学思想方法在中学教学中的渗透渗透

1、浅谈数学思想方法在初中教学中的渗透摘 要 数学思想方法只是蕴涵在数学知识的体系之中，没有明确的揭示和总结。我们在平时数学教学活动中，应重视数学思想的方法教学，应将数学思想方法的教学寓于数学知识的教学之中。关键词 意义理论依据数学方法渗透思想方法就是客观存在反映在人的意识中，经过思维活动而产生的结果，它是从大量的思维 活动中获得的产物，经过反复提炼和实践，一再被证明为正确、可以反复被应用到新的思维活动 中，并产生出新的结果。数学思想方法，就是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识 中，经过思维活动而产生的结果，它是对数学事实与数学理论（概念、定理、公式、法则等）的 本质认识。所以，数学思想

2、是对数学知识的本质认识，是对数学规律的理性认识，是从某些具体 的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它在认识活动中被反复运用，带有普遍 的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想。数学方法是指从数学角度提出问题、解 决问题（包括数学内部问题和实际问题）的过程中所采用的各种方式、手段、途径等。一数学思想方法教学的意义美国心理学家布鲁纳认为“不论我们选择教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构” 。学习结构就是学习事物是怎样相互关联的。数学思想与方法为数学学科的一般原理的重要组 成部分.数学思想、方法教学具有重要的意义.第一，“懂得基本原理使得学科更容易理解” o 当学生掌握了

3、一些数学思想、方法，再去学习相关的数学知识，就属于下位学习了。下位学习所 学知识“具有足够的稳定性，有利于牢固地固定新学习的意义” o学生学习了数学思想、方法就 能够更好地理解和掌握数学内容。第二，有利于记忆。“学习基本原理的目的，就在于保证记忆 的丧失不是全部丧失，而遗留下来的东西将使我们在需要的时候得以把一件件事情重新构思起 来”。对于中学生“不管他们将来从事什么业务工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神、 数学的思维方法、研究方法，却随时随地发生作用，使他们受益终生”。第三，学习基本原理 有利于“原理和态度的迁移”。美国心理学家贾德通过实验证明，“学习迁移的发生应有一个先 决条件，就是

4、学生需先掌握原理，形成类比，才能迁移到具体的类似学习中”。学生学习数学 思想、方法有利于实现学习迁移，特别是原理和态度的迁移，从而可以较快地提高学习质量和数 学能力。由此可见，数学思想、方法作为数学学科的“一般原理”，在数学学习中是至关重要的。二 初中数学教学中渗透数学思想方法的理论依据数学知识只是数学的躯体，而数学思想方法才是数学的灵魂。数学学习中，知识的学习固 然很重要，但更引起我们重视的是对数学思想方法的学习。古往今来，数学思想方法不计其数, 每一种数学思想方法都闪烁着人类智慧的火花。因此，数学课堂教学中有选择地渗透一些数学思 想方法是很有必要的，这主要体现在以下几个方面：1学生的心理发

5、展规律心理学研究表明，个体的心理发展具有阶段性。根据这一特点，在心理学中把婴儿、青少 年的思维发展划分为四个阶段：动作思维（03岁）、形象思维（37岁）、形式思维（713岁）、 辩证思维（1319岁）；初中学生的思维发展正处在一个由形式思维为主向辩证思维过渡的关键 阶段。在认知心理学里，思想方法属于原认知范畴，它对认知活动起着监控、调节的作用，对 培养辨证思维能力起着决定性的作用。因此，课堂教学中对学生渗透一些基本的数学思想方法, 有利于提高学生的原认知水平，培养学生辨证分析问题和解决问题能力，促进学生的思维由形式 思维向辩证思维的发展。2新教材的编排结构新一轮的数学课程改革，并不是仅仅是“换

6、本子，数学新课程与原教材中主要采取“定义 定理（公式）一一例题一一习题”的形式不同，新标准提倡以“问题情境一一建立模型 解释、应用与拓展”的基本模式呈现知识内容，让学生经历“数学化”与“再创造”的过程, 形成自己对数学概念的理解，在教材内容的编排上也呈现螺旋上升，体现出“知识是载体，方法 是主线”的编排结构。因此，教学中应通过适当的数学思想方法，引导学生对所学知识进行合理 编排和二度整合，进一步理顺教材中的知识结构，揭示各知识点之间的内在联系，形成学习过程 中的知识链、技能链、思想链，为学生运用知识解决实际问题奠定基础。3教学的根本任务新的数学课程标准要求从原大纲中以获取数学知识、技能和能力为

7、首要目标，转变为首先 关注每一个学生的情感、态度、价值观和一般能力的发展，使学生体会数学与自然及人类社会的 密切联系，了解数学的价值，促进数学思维，增强对数学的理解和应用数学的能力。在数学新课 程标准的理念下进行教学创新，就应该从学生的生活经验和已有知识背景出发，向他们提供充分 的从事数学活动和交流的机会，不断培养学生的思维能力，全面提高学生的思维素质。思维素质 中最积极、最活跃的因素又是思想方法，要促进学生的思维发展，不仅要让学生掌握一些必要的 基础知识，更要让学生掌握获取知识的方法。例如七年级数学新教材每章中所安排的“综合实践 活动”这种新的学习形式，通过学生的自主探索与合作交流，使他们获

8、得综合运用数学知识和方 法解决实际问题、探索数学规律的能力，逐步发展对数学的整体认识，促进了学生整体素质的提rwjo4教育的发展趋势二十一世纪是人类知识大爆炸的时代，随着计算机信息技术的快速发展，知识正在以几何 级数增长，人类已无法用传统的方式去掌握这些知识，这就使世界的教育呈现出一种由掌握知识 转变为掌握思想方法的发展趋势，在这种形式下，我国的教育就必须像邓小平同志所说那样“教 育要面向现代化，面向世界，面向未来。”才能成为世界强国。因此，课堂教学中对学生渗透一 些基本的数学思想方法，这既是交给学生一把打开知识宝库大门的金钥匙，又为学生今后走上社 会提供了必要的生存工具。三初中常见的一些数学

9、思想方法在解题过程中常见的数学思想方法有：转化思想方法、方程思想方法、整体思想方法、分类 讨论思想方法、数形结合思想方法等。解题的价值不是答案的本身，而在于弄清楚是怎样用到这 个解法的，是什么促使你这样想的，这实际就是数学思想问题，只有学生掌握了数学思想方法, 才能从本质上认识数学，掌握数学通行、通法、优化思维的品质提高解题能力。1 转化思想方法转化思想方法是解数学题的一种常见的、重要的策略方法，它蕴含着极其丰富的内容，如新 旧知识间的转化，互逆运算间的转化，未知向已知的转化，特殊与一般的转化，静动之间的转化 等等。转化思想的解题过程实际是一系列转化的过程，为了探求问题的解决途径，往往要改变问

10、 题的形式，从而揭示出未知与己知的内在联系，使问题易于解决。掌握转化思想，有助于新知识 的领会和掌握，有助于提高解题能力，有助于培养和发展思维能力。在解决数学问题中，运用转 化思想可以化繁为简，把握解题的关键，突破解题的难点，探明解题的方法，从而提高解决问题 的能力。例1已知。+。一1=3,求z4+6z-4的值分析：要求f+oy,易想到先求出。的值，再将。代入f+it求值，但这样计算太麻烦。经 观察，可通过将结论6?+/转化成(q + qt)2_2-2,便可轻松求解。解：由结论逆向条件转化"4 +广=(/2)2 _2"2 ."-2= (q + /)2 -2-2 =

11、(32 _2)2 _2= 49 2=472 方程思想方法方程思想，是指所研究的教学问题的已知量与未知量之间的数量关系转化为方程组，从而使 得问题解决，许多同学在学习中往往见到了方程才想到用方程的思想来解决，而事实上，许多题 目表面上看是非方程的问题，有的甚至是几何问题，运用方程的思想来求解，使问题得到解决。例2若间和腿+ b是同类根式,求。、人的值。分析：已知条件中，没有方程，由同类根式的定义构造出关于0、力的方程组，求出方程组的解 便是问题解决。解：由同类根式的定义得ra+b-23a + b = 4b解得 ci = l,b = l整体思想方法从整体上去认识问题思考问题，常常能化繁为简，变难为

12、易，同时又能培养思维的灵活性、 敏捷性。对于某些数学问题，若从局部着手，求出“个体”可能比较困难，有时甚至不可能，但 当从整体考虑，避开求“个体”，把整体代入，可能会使计算容易进行，达到捷足先登的效果。 例3已知x2+5x + 1 = 0,求x2+-的值。分析：欲求亍+二，最易想到先求的尤值，但这样计算十分冗繁，如从整体上考虑，将亍+-l1 91化成(x + -) -2,再由己知条件，设法求工+ 的值，便可轻松求解。xxx h = 5,x2 + = (-5)2 -2 = 23例4如图1,在高2米，坡度30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要米。分析：本题如果按一般思维求解，需要分别

13、求出每一段台阶所需地毯的长度(水平部分长度+垂 直部分长度)，然后乘以台阶的级数，但是，每一级台阶的宽和高都是未知的，所以我们无法求 得每级台阶所需地毯的长度。这时就需要我们变换角度来进行思考。在此，尽管每级台阶的宽和 高都是未知的，但是台阶整体的竖直高度ac和坡度都是己知的，水平宽度bc也是可求的，所以 我们可以将这一问题从整体的角度来考虑。ab(1)如图1 (2)所示，我们可以通过添加辅助线将每级台阶的高平移到ac上，即得各级台阶的 高之和为ac长，同样可得各级台阶的宽之和为bc长。最终所需的碳的总长度等于各级台阶的水 平宽度和竖直高度之总和为(2占+ 2)米。4 分类讨论思想方法从通常意

14、义上说，分类就是按照一定的标准，把研究对象分成若干部分。分类思想，是根据 本质属性的相同点和不同点，把问题按一定标准不重复、不遗漏地区分为不同种类，然后分类进 行研究，使问题在各种不同情况下分别得到各种方法。分类是以比较为基础，它能揭示数学对象 之间的规律，是分析问题和解决问题的一种重要的思想方法。分类讨论是数学能力培养的一个重 要部分，要帮助学生掌握分类思想与方法，培养周密的思维品质和综合分析能力。这类数学问题 可考查学生思维的条理性、慎密性、灵活性。例5两圆的半径分别为4和2,如果它们有两条公切线互相垂直，求这两圆的连心线的长，并画出两圆的位置图。分析：本题中两圆的位置关系具有不确定性，其

15、中的分类点应根据互相垂直的两条公切线位置关 系来分类，显然有三种可能：一是两条内公切线；二是两条外公切线；三是一条外公切线和一条 内公切线。因此，应分三种情况进行讨论。略解当两圆的两条内公切线互相垂直时，（如图1）,可求得0。2=6扼；当两圆的两条外公切线互相垂直时，（如图2）,可求得。2=2；当两圆的一条外公切线和一条内公切线互相垂直时，（如图3）,可求得0。2=2面。图1图2图35数形结合思想方法数形结合思想是把数式与图形结合起来，用代数方法分析图形，用图形直观表示数、式中的 关系。有许多数学问题是数与形的有机结合，数有形是很直观、见细微的两大柱石，一方面它是 图形性质通过数量计算准确地表

16、示出来，此为以数助形，另一方面可使抽象的数量关系，通过图 形直观的表现出来，此为以形助数，从而达到化难为易，化抽象为直观的目的。数形结合的思想 是解决问题的重要方法，在教学中引导学生注意“数”与“形”的结合，使抽象思维与形象思维 结合起来，通过对图形的处理，发挥直观对抽象的支柱作用。因此，灵活运用数形结合进行解题, 往往是行之有效的方法。例6解方程：x+1 + x 1 =4o 分析：初看这是一道纯代数题，通常的解法是分段定出的取值范围，分类讨论绝对值符号再解, 但这样较费时费劲。若利用绝对值的几何意义，则可快捷求出解来。解：如图，画数轴，设a （-1）, b （1）,由绝对值的几何意义，求这个

17、方程的解即是在数轴上找到与点a、b的距离和为4的点。若设所求的点为af(x),因为ab=2,则点a/(x)的位置只能在点a的左边或点b的右边，易得m,(-2)9m2(2) oab_iiiiii>所以，原方程的解为为=2,心=2.-2-1012例7如图1,工地上竖立着两根电线杆ab、cd,它们相距15/n,分别自两杆上高出地面4m、6m的a、c处，向两侧地面上的e、d、b、f点处用钢丝绳拉紧，那么钢丝绳ad与bc的交点p 离地面的高度为多少？ 解：如图2,分别以bd、ab所在直线为轴轴建立平面直角坐标系，则a、b、c、d四点坐标分别 为：a (0, 4)、b (0, 0)、c (15, 6

18、)、d (15, 0)。2 于是，直线bc解析式为：y = x54直线ad解析式为：y = x + 4152厂=-工的交点坐标为p (6, 2.4),因此点p到地面高度为2.4m o解方程组5l 4/jy =x + 415yb d f (b) 0 m d x图1图2“数”与“形”的互相转化是中学数学学习与研究、运用广泛、意义深刻的一种思维方法， 某些代数问题有明显的几何意义，则转化为几何图形，适当运用几何方法，以“形”研究“数”, 会使问题直观形象，解法简捷灵活。四 初中教学中如何加强数学思想方法的渗透数学思想方法与数学知识相比，前者呈“隐性”，后者呈“显性”。但是，很多知识的有效性是短暂的，

19、思想的有效性却是长期的，能使人“受益终生”。正如数学家乔治波利亚所说:“完善的思想方法犹如北极星，许多人通过它而找到正确的道路”。因此，就数学教学而言，“知 识诚可贵，思想价更高” o那么在数学教学如何对学生进行思想方法的渗透呢？ 1提高渗透的自觉性数学概念、法则、公式、性质等知识都明显地写在教材中，是有“形”的，而数学思想方法 却隐含在数学知识体系里，是无“形”的，并且不成体系地散见于教材各章节中。教师讲不讲, 讲多讲少，随意性较大，常常因教学时间紧而将它作为一个“软任务”挤掉。对于学生的要求是 能领会多少算多少。因此，作为教师首先要更新观念，从思想上不断提高对渗透数学思想方法重 要性的认识

20、，把掌握数学知识和渗透数学思想方法同时纳入教学目的，把数学思想方法教学的要 求融入备课环节。其次要深入钻研教材，努力挖掘教材中可以进行数学思想方法渗透的各种因素, 对于每一章、每一节，都要考虑如何结合具体内容进行数学思想方法渗透，渗透哪些数学思想方 法，怎么渗透，渗透到什么程度，应有一个总体设计，提出不同阶段的具体教学要求。把握渗透的可行性数学思想方法的教学必须通过具体的教学过程加以实现。因此，必须把握好教学过程中进行 数学思想方法教学的契机一一概念形成的过程，结论推导的过程，方法思考的过程，思路探索的 过程，规律揭示的过程等。同时，进行数学思想方法的教学要注意有机结合、自然渗透，要有 意识地

21、潜移默化地启发学生领悟蕴含于数学知识之中的种种数学思想方法，切忌生搬硬套、和盘 托出、脱离实际等适得其反的做法。3 注重渗透的反复性数学思想方法是在启发学生思维过程中逐步积累和形成的。为此，在教学中，首先要特别强 调解决问题以后的“反思”，因为在这个过程中提炼出来的数学思想方法，对学生来说才是易于 体会、易于接受的。其次要注意渗透的长期性，应该看到，对学生数学思想方法的渗透不是一朝 一夕就能见到学生数学能力提高的，而是有一个过程。数学思想方法必须经过循序渐进和反复训 练，才能使学生真正地有所领悟。4 贯彻渗透的明确性在中学数学各科教材中，数学思想方法的内容显得薄弱，除了一些具体的数学方法比较明确 外，一些重要的数学思想方法都没有比较明确和系统的阐述，而它们一直蕴含在基础知识的教学 之中。从数学思想方法教学的整个过程来看，只是长期、反复、不明确的渗透，将会影响学生认 识从感性到理性的飞跃，妨碍了学生有意识地去掌握和领会。渗透性和明确性是数学思想方法教 学辩证的两个方面。因此，在反复渗透的教学过程