高三-圆锥曲线知识点总结

1、学习必备欢迎下载第八章圆锥曲线专题复习一、椭圆方程 .1. 椭圆的第一定义：PF1PF22aF F2方程为椭圆 ,1PF1PF22aF F2无轨迹 ,1PF1PF 22aF1F2 以F1,F 2为端点的线段2椭圆的方程形式：椭圆的标准方程：i.中心在原点，焦点在x 轴上： x2y21(a b0 ) . ii. 中心在原点，焦点在y 轴上：b2a2y2x21(a b 0) .a 2b2 一 般 方 程 ： Ax 2By 2 1( A 0, B0) . 椭 圆 的 参 数 方 程 ： x 2y 21的参数方程为a 2b2 yxa cos （一象限应是属于 0） .( bcos , bsin )N

2、x( acos ,asin )yb sin2注意：椭圆参数方程的推导：得N (a cos , b sin)3椭圆的性质：顶点： ( a,0)(0, b) 或 ( 0, a)( b,0) .轴：对称轴：焦 点 ： ( c,0)(c,0) 或 ( 0, c)(0, c) . 焦 距 ： F 1F 22acy.离心率：e(0e1) .焦半径：ca方程的轨迹为椭圆.N 的轨迹是椭圆x 轴， y 轴；长轴长 2a ，短轴长 2b .2c, ca2 b 2 . 准 线 ： xa 2或ci. 设 P( x0 ,y 0 ) 为椭圆 x2y 21(a b 0) 上的一点， F 1,F 2 为左、右焦点，则：a2

3、b 2PF 1 a ex0 , PF 2aex0a2(a2证明：由椭圆第二定义可知：pF()a ex(x0),pFx)ex(0)归结起e xea x10 c002c000来为 “左加右减 ”.ii. 设 P( x0 ,y 0 ) 为椭圆 x 2y 21(ab0) 上的一点， F 1,F 2 为上、下焦点，则：b2a 2PF1 a ey0 , PF 2aey0通径：垂直于 x 轴且过焦点的弦叫做通径：2b 2b 2b2da 2；坐标： ( c,a ),(c,a )4共离心率的椭圆系的方程：椭圆x 2y21(ab 0) 的离心率是 ec (ca2b2 ) ，方a 2b2a程x2y 20 的参数，

4、ab0) 的离心率也是ca2t(t 是大于e我们称此方程为共离心率的b 2a椭圆系方程 .5若 P 是椭圆： x 2y21上的点 .F,F2为焦点，若FPF2，则 PFF2的面积为a 2b 2111b 2 tan（用余弦定理与PF 1PF 22a 可得） . 若是双曲线，则面积为b2cot2 .2学习必备欢迎下载二、双曲线方程 .1. 双曲线的第一定义：PF 1PF 22aF1F2方程为双曲线PF 1PF 22aF1F2无轨迹PF 1PF 22aF 1F 2 以 F 1,F 2的一个端点的一条射线2双曲线的方程：双曲线标准方程：x 2y21(a, b 0),y 2x21(a, b 0) .一般

5、方程：a 2b2a 2b 2Ax 2Cy 21( AC0) .3双曲线的性质：i. 焦点在 x 轴上：顶点： (a,0), (a,0)焦点： (c,0), (c,0)a2准线方程 x渐近线c方程： xy0 或 x 2y 20 ii. 焦点在 y 轴上：顶点： (0, a), (0, a) .焦点： (0, c), (0, c) . 准aba 2b 2a2yx0 或 y2x2xa sec线方程：y.渐近线方程：0，参数方程：或caba 2b 2yb tanxb tan.ya sec轴 x, y 为对称轴， 实轴长为 2a, 虚轴长为2b，焦距 2c.离心率 ec .准线距 2a 2ac（两准线的

6、距离） ；通径 2b 2.参数关系 c2 a 2b 2 , ec .焦半径公式：对于双曲线aa方程 x 2y 21（ F1,F 2 分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）a 2b 2“长加短减”原则：MF 1ex0 aMF 22aM F 1ex0aMF 2构成满足 MF 1M F 2（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半ex0 aex0 a径要带符号计算，而双曲线不带符号）yyMF 1ey0 aM'MF 1MF 2 ey0aMxxF 1F2M F 1ey0aM F 2ey0aM'F 24 等轴双曲线：双曲线 x 2 y 2a 2 称为等轴双曲线， 其渐近线方程为 yx ，离心

7、率 e2 .5共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭 双 曲 线 . x 2y 2与 x 2y2互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：a 2b 2a 2b 2x2y 20 .a2b 2学习必备欢迎下载6共渐近线的双曲线系方程：x2y 2(0)的渐近线方程为x 2y 2a 2b 2a0 如果双曲线的2b 2渐近线为 xyx2y2(0) .0 时，它的双曲线方程可设为b 2aba2例如：若双曲线一条渐近线为y1 x 且过 p(3,1 ) ，求双曲线的方程？y22x2y 21 ) 得 x2y2432解：令双曲线的方程为：(0) ，代入 (3,1.428217直

8、线与双曲线的位置关系：5 3xF1F2区域：无切线， 2 条与渐近线平行的直线，合计2 条；区域：即定点在双曲线上，1 条切线， 2 条与渐近线平行的直线，合计3 条；3区域： 2 条切线， 2 条与渐近线平行的直线，合计4 条；区域：即定点在渐近线上且非原点，1 条切线， 1 条与渐近线平行的直线，合计2 条；区域：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.注意：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、 2、3、4 条 .若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时， 求确定直线的斜率可用代入法与“ ”渐近线求交和两根之和与两根之积同号.若 P 在双曲线 x 2y 21 ，

9、则常用结论1：P 到焦点的距离为m 与 n，则 P 到两准a 2b2PF 1线的距离比为m n. 简证：d 1emd 2=.PF 2ne：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.三、抛物线方程 .设 p0 ，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：y 2 2 pxy 2 2 pxx 2 2 pyx 2 2 py图形 yyy yxxxxOOOO焦点F (p ,0)F (p ,0)F (0, p )F (0,p )2222准线xpxppyp22y22范围x 0, y Rx 0, y Rx R, y 0x R, y 0对称轴x 轴y 轴顶点（0， 0）离心率e 1焦点PFpPFppyPFpx1x1P

10、F1y12222学习必备欢迎下载注意： ay 2by cx 顶点 ( 4acb 2b ) .4a2a y22 px ( p0) 则焦点半径 PFxP ;x 22 py( p 0) 则焦点半径为 PF yP .22通径为 2p，这是过焦点的所有弦中最短的.x2pt2x2 pt y22px （或 x 22 py ）的参数方程为（或）（ t 为参数） .y2 pt 2y2pt关于抛物线焦点弦的几个结论：设AB为过抛物线 y2=2px (p>0 )焦点的弦， A(x 1， y1) 、B (x,y) , 直线 AB的倾斜角为 ，则： x xp2， y2; |AB|=2 p；222=y = p141

11、2sin2以 AB 为直径的圆与准线相切；焦点F 对 A、 B 在准线上射影的张角为900 ；112|FA |FB|.P四、圆锥曲线的统一定义.1. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F 和定直线 l 的距离之比为常数 e 的点的轨迹 .当 0 e 1 时，轨迹为椭圆；当 e 1 时，轨迹为抛物线；当 e 1 时，轨迹为双曲线；当 e0 时，轨迹为圆（ ec ，当 c0, a b 时） .a2. 圆锥曲线方程具有对称性 . 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的 .因为具有对称性，所以欲证AB=CD,即证 AD 与 BC 的中点重合即可.3.当椭圆的焦点位置不明确，而

12、无法确定其标准方程时，可设方程为x2y2m=1 （ m>0，nn>0 且 mn），这样可以避免讨论和繁杂的运算，椭圆与双曲线的标准方程均可用简单形式22且 m n ；若mx +ny =1（ mn 0）来表示， 所不同的是： 若方程表示椭圆， 则要求 m>0，n>0方程表示双曲线，则要求mn<0，利用待定系数法求标准方程时，应注意此方法的合理使用，以避免讨论。4. 双曲线是具有渐近线的曲线，复习中要注意以下两个问题：（1）已知双曲线方程，求它的渐近线方程，将双曲线的标准方程x2y21中的常a2b2数“ 1”换成“ 0”，即得x2y2xya2b2 =0，然后分解因式即

13、可得到其渐近线方程a=0；若b求中心不在原点，对称轴平行于坐标轴的双曲线的渐近线方程，只需将双曲线方程x， y 分别配方，然后将常数“1”换成“ 0 ”，再分解因式，则可得渐近线方程，例如双曲线( x 2)2y2(x 2)2y22 =1 的渐近线方程为32 =0，即 y± 3（ x+2），因此，如果双曲线的方3学习必备欢迎下载程已经确定，那么它的渐近线方程也就确定了。（2）求已知渐近线的双曲线方程，已知渐近线方程为axby =0 时，可设双曲线方程为a2 x2b2 y2(0) ，再利用其他条件确定的值，求法的实质是待定系数法，如果已知双曲线的渐近线，双曲线方程却不是惟一确定的。5、在

14、建立抛物线的标准方程的坐标系时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系，这样不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用。五直线和圆锥曲线的位置关系: 相交，相切，相离。1直线与圆锥曲线C 位置关系的判断:判断直线与圆锥曲线C 的位置关系时， 将直线的方程代入曲线C 的方程， 消去 y（也可消去 x）得一个关于变量x（或 y）的一元二次方程ax2+bx+c=0。当 a 0 时，若0，则与 C相交；若 =0，则 与 C相切；若 0，则有 与 C相离。当 a=0 时，即得到一个一次方程，若方程有解，则直线与 C 相交，此时只有一个公共点若 C为双曲线，则

15、平行于双曲线的渐近线；若 C为抛物线，则 平行于抛物线的对称轴。注意： 当直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时，直线和双曲线、抛物线可能相切，也可能相交。2直线被圆锥曲线截得的弦长公式：斜率为 k 的直线被圆锥曲线截得弦AB，设，则弦长公式：当时 ,弦长公式还可以写成：注意： 利用这个公式求弦长时，应注意应用韦达定理。六 . 求曲线的方程 .1坐标法的定义：学习必备欢迎下载在直角坐标系中，用坐标表示点， 把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（x， y）所满足的方程表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质 . 这就是坐标法 .2坐标法求曲线方程的步骤：建系设点点满足

16、的几何条件坐标化整理化简成最简形式证明删去增加的或者补上丢失的解）（可省略， 但必须3求轨迹方程的常用方法：直接法、定义法、代入法、参数法等。七 . 规律方法指导 .1三种圆锥曲线定义、标准方程及简单几何性质的对比:椭圆双曲线抛物线1到两定点F1、 F2 的距离之和1到两定点F1、 F2 的距离之差定义为定值轨迹2a（2a |F 1F2| ）的点的的绝对值的为定值|F 1F2| ）的点的轨迹2a（0 2a2与定点和定直线的距离之比 2与定点和定直线的距离之比为定值 e 的点的轨迹（ 0 e 1）为定值 e 的点的轨迹（ e 1）与定点和定直线的距离相等的点的轨迹图形标准方方程程参数（参数为离心

17、方（参数为离心角）（ t 为参数）程角）范围，中心原点 O（0， 0）原点 O（ 0， 0）顶点（ a， 0）（ a，0），（ a， 0），（ a， 0）（0， 0）学习必备欢迎下载（ 0， b），（0， b）对称轴x 轴， y 轴；长轴长 2a，短轴长2bx 轴， y实轴长轴；2a，虚轴长2bx 轴焦点F1（ c， 0）， F2（ c， 0）F1（ c， 0）， F2（ c， 0）焦距离心率e=1准线渐近线2有关圆锥曲线综合题类型:(1) 求圆锥曲线方程一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤：定形指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置， 如果位置不确定时，

18、考虑是否多解。此时注意数形结合， 在图形上标出已知条件， 检查轴上的点、 垂直于轴的直线的位置是否准确等。定式根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为22mx+ny =1( m0, n 0)定量由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系， 通过解方程得到量的大小。此处注意 n 个未知数，列够n 个独立的方程，并注意“点在线上”条件及韦达定理的使用。注意： 求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质

19、外， 命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法(2) 求取值范围或最值函数方法 -将待求范围参数表示为另一个变量的函数，注意求函数的定义域。方程与不等式组-n个未知数，列够n 个独立方程或不等式，注意归纳总结列不等式的方法：利用几何性质求参数范围；利用不等式性质( 结合几何性质 ) 求参数范同3解析几何问题中，解决运算问题的几点措施：解析几何图形结构、 问题结构多，且易于发散，一旦形成为图形或知识点的综合， 往往最具运算量、最为繁难复杂因此， 有时即便是明确了解法甚至较细的步骤，解题过程当中也常常被卡住，算不到底、算不出正确结果也是常有的事。因此，如何解决运算量问题，对于解题成功与否至关重要解决运算问题，可以有以下措施：学习必备欢迎下载(1) 不断提高运算和恒等变形能力。注意培养观察问题、分析问题、转化问题、解决问题的能力，避免 思维定势，提高思维灵活性；具体审题中多收集些信息，综观全局