第二章 勒贝格测度

1、第二章第二章 勒贝格测度勒贝格测度一、有界开集和闭集的测度一、有界开集和闭集的测度1.定义定义定义定义2.1 设设G为非空开集，则有结构表示为非空开集，则有结构表示 其中其中 是是G的构成区间。规定的构成区间。规定开集开集G的测度的测度为它为它的一切构成区间长度的和，记为的一切构成区间长度的和，记为mG：,kkkG,kkkkkmG定义定义2.2 设设F为非空闭集，任取一个包含为非空闭集，任取一个包含F的开区间的开区间(a,b)，令，令G(a,b)F ，则，则G为开集，定义为开集，定义闭集闭集F的测度的测度为为 mG mF bamG注：注： F的测度与区间的选择无关的测度与区间的选择无关2.开集

2、测度的性质开集测度的性质定理定理2.1 (i)设设 是两个有界开集且是两个有界开集且 ，则，则12mGmG单调性12,G G12GG(ii)设有界开集设有界开集G 是有限个或可列个开集是有限个或可列个开集 的并，则的并，则kkmGmG半可加性12,G GkG如果如果 等互不相交，则等互不相交，则kkmGmG完全可加性引理引理 设设 均为闭集，均为闭集， 且且 等互不相交，则等互不相交，则12,nF FF,1,2,kkkFkn,kk11nnkkkkmFmF定理定理2.4 设设F为闭集，为闭集，G为开集，且为开集，且 ，则，则M(G-F)mG- mFFG推论推论 设设 是互不相交的闭集，则是互不相

3、交的闭集，则12,nF FF11nnkkkkmFmF二、可测集二、可测集1.内外测度及性质内外测度及性质infGEm EmGE的的外测度外测度定义为一切包含定义为一切包含E的开集的测度的下确界，记为的开集的测度的下确界，记为定义定义2.3 设设E为有界集为有界集E的的内测度内测度定义为一切含于定义为一切含于E中中闭集的测度的上确界，记为闭集的测度的上确界，记为supFEm EmF注：注：1此定义有意义，且此定义有意义，且0,0m Em E 2 m Em E1212123,EEm Em Em Em E若则，单调性12124,EEEm Em Em E若则外测度的半可加性2.可测集可测集定义定义2.

4、4 设设E为为有界集有界集m Em E当时，称称E为为勒贝格可测勒贝格可测的，简称可测的的，简称可测的这时这时E的外测度或内测度称为的外测度或内测度称为E的的测度测度，记为，记为mE注：注：1 开、闭区间，半开半闭区间都是可测集，且测度与区间开、闭区间，半开半闭区间都是可测集，且测度与区间 长度一致；长度一致；2 单点集测度为零；单点集测度为零； 3 开集闭集都是可测集；开集闭集都是可测集； 4 不可测集是存在的；不可测集是存在的； 5 任一集增添一个零测度集不影响其可测性任一集增添一个零测度集不影响其可测性例例2 零测度集零测度集E的任何子集都是可测的，且测度为的任何子集都是可测的，且测度为

5、0例例3 设设 ，E为任意有界集，则为任意有界集，则 与与E的可的可 测性相同；在可测情形，有测性相同；在可测情形，有00mE 0EE0m EEmE后面讨论后面讨论3 可测集的性质可测集的性质1.可测集的充要条件可测集的充要条件2 .可测集的补、并、交、差可测可测集的补、并、交、差可测m GF定理定理3.1有界集有界集E可测的充要条件是：对任给可测的充要条件是：对任给 ，存在开集存在开集 与闭集与闭集 ，使，使GE0EF定理定理3.2 (i)设基本集为设基本集为X=(a,b),若若E可测，则可测，则E关于关于X的补集的补集 也可测；也可测；EC(ii)若若 可测，则可测，则 均可测；均可测；

6、若若 ，则，则12,E E121212,EEEEEE12EE1212m EEmEmE3.测度的单调性测度的单调性定理定理3.3 设设 是两个可测集，是两个可测集， ，则，则12mEmE12,E E12EE4.测度的完全可加性，可测集的可列并、可列交可测测度的完全可加性，可测集的可列并、可列交可测定理定理3.4 (i)设设 ，每个，每个 均可测，则均可测，则E也可测；也可测； 若若 等互不相交，则等互不相交，则1kkEEkE1kkmEmEkE(ii)若若 ，每个，每个 均可测，则均可测，则E也可测也可测1kkEEkE注注：(1) 任何可列集测度为任何可列集测度为0(2) a,b) (a,b a,

7、b (a,b)测度都为测度都为b-a(3)若若 不一定可测，则有外测度的半可加性不一定可测，则有外测度的半可加性kE11kkkkmEm E定理定理3.6 (i) 设设 是基本集是基本集(a,b)中的渐张可测集列，即中的渐张可测集列，即 kE12nEEElimkkmEmE则则 是可测，且是可测，且1kkEE(ii) 设设 是基本集是基本集(a,b)中的渐缩可测集列，即中的渐缩可测集列，即 kE12nEEElimkkmEmE则则 是可测，且是可测，且1kkEE例例1设设E是基本集，其测度为是基本集，其测度为1， 是是E的可测子集列，且对的可测子集列，且对每个每个n， ， 试证试证nE1nmE 11

8、nnmE5.可测集的另一充要条件可测集的另一充要条件引理引理3.1 设设 是是E关于关于(a,b)的补集，则有的补集，则有 ,Ea bECm EmEbaCm AmAEmAEC定理定理3.5有界集有界集E可测的充要条件是：对任何集合可测的充要条件是：对任何集合A，成立，成立注注：(1) 同样有同样有 ，则有，则有 mEm EbaCmEmEm Em ECCE和其补集可测性相同和其补集可测性相同(2)还可得还可得m EbamECE的内测度可由其补集的外测度定义的内测度可由其补集的外测度定义Carathodory条件条件6.可测集的构造可测集的构造定义定义 Borel集集 开集、闭集作至多可列次或并或

9、交的运算得到的集开集、闭集作至多可列次或并或交的运算得到的集G集集 可表示为可列个可表示为可列个开集开集的的交交的集的集集集 可表示为可列个可表示为可列个闭集闭集的的并并的集的集F定理定理3.7 设设E是可测集，则存在是可测集，则存在 集集A和和 集集B ，满足，满足 且且mA= mB= mEGFAEB注注：可测集是与某个：可测集是与某个 集或某个集或某个 集仅相差一个零测度的集集仅相差一个零测度的集GF可测集为可测集为 集与一零测度集的差集与一零测度集的差GF或为或为 集与一零测度集的并集与一零测度集的并 4 关于测度的几点评注关于测度的几点评注一一.无界集的测度无界集的测度lim,mEmE

10、 定义定义 设设E是一维无界集，若它与任何开区间的交是是一维无界集，若它与任何开区间的交是可测的，就称可测的，就称E为为可测的。可测的。它的测度定义为它的测度定义为命题命题4.1 设设 ， 是可测集列是可测集列(有界或无界有界或无界)，则，则E可测；可测； 若若 等互不相交，则等互不相交，则1kkEEkE1kkmEmEkE二二.多维空间点集的测度多维空间点集的测度与一维情形本质相同与一维情形本质相同三三.不可测集的例不可测集的例Volterra利用选择公理作出利用选择公理作出1.勒贝格测度关于平移的不变性勒贝格测度关于平移的不变性设设h为实数，为实数，E为为R的一子集，对于的一子集，对于 ，令

11、，令 为平移为平移变换，变换， ,并令并令xEhT:hTxxhhxT ET x xE称它为称它为E的的h平移变换平移变换2.两个引理两个引理引理引理4.1 设设E是具有正测度的一维点集，数是具有正测度的一维点集，数满足满足01，那么，那么存在开区间存在开区间I，使，使m EImI开区间的开区间的h平移变换后测度保持不变平移变换后测度保持不变开集的开集的h平移变换后测度保持不变平移变换后测度保持不变任意点集任意点集E，Th E的外测度保持不变的外测度保持不变E可测时，可测时，Th E也可测，且也可测，且m(Th E)=mE勒贝格测度关于平移的不变性勒贝格测度关于平移的不变性引理引理4.2 设设E是正测度集，是正测度集， 令令则则(E)包含一个关于原点对称的开区间包含一个关于原点对称的开区间J,Exy x yEBackdrops:- These are full sized backdrops, just scale them up!- Can be Copy-Pasted out of Templates for use anywhere!Title BackdropSlide BackdropPrint BAdditional Graphics:- Scale them