最小值为_.易错分析(1)对x3y 运用基本不等式得xy的范围，再对3x 4y 运用基本不等式，利用不等式的传递性得最值；(2) 没有注意到x<0这个条件误用基本不等式得32x x 26.解析(1)

16、由 x 3y 5xy 可得 5y15x3 1，1 3所以 3x 4y (3x4y)( 5y 5x)943x12y1323x12y13125，5y5x55y·55555x当且仅当 x 1，y 1时取等号，故3x 4y 的最小值是 5.2(2) x<0， y 1 2x3 1 ( 2x) (3)1 2 2x ·3 1 26，当且仅当 xxx x6y 有最小值1 26.2时取等号，故答案(1)C(2)1 2 6温馨提醒(1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2) 尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致.学习必备欢迎下载方法与技巧1.

17、基本不等式具有将“ 和式 ” 转化为 “积式 ” 和将 “ 积式 ” 转化为 “ 和式 ” 的放缩功能，常常用于比较数( 式 )的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.2.对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，a b 2a2 b2a ba2 b2例如： ab( 2 ) 2， ab 22(a>0， b>0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.失误与防范1.使用基本不等式求最值，“ 一正、二定、三相等” 三个条件缺一不可.2.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.学

18、习必备欢迎下载A 组 专项基础训练(时间： 40 分钟 )一、选择题1.已知 0< x<1，则 x(3 3x)取得最大值时x 的值为()1132A. 3B. 2C. 4D. 3答案B解析 0<x<1， 1 x>0. x(3 3x) 3x(1 x) 3x 1x 2324.1当且仅当x 1x，即 x2时取等号 .12.若函数 f(x) xx 2(x>2) 在 x a 处取最小值，则a 等于()A.1 2B.1 3C.3D.4答案C解析f(x) x1 x 21 2.x 2x 2 x>2， x 2>0. f(x) x 2122x 2x 2·12

19、4，x 2当且仅当x 21，即 x 3 时， “ ”成立 .x 2又 f(x)在 x a 处取最小值 . a 3.3.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和 b( a<b)，其全程的平均时速为v，则()A. a<v< abB. v aba ba bC. ab<v< 2D.v 2答案A解析设甲、乙两地相距s，则小王往返两地用时为s s，a b学习必备欢迎下载从而 v2s 2ab .ssa ba ba b2ab 2ab 0<a<b， ab<， ab> 2b a，2 2 < 1 ，即 2ab < ab， a<v< ab.a

20、babab114.若 a>0， b>0，且 ln( a b) 0，则 a b的最小值是1A. 4B.1C.4D.8答案Ca b 1解析由 a>0， b>0， ln(a b) 0 得a>0.b>01 1a b1 11故 ab ab ab1 24.a b 222当且仅当 ab12时上式取 “ ”.5.(2012 福·建 ) 下列不等式一定成立的是21A.lg x4 >lg x(x>0)1B.sin xsin x 2(xk， k Z )C.x21 2|x|(x R)1D.x2 1>1( x R)()()答案Cx y解析应用基本不等式：x

21、， y R，2xy(当且仅当xy 时取等号 )逐个分析，注意基本不等式的应用条件及取等号的条件.211当 x>0 时， x 2·x·4x，2所以 lg x21 lg x(x>0) ，故选项 A 不正确；4运用基本不等式时需保证一正二定三相等，学习必备欢迎下载而当 x k， k Z 时， sin x 的正负不定，故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；当 x0 时，有1 1，故选项x2 1D 不正确.学习必备欢迎下载二、填空题21126.设 x， y R，且 xy 0，则(x y2)( x2 4y )的最小值为 _.答案92112122122221解析(

22、x y2)( x2 4y ) 5 x2y24x y 5 2x2y2·4x y 9，当且仅当xy2时“ ”成立 .p7.已知函数 f(x) x x 1(p 为常数，且p>0)，若 f(x)在 (1， )上的最小值为4，则实数 p的值为 _.答案94解析由题意得 x 1>0 ， f(x) x 1 p 1 2 p 1，当且仅当 x p 1 时取等号，x19因为 f(x)在 (1， )上的最小值为4，所以 2 p14，解得 p4.8.某公司一年需购买某种货物200 吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为 2 万元，一年的总存储费用数值 (单位：万元 )恰好为每次的购买吨数数

23、值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是_.答案20200200400解析设每次购买该种货物x 吨，则需要购买 x次，则一年的总运费为x× 2 x ，一400400年的总存储费用为x，所以一年的总运费与总存储费用为x x 2x ·x 40，当且仅当 400x x，即 x 20 时等号成立，故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买该种货物20 吨 .三、解答题229.(1)已知 0<x< ，求 y2x 5x 的最大值；8 2(2) 已知 x>0， y>0 ，且 x y 1，求 x y的最小值 .解(1) y2x 5

24、x21 x(2 5x)5·5x·(2 5x).2 0<x<5， 5x<2,2 5x>0， 5x(25x)(5x 2 5x)2 1，2学习必备欢迎下载1，当且仅当11 y5x 2 5x，即 x 时， ymax .555(2) x>0， y>0，且 x y1，8282 x y (x y)(x y)8y2x 10 x y 10 28y 2x· 18，xy8y2x21当且仅当x y ，即 x 3，y 3时等号成立，82 x y的最小值是18.10.某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为162 平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图

25、如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400 元 /米，中间两道隔墙建造单价为248元 /米，池底建造单价为80 元 /平方米，水池所有墙的厚度忽略不计.(1) 试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2) 若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16 米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价.解 (1) 设污水处理池的宽为 x 米，则长为 162x米 .2× 162总造价 f( x) 400× (2x) 248× 2x 80× 162x1 296× 100100 1 296xx 12 960 1 296(x

26、 x )12 9601 296×2100x· 12 96038 880(元 )，x100当且仅当 x x (x>0)，即 x 10 时取等号 . 当污水处理池的长为16.2 米，宽为 10 米时总造价最低，总造价最低为38 880 元.0<x 16 81 x 16.(2) 由限制条件知162 16，80<x100 81设 g( x) x x ( 8 x 16)，81g(x)在 8 ， 16上是增函数，学习必备欢迎下载 当 x 81时 (此时 162 16)，8xg(x)有最小值，即f(x) 有最小值，即为818001 296×( 881 ) 12

27、 960 38 882(元 ). 当污水处理池的长为16 米，宽为 81米时总造价最低，总造价最低为38 882 元.8B 组专项能力提升(时间： 30 分钟 )m311.已知 a>0， b>0，若不等式3a ba b 0恒成立，则 m 的最大值为()A.4B.16C.9D.3答案B解析因为 a>0，b>0 ，所以由m310 恒成立得 m (313b3a恒3ababab)(3a b) 10 ab成立 .3b3a 23b 3a 6，因为a·abb3b3a 16，当且仅当 ab 时等号成立，所以 10 a b所以 m16，即 m 的最大值为16，故选 B.23xy4y2xy2 12的最2.(2013 山·东 ) 设正实数 x，y，z 满足 x z 0，则当z取得最大值时，xyz大值为()9A.0B.1C. 4D.3答案B解析22由已知得 z x 3xy4y (*)x