高考数学一轮复习学案训练课件北师大版文科： 第8章 平面解析几何 第7节 双曲线学案 文 北师大版

1、高考数学精品复习资料 2019.5第七节双曲线考纲传真1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合思想.4.了解双曲线的简单应用(对应学生用书第125页) 基础知识填充1双曲线的定义(1)平面内到两定点f1，f2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|f1f2|)的点的集合叫作双曲线这两个定点f1，f2叫作双曲线，两焦点之间的距离叫作焦距其中a，c为常数且a0，c0.(2)集合pm|mf1|mf2|2a，|f1f2|2c，其中a，c为常数且a&g

2、t;0，c>0.当2a<|f1f2|时，m点的轨迹是双曲线；当2a|f1f2|时，m点的轨迹是两条射线；当2a>|f1f2|时，m点不存在2双曲线的标准方程及简单几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形条件2a2c，c2a2b2，a0，b0，c0范围xa或xa且yrya或ya且xr对称性对称轴坐标轴、对称中心原点顶点a1(a,0)，a2(a,0)a1(0，a)，a2(0，a)焦点f1(c,0)，f2(c,0)f1(0，c)，f2(0，c)渐近线y±xy±x实轴、虚轴线段a1a2叫作双曲线的实轴，它的长度|a1a2|2a；a叫做双曲线的实半轴长线

3、段b1b2叫作双曲线的虚轴，它的长度|b1b2|2b；b叫做双曲线的虚半轴长焦距|f1f2|2c(c2a2b2)离心率e(1，)，e越接近于时，双曲线开口越大；e越接近于1时，双曲线开口越小3. 等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y±x，离心率为e.知识拓展1巧设双曲线方程(1)与双曲线1(a0，b0)有共同渐近线的方程可设为(0)(2)等轴双曲线可设为x2y2(0)(3)过已知两个点的双曲线方程可设为1(mn0)2焦点三角形的面积双曲线1(a0，b0)上一点p(x0，y0)与两焦点构成的焦点三角形f1pf2中，若f1pf2，则sf1pf2|pf1|

4、83;|pf2|·sin ·b2.3离心率与渐近线的斜率的关系e21，其中是渐近线的斜率4过焦点垂直于实轴的弦长过焦点垂直于实轴的半弦长为.基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“×”)(1)平面内到点f1(0,4)，f2(0，4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线()(2)方程1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线()(3)双曲线(m>0，n>0，0)的渐近线方程是0，即±0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.()答案(1)×(2)×(3)(4)2(教材改编)已知

5、双曲线1(a>0)的离心率为2，则a()a2bcd1d依题意，e2，2a，则a21，a1.3(20xx·福州质检)若双曲线e：1的左、右焦点分别为f1，f2，点p在双曲线e上，且|pf1|3，则|pf2|等于()a11b9 c5d3b由题意知a3，b4，c5.由双曲线的定义|pf1|pf2|3|pf2|2a6，|pf2|9.4(20xx·全国卷)已知f是双曲线c：x21的右焦点，p是c上一点，且pf与x轴垂直，点a的坐标是(1,3)，则apf的面积为()a bcdd因为f是双曲线c：x21的右焦点，所以f(2,0)因为pfx轴，所以可设p的坐标为(2，yp)因为p是c

6、上一点，所以41，解得yp±3，所以p(2，±3)，|pf|3.又因为a(1,3)，所以点a到直线pf的距离为1，所以sapf×|pf|×1×3×1.故选d5(20xx·北京高考改编)已知双曲线1(a>0，b>0)的一条渐近线为2xy0，一个焦点为(，0)，则双曲线的方程为_. 【导学号：00090297】x21由于2xy0是1的一条渐近线，2，即b2a，又双曲线的一个焦点为(，0)，则c，由a2b2c2，得a2b25，联立得a21，b24.所求双曲线的方程为x21.(对应学生用书第126页)双曲线的定义及应用(

7、1)(20xx·长春模拟)已知双曲线x21的两个焦点为f1，f2，p为双曲线右支上一点若|pf1|pf2|，则f1pf2的面积为()a48b24c12d6(2)已知圆c1：(x3)2y21和圆c2：(x3)2y29，动圆m同时与圆c1及圆c2相外切，则动圆圆心m的轨迹方程为_. 【导学号：00090298】(1)b(2)x21(x1)(1)由双曲线的定义可得|pf1|pf2|pf2|2a2，解得|pf2|6，故|pf1|8，又|f1f2|10，由勾股定理可知三角形pf1f2为直角三角形，因此spf1f2|pf1|×|pf2|24.(2)如图所示，设动圆m与圆c1及圆c2分别

8、外切于a和b，动圆m的半径为r，根据两圆外切的条件得|mc1|1r|mc2|3r所以|mc2|mc1|2所以点m到两定点c1、c2的距离的差是常数且小于|c1c2|6.又根据双曲线的定义，得动点m的轨迹为双曲线的左支(点m与c2的距离大，与c1的距离小)，其中a1，c3，则b28.故点m的轨迹方程为x21(x1)规律方法1.应用双曲线的定义需注意的问题：在双曲线的定义中，要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点间的距离”若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支同时需注意定义的转化应用2在焦点三角形中，注意定义、余弦

9、定理的活用，常将|pf1|pf2|2a平方，建立与|pf1|·|pf2|间的联系变式训练1(1)已知双曲线c的离心率为2，焦点为f1，f2，点a在c上若|f1a|2|f2a|，则cosaf2f1()abcd(2)已知f1，f2为双曲线1的左，右焦点，p(3,1)为双曲线内一点，点a在双曲线上，则|ap|af2|的最小值为()a4 b4c2d2(1)a(2)c(1)由e2得c2a，如图，由双曲线的定义得|f1a|f2a|2a又|f1a|2|f2a|，故|f1a|4a，|f2a|2a，cosaf2f1.(2)由题意知，|ap|af2|ap|af1|2a，要求|ap|af2|的最小值，只需

10、求|ap|af1|的最小值，当a，p，f1三点共线时，取得最小值，|ap|af1|pf1|，|ap|af2|的最小值为|ap|af1|2a2.故选c双曲线的标准方程(1)(20xx·天津高考)已知双曲线1(a>0，b>0)的右焦点为f，点a在双曲线的渐近线上，oaf是边长为2的等边三角形(o为原点)，则双曲线的方程为()a1 b1cy21dx21(2)(20xx·天津高考)已知双曲线1(a>0，b>0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2xy0垂直，则双曲线的方程为()ay21bx21c1d1(1)d(2)a(1)根据题意画出草图如图所示.由ao

11、f是边长为2的等边三角形得到aof60°，c|of|2.又点a在双曲线的渐近线yx上，tan 60°.又a2b24，a1，b，双曲线的方程为x21.故选d(2)由焦距为2得c.因为双曲线的一条渐近线与直线2xy0垂直，所以.又c2a2b2，解得a2，b1，所以双曲线的方程为y21.规律方法1.确定双曲线的标准方程需要一个“定位”条件，两个“定量”条件“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上；“定量”是指确定a，b的值，常用待定系数法若双曲线的焦点位置不能确定时，可设其方程为ax2by21(ab<0)2对于共焦点、共渐近线的双曲线方程，可灵活设出恰当的形式求解若已知渐近线方程

12、为mxny0，则双曲线方程可设为m2x2n2y2(0)变式训练2(1)(20xx·全国卷)已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y±x，则该双曲线的标准方程为_. 【导学号：00090299】(2)设椭圆c1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线c2上的点到椭圆c1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线c2的标准方程为_(1)y21(2)1(1)双曲线的渐近线方程为y±x，可设双曲线的方程为x24y2(0)双曲线过点(4，)，164×()24，双曲线的标准方程为y21.(2)由题意知椭圆c1的焦点坐标为f1(5,0)，f2(5,0)，设曲线c

13、2上的一点p，则|pf1|pf2|8.由双曲线的定义知：a4，b3.故曲线c2的标准方程为1，即1.双曲线的简单几何性质(1)(20xx·全国卷)已知f1，f2是双曲线e：1的左、右焦点，点m在e上，mf1与x轴垂直，sinmf2f1，则e的离心率为()abcd2(2)(20xx·石家庄调研)设双曲线1(a>0，b>0)的右焦点是f，左、右顶点分别是a1，a2，过f作a1a2的垂线与双曲线交于b，c两点若a1ba2c，则该双曲线的渐近线方程为_(1)a(2)x±y0(1)如图，因为mf1x轴，所以|mf1|.在rtmf1f2中，由sinmf2f1得ta

14、nmf2f1.所以，即，即，整理得c2aca20，两边同除以a2得e2e10.解得e(负值舍去)(2)由题设易知a1(a,0)，a2(a,0)，b，c.因为a1ba2c，所以·1，整理得ab因此该双曲线的渐近线方程为y±x，即x±y0.规律方法1.(1)求双曲线的渐近线，要注意双曲线焦点位置的影响；(2)求离心率的关键是确定含a，b，c的齐次方程，但一定注意e>1这一条件2双曲线中c2a2b2，可得双曲线渐近线的斜率与离心率的关系.抓住双曲线中“六点”“四线”“两三角形”，研究a，b，c，e间相互关系及转化，简化解题过程变式训练3(1)(20xx·全国卷)已知a，b为双曲线e的左，右顶点，点m在e上，abm为等腰三角形，且顶角为120°，则e的离心率为()ab2 cd(2)已知双曲线x21的左顶点为a1，右焦点为f2，p为双曲线右支上一点，则·的最小值为()a2bc1d0(1)d(2)a (1)不妨取点