最新东北师大附属中学高三一轮导学案：直线与圆：圆与圆的位置关系【A】

1、 直线与圆-圆与圆的位置关系(教案)a一、 知识梳理（一）直线与圆的位置关系：1、直线与圆的位置关系的判断：直线与圆的位置关系有三种几何法：（1）d>r相离（2）d=r相切（3）d<r相交代数法：利用直线方程与圆的方程联立方程组求解，通过解的个数来判断：（1）当方程组有2个公共解时（直线与圆有2个交点），直线与圆相交；（2）当方程组有且只有1个公共解时（直线与圆只有1个交点），直线与圆相切；（3）当方程组没有公共解时（直线与圆没有交点），直线与圆相离；即：将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为相切0；相交>0；相离<0。2. 过一点作圆的切线的方程：(1

2、) 过圆外一点的切线：m(x0,y0)为圆外一点,设点斜式方程:y-y0=k(x-x0),利用几何法或代数法,一般解出两个k值 ,如果解出一个k值,则另一条是没有斜率的直线x=x0. (2)过圆上一点的切线方程：圆(xa)2+(yb)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0a)(xa)+(y0b)(yb)= r2 特别地，过圆上一点的切线方程为.3切点弦(1)过c：外一点作c的两条切线，切点分别为，则切点弦所在直线方程为：4. 切线长：若圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，则过圆外一点p(x0,y0)的切线长为 d=（二）、圆与圆的位置关系（1）设两圆与圆， 圆心

3、距1 ；2 ；3 ；4 ；5 ； 外离 外切 相交 内切 内含（2）两圆公共弦所在直线方程圆：， 圆：，则为两相交圆公共弦方程.补充说明：1 若与相切，则表示其中一条公切线方程；2 若与相离，则表示连心线的中垂线方程.（3）圆系问题过两圆：和：交点的圆系方程为（-1）补充：1 上述圆系不包括；2 当时，(若与相切，则表示其中一条公切线方程；若与相离，则表示连心线的中垂线方程；若与相交，表示公共弦的直线方程。)3 过直线与圆交点的圆系方程为二、题型探究：探究一：直线与圆相切问题例1：将直线沿轴向左平移1个单位，所得直线与圆 相切，则实数的值为（ ）（a）3或7 （b）2或8 （c）0或10 （d

4、）1或11【思路点拨】本题考查了平移公式、直线与圆的位置关系，只要正确理解平移公式和直线与圆相切的充要条件就可解决.【正确解答】由题意可知：直线沿轴向左平移1个单位后的直线为：.已知圆的圆心为，半径为.解法1：直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，因而有，得或7.解法2：设切点为，则切点满足，即，代入圆方程整理得：， （*）由直线与圆相切可知，（*）方程只有一个解，因而有，得或7.解法3：由直线与圆相切，可知，因而斜率相乘得1，即，又因为在圆上，满足方程，解得切点为或，又在直线上，解得或7. 探究二：直线与圆有关的最值问题例2：已知直线和圆； （1）时，证明与总相交。 （2）取何值时，

5、被截得弦长最短，求此弦长。例3已知圆c1：x2+y2+2x+2y-8=0与c2：x2+y2-2x+10y-24=0相交于两点。（1）求公共弦所在的直线方程；（2）求圆心在直线上，且经过两点的圆的方程；（3）求经过两点且面积最小的圆的方程。 探究三：直线与圆有关综合题例4：已知实数x、y满足，求的最大值与最小值。解析：表示过点a（0，1）和圆上的动点（x，y）的直线的斜率。当且仅当直线与圆相切时，直线的斜率分别取得最大值和最小值.设切线方程为，即，则，解得。因此，点评：直线知识是解析几何的基础知识，灵活运用直线知识解题具有构思巧妙、直观性强等特点，对启迪思维大有裨益。题型探究四：圆与圆位置关系例

6、5： 讨论两圆的位置关系:已知圆c1：x2 + y2 2mx + 4y + m2 5 = 0，圆c2：x2 + y2 + 2x 2my + m2 3 = 0，m为何值时，（1）圆c1与圆c2相外切； （2）圆c1与圆c2内含.【解析】对于圆c1，圆c2的方程，经配方后c1：(x m)2 + (y + 2)2 = 9，c2：(x + 1)2 + (y m)2 = 4.（1）如果c1与c2外切，则有，所以m2 + 3m 10 = 0，解得m = 2或5.（2）如果c1与c2内含，则有，所以m2 + 3m + 20，得2m1.所以当m = 5或m = 2时，c1与c2外切；当2m1时，c1与c2内含

7、.例6：圆系方程应用:求过直线x + y + 4 = 0与圆x2 + y2 + 4x 2y 4 = 0的交点且与y = x相切的圆的方程.【解析】设所求的圆的方程为x2 + y2 + 4x 2y 4 + (x + y + 4) = 0.联立方程组得：.因为圆与y = x相切，所以=0.即，故所求圆的方程为x2 + y2 + 7x + y + 8 = 0.例7： 两个圆相交的公共弦长及公共弦所在的直线方程的求法求过两圆x2 + y2 + 6x 4 = 与x2 + y2 + 6y 28 = 0的交点，且圆心在直线x y 4 = 0上的圆的方程.【解析】：依题意所求的圆的圆心，在已知圆的圆心的连心线

8、上，又两已知圆的圆心分别为(3，0)和(0，3).则连心线的方程是x + y + 3 = 0.由 解得. 所以所求圆的圆心坐标是.设所求圆的方程是x2 + y2 x + 7y + m = 0由三个圆有同一条公共弦得m = 32.故所求方程是x2 + y2 x + 7y 32 = 0.例8： 已知圆c1：x2 +y2 2x =0和圆c2：x2 +y2 +4 y=0，试判断两圆的位置关系，若相交，则设其交点为a、b，试求出它们的公共弦ab的方程及公共弦长。三、方法提升：直线与圆的位置关系：l ：f1（x ，y）0圆c ：f2（x ，y）0消y 得f（x）0。（1）直线与圆相交：f（x）0中d 0；

9、或圆心到直线距离d r 。直线与圆相交的相关问题：弦长|ab|·|x1 x2|·，或|ab|2；弦中点坐标（，）；弦中点轨迹方程。（2）直线与圆相切：f（x）0中d 0，或d r 其相关问题是切线方程如p（x0 ，y0）是圆x2 y2 r2 上的点，过p 的切线方程为x0x y0y r2 ，其二是圆外点p（x0 ，y0）向圆到两条切线的切线长为或；其三是p（x0 ，y0）为圆x2 y2 r2 外一点引两条切线，有两个切点a ，b ，过a ，b 的直线方程为x0x y0y r2 。（3）直线与圆相离：f（x）0中d 0；或d r ；主要是圆上的点到直线距离d 的最大值与最小值

10、，设q 为圆c ：(x a) 2 (y b) 2 r2 上任一点，|pq|max |pc|r ；|pq|min |pq|r ，是利用图形的几何意义而不是列出距离的解析式求最值（4）圆与圆的位置关系：依平面几何的圆心距|o1o2|与两半径r1 ，r2 的和差关系判定（1）设o1 圆心o1 ，半径r1 ，o2 圆心o2 ，半径r2 则：当r1 r2 |o1o2|时o1 与o2 外切；当|r1 r2|o1o2|时，两圆相切；当|r1 r2|o1o2|r1 r2 时两圆相交；当|r1 r2|o1o2|时两圆内含；当r1 r2 |o1o2|时两圆外离.（2）设o1 ：x2 y2 d1x e1y f1 0

11、，o2 ：x2 y2 d2x e2y f2 0。两圆相交a 、b 两点，其公共弦所在直线方程为（d1 d2）x （e1 e2）y f1 f2 0；经过两圆的交点的圆系方程为x2 y2 d1x e1y f1 l（x2 y2 d2x e2y f2）0（不包括o2 方程）.四、反思感悟 五、课时作业（一）一、选择题1、若为圆的弦ab的中点，则直线ab的方程是( )a. b. c. d. 2、圆和圆的位置关系是（ ）a相切 b相交 c相离 d不确定3、圆2x22y21与直线xsiny10（r，k，kz）的位置关系是（ ）a相交 b相切 c相离 d不确定4、设直线2xy0与y轴的交点为p，点p把圆（x1

12、）2y225的直径分为两段，则其长度之比为（ ）a或 b或 c 或 d 或5、以点为顶点的三角形与圆没有公共点，则圆半径r的取值范围是（ ）a b c d 二、填空题6、直线x2y=0被曲线x2y26x2y15=0所截得的弦长等于_.7、以点(1，2)为圆心，且与直线4x+3y-35=0相切的圆的方程是_.8、集合a（x，y）|x2y2=4，b（x，y）|（x3）2（y4）2=r2，其中r0，若ab中有且仅有一个元素，则r的值是_. 9、一束光线从点a（1，1）出发经x轴反射到圆c：（x2）2（y3）21的最短路程是_.10、已知三角形三边所在直线的方程为y0，x2，xy40，则这个三角形内切

13、圆的方程为_.三、解答题11、求过点（3，1），且与圆相切的直线的方程。12、求经过点a（0，5），且与直线和都相切的圆的方程。13、（1）圆c：x2y2dxeyf0的外部有一点p（x0，y0），求由点p向圆引切线的长度（2）在直线2xy30上求一点p，使由p向圆x2y24x0引得的切线长长度为最小yrxcqpo14、如图，圆c通过不同的三点p（k，o）、q（2， 0）、r（0，1），已知圆c在点p的切线斜率为1，试求圆c的方程课时作业（一）解析1、a 2、b 3、c 4、a 5、a 6、 7、 8、3或7 9、4 10、11、解：设过点（3，1）且与圆相切的直线的方程为，即，由，解得：，即：

14、，由于点（3，1）在圆外，切线有两条，另一条为。12、解：圆心在直线和的交角平分线或上，由于圆过点a（0，5），所以圆心c在，设c，故圆的方程为和。13、解：（1）切点、圆心及点p三点连线可构一个rt，其中切线是一条直角边，利用勾股定理可得切线长。（2）设p（x,y），由（1）结论得切线长s，当且仅当x，即p（,）时，切线长度最小，最小值是.14、解：.设圆c的方程为，由于为方程的两根 即又因为圆过点r（0，1），故1ef=0, e=2k1圆的方程圆心c坐标圆在点p的切线斜率为1 解得所求圆的方程为.课时作业（二）一、选择题1、把直线绕原点逆时针方向旋转，使它与圆相切，则直线转动的最小正角是（

15、 ）a b c d2、如果实数满足等式，那么的最大值是（ ）a b c d3、圆x2y22x4y30上到直线xy10的距离为的点有（ ）a1个 b2个 c3个 d4个4、若过定点且斜率为的直线与圆在第一象限内的部分有交点，则的取值范围是( )a. b. c. d. 5、直线y=2xm和圆 交于a、b两点，以ox轴为始边，oa、ob为终边的角记为、，则sin()等于 （ ）a关于m的一次函数 b c关于m的二次函数 d二、填空题6、圆上的点到直线的距离的最小值为_.7、已知直线交圆于点，为坐标原点，且，则的值为 8、若直线按向量平移后与圆相切，则实数的值为 9、已知两圆和，则它们的公共弦长为 .

16、10、若直线与曲线恰有一个公共点，则的取值范围是_.三、解答题11、由点发出的光线射到轴上，被轴反射，若反射光线所在直线与圆相切，求光线所在直线的方程12、已知圆上的点关于直线的对称点仍在这个圆上，且与直线相交的弦长为，求圆的方程13、已知c：（x1）2(y2)2=25，直线l：（2m1）x（m1）y7m40(mr)（1） 求证：不论m取什么实数时，直线l与圆恒交于两点；（2） 求直线l被圆c截得的线段的最短长度以及这时直线l的方程14、曲线x2y2x6y30上两点p、q满足：（1） 关于直线kxy40对称，（2）opoq，求直线pq的方程课时作业（二）解析：1、b 2、d 3、c 4、a 5、d 6、 7、3 8、-13或-3. 9、. 10、11、解：已知圆关于轴的对称圆方程为，设光线的方程是，由题意，该直线与对称圆相切 解得：直线的方程是或.12、解：设圆心为，由题意得：，解得或，此时或所求圆的方程为或.13、解：（1）将l的方程整理为（xy4）m（2xy7）0因为对于任意实数m，方程都成立， 所以所以对于任