线性代数复习资料

1、1n 阶行列式的值为 (-1)n-1 a1a2an n0000000000000000121 nnaaaa2 设行列式 D=，则 D 的值为 261232222313 设行列式，则 k 的取值为-3011302121k4 设行列式 D=，则 D 的值为-181322133215 设 A、B、C 为均为 n 阶可逆矩阵，且 ABCE，则下列结论成立的是AACBE BBACE CCBA E DBCAE6 设 A、B 为同阶方阵，下列等式中恒正确的是TTTBABA7 设 A 与 B 是两个相似 n 阶矩阵，则下列说法错误的是E-A=E-B8 设 A、B 为 n 阶方阵，满足 A2=B2，则必有|A|

2、2=|B|29 初等方阵都可逆 10 是矩阵可逆10010111011 若，且，则 = ），（3201），（3214032），（3231212 若，则=），（312），（631），（412 32），（2012113 设为 3 阶方阵，且，则27 A1A12AA14 设 A、B 均为 n 阶矩阵，且 A 可逆，有 AB=0，则 B=015 设 A=，则 R（A）=311001020a13116 向量组 1，2，s，(s2)线性无关1，2，s中任意一个向量均不能由其余 s-1 个向量线性表示17 已知 3 阶矩阵 A 的特征值为 1、-1、2，则矩阵 A2+2E 的特征值为 3、3、618 设 m

3、n 矩阵 A 的秩为 n-1，且1，2是齐次线性方程组 Ax=0 的两个不同的解，则 Ax=0 的通解为 k(1-2),kR19 齐次线性方程组有非零解系数矩阵中必有一个列向量可由其0Ax A余列向量线性表出20 设是的解，是的解，则是的解12,x x0Ax 12,y yAxb12xx0Ax 21 向量组的秩为向量组线性无关 12,r r 22=（0，1，1）与=（1，1，-1）正交423 设矩阵 A=，则 A 中存在一个 3 阶子式不为零10002310010124 设 3 元线性方程组 Ax=b,A 的秩为 2，为方程组的解，123+=（2，0，4）T，+=（1，-2，1）T，则对任意常数

4、 k，方程组 Ax=b1213的通解为 (1,0,2)T+k(1,2,3)T25 设-2 是 3 阶方阵 A 的一个特征值，则 A2必有一个特征值为 426 n 阶方阵 A、B 相似存在可逆矩阵 P，使 P-1AP=B 27 是初等矩阵10101000128 对任意 n 阶方阵 A，B，总有BAAB 29 矩阵 A 的属于不同特征值的特征向量线性无关 30 设 n 阶方阵 A，且A0，则(A*)-1=A|A|131 向量组的秩为 r，且 rs线性无关s21,s21,32 矩阵 A=的秩为 350004320010133 二次型=的秩为 4），（，4321xxxxf4324232221xx2xx

5、xx34 设 3 元非齐次线性方程组Ax=bAx=b的两个解为=（1，0，2）T，=（1，-1，3）T，且系数矩阵A A的秩 r(A A)=2，则对于任意常数k, k1, k2, 方程组的通解可表为 (1,0,2)T+k (0,1,-1)T39 设 A 是 n 阶正定矩阵，则二次型xAxT)(A.是不定的 B.是负定的C.当 n 为偶数时是正定D.当 n 为奇数时是正定的40 已知矩阵 A 与对角矩阵 D=相似，则 A2=E 1000100011 行列式=-100010010100001002 设，则6321A111BBAT3 若则 k=1, 0111k4 A 是 n 阶方阵，且|A|=3，A

6、*是 A 的伴随矩阵，则=*A13n5 若 n 阶方阵 A 与 B 相似，且|A|=2，则|BA|=46 A=（3，1，0） ，B=，则 AB=530412237 若 3 阶矩阵有特征值 1，2，3，则0A EA38 设矩阵 A=，则行列式|ATA|=443219 设 3 阶方阵 A=，其中（i=1, 2, 3）为 A 的列向量，且|A|=3，则321,i|B|=|=33221,10 已知 3 阶矩阵 A 的特征值为 1，2，-3，则|A-1|= 1611 ，5， 是矩阵的特征值，则=21120222023A12 A2+2A0，则 A 的特征值为 0 或-2矩阵 A=，若齐次线性方程组 Ax=

7、0 有非零解，则数 t=254332221t13 已知方程组有非零解，则023062121xxxx314 设方程组有非零解，则数 k =402022121kxxxx15 方程的通解是1321xxx12111100010kk 12其中k , k 为任意实数16 设，则1021A1A120117 设 3 阶方阵 A=，其中（i=1, 2, 3）为 A 的列向量，且|A|=2，则321,i|B|=|=23221,318 若为矩阵，且有一个三阶子式不等于 0，则3A43A AR19 设向量=（1,2,-1）,=(3,2,1), 和的内积为 6121120 向量) 1 , 2 , 1,(),1 , 2

8、, 3(tt 1,5t 正交则21 向量组2的秩为)2 , 1, 1 , 0(),0 , 1 , 0 , 1 (),2 , 0 , 1 , 1 (321 22 在基下的坐标是），（312 ），），（，），（，（1000100012, 1,323 已知1-52+23=，其中1=（3，4，-1） ，2=（1，0，3） ，=（0，2，-4） ，则=31, 1,624 设矩阵 A=，则二次型520221011AxxT22212312232524xxxx xx x25 设为三阶方阵，则-8A1A A226 已知 3 阶矩阵 A 的 3 个特征值为 1，2，-3，则|A*|=3627 已知 A2+2A3E

9、0，则 A 的特征值为-3 或 129 设 A 为 5 阶方阵，若秩（A）=3，则齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系中包含的解向量的个数是 230 设矩阵 A=，矩阵 B=A-E，则矩阵 B 的秩 r(B)=210002010131 与矩阵 A A=对应的二次型是00100010121132xx x37 设 3 阶方阵 A 的秩为 2，矩阵，若矩阵，100001010P101010001QPAQB 则秩(B B)=239 已知向量，与的内积为 2，则数 k=0T3012），（Tk121），（ 40 设向量组1=（1，2，3） ，2=（4，5，6） ，3=（3，3，3）与向量组1，2，3等价，

10、则向量组1，2，3的秩为 2计算题1 已知,求：300011023A 1A 3001003001000110100110100230010010213001001001 30001003101003100102100102111 300031021A2 已知,求500031021A 1A *151001 5001055*01101015023AAAAA3 A=,求 A.10111112313211001010011001 21 1 21110100100110100111010010121300011 211 211 21 1 20111 211 2A4 设 A=，B=求.1111111114

11、1213112122BA 221135931111 106311111117AB 22480011781218AB5 已知，且满足,求矩阵 B2699025002AEABBA2 即EABBA22AEABBBAE3005309963B6 若 A=， B=，矩阵 X 满足 XA=B，求解 X.24136251 1XBA12111*432AAA152197126431082X7 设，求.34)(2xxxf4312A3234)(EAAAf3234)(EAAAf=1111( )(3 )()3331f AAEAE22668求矩阵的秩。131411113211123020111102011020110203

12、21110515105151231110515100000141310515000000 2r A9设矩阵A=，问a为何值时，秩（A）=1.a363124843121 A 121312134841200003630009aa( )1909R Aaa 10设，求A的特征值与其对应的特征向量。400031013A 2400031(4) (2)0013EA即即的特征值为的特征值为1224A当当2 时100011000EA-200（）= 0-1-10-1-1101 1T时000011000EA000（）= 01-10-112310001 1TT11 求以下方阵的特征值与特征向量. 624232426解

13、答见教材解答见教材12已知是矩阵的特征向量，求参数k和所对应的特征(1, ,1)Tk 211121112A 值。=0=0211(11)12111112TTEAkk2101210120kkkk 有有: :1114k2221k 13 已知 12 是 A=的一个特征值，求 a 及矩阵 A 的全部特征值.4a417414754111211212451451099480590591199(4)0459EAaaaaaa 2123741330471471444444110100(3)471(3)411444484(3) (12)0312EA14 已知，且满足,求矩阵 B.213031002AEABBA222

14、()()()313041003ABABEAEABBAEAEAE BBAE15 计算行列式的值3351110243152113D510151151144022 22123104020116611706601D 16 计算行列式3110114002304521原式- - -17 计算行列式 D= .xaaaaxaaaaxaaaax311111111000330000003axaaxaxaxaaaxaxaaaaxxaxaxa18 计算行列式的值111111111111xxDxx31111111(3)(3)(1)111111xDxxxxx19 求下列向量组的一个极大无关组，并将其余向量表示为该极大线性

15、无关组的线性组合. ，T11111），（T24321），（T316941），（T413731），（412311111111111112430132013213970154001114161301760000100101010011.20 利用施密特正交化方法，将下列向量组化为正交的单位向量组：1=， 2=. T0011），（T0101），（ 12121 10011110101 1001022211 1016 1120221已知向量组，T) 1 , 2, 0 , 1 (1，T) 1, 0 , 1 , 3(2T)3, 4 , 1 , 1 (3T)3 ,10, 0 , 3(4求向量组的一个最大线性无

16、关组。1234131313130110011020410022161133044013 13131301100110011800070110是一个最大线性无关组是一个最大线性无关组12422 设向量组，求向量T4T3T2T12171102285203211），（，），（，），（，），（组的秩和一个极大线性无关组.23已知方程组，23213213211xxxxxxxxx问：（1）为何值时方程组有唯一解？（2）为何值时方程组无解？（3）为何值时方程组有无穷个解?。A 当当时时A 222111101101101110021（）可知当（）可知当时，时， 方程解唯一方程解唯一2 3r A 即当即当且且时

17、方程解唯一时方程解唯一12 （）当（）当时，时，方程无解方程无解2 23r Ar A即当即当时方程无解时方程无解2 （）当（）当时时A 1 1 1 1方程有无穷解方程有无穷解24 求齐次线性方程组的一个基础解系.017303705432143214321xxxxxxxxxxxx15111511106111713011201123 17110000A1261 1011201或25 求线性方程组的通解。3221432132321XXXXXXXXA114111411031011201120112112302240000可知基础解系：可知基础解系： 特解：特解： 通解：通解：，其，其31 1T120T

18、Xk中中为任意实数为任意实数k27 已知，判断能否对角化？并写出的相似对角矩阵。 211110101AAA101101011111112012EA10110111111 012(1)(3)0012012 得：得：1230,1,3当当时，时，101( 11 1)T 当当时，时，212(110)T当当时，时，333(1 12)T可知可知: : 其中其中 1P AP 123P013 28 已知相似于, 求和 11322002xA yB21xy 2(2)Ax 2By 由题意可知由题意可知：24211xyxy 得得 20 xy29 已知，求2211AnA1211(3)02203EA 当时,011112200EA11 1 当时,321212100EA212 其中其中 1P AP 12P03 也即也即111111110211123113332 32 3nnnnnnnAP PAPP 30 已知，求，2111n1 1 1 23 =1211339922661818nnnn332 32 3nnnn3n112231 在中求与都正交的向量.3R），（），（11111121令与正交123xxx），（），（11111121由题意可知:12312300 xxxxxx方程的系数矩阵11 1110111001A得基础解系 通解为:1 10k故