2019年北京市高考数学(理)试题(解析版)

1、2019年北京市高考数学（理）试题一、单选题1 已知复数z=2+i ，则 z zA3B5C 3D 5【答案】D【解析】题先求得z ，然后根据复数的乘法运算法则即得.【详解】z 2 i, z z (2 i)(2 i) 5 故选 D.本容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查2执行如图所示的程序框图，输出的s值为第 25 页 共 17 页D 4A 1B 2C 3【答案】B【解析】根据程序框图中的条件逐次运算即可.【详解】2 12运行第一次，k=1 ， s 2 12 ，3122运行第二次，k 2 ， s 2 22 ，322运行第三次，k 3 ， s 2 22 ，322A5BCD5结束循环，输出s=

2、2 ，故选 B.【点睛】本题考查程序框图，属于容易题，注重基础知识、基本运算能力的考查.x 1 3t,y 2 4t3已知直线l 的参数方程为（ t 为参数） ，则点（1,0）到直线l 的距离【答案】D【解析】 首先将参数方程化为直角坐标方程，然后利用点到直线距离公式求解距离即可【详解】直线 l 的普通方程为4 x 1 3 y 20 ,即 4x 3y 2 0 ,点1,0 到直线 l 的距离|4 0 2| 6d 22, 故选 D.42 325【点睛】本题考查直线参数方程与普通方程的转化,点到直线的距离,属于容易题,注重基础知识?基本运算能力的考查.x2 y214已知椭圆x y 1 （ a>

3、b> 0）的离心率为，则a2b22A a2=2b2B 3a2=4b2C a=2bD 3a=4b【答案】B【解析】由题意利用离心率的定义和a, b, c的关系可得满足题意的等式.【详解】椭圆的离心率e c,c2 a2 b2 ,化简得3a2 4b2 ,故选 B.【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识?基本运算能力的考查5若x， y满足 | x | 1 y，且y -1，则3x+y的最大值为A -7BC 5D 7C首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定其最值即可1y, 作出可行域如图阴影部分所示.y1 x 1 y设 z 3x y,y z 3x,当直线 l0 :

4、 y z 3x经过点 2, 1 时 , z取最大值5.故选 C.【点睛】本题是简单线性规划问题的基本题型,根据“画 ?移 ?解 ”等步骤可得解.题目难度不大题,注重了基础知识?基本技能的考查.6在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足5 E1m2 m1lg 1 ， 其中星等为m1 的星的亮度为E2（ k=1,2） .已知太阳的星等是 26.7，2E2天狼星的星等是 1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为A 1010.1B 10.1C lg10.1D 10 10.1【答案】D【解析】先求出 lg E1 ，然后将对数式换为指数式求E1 ， 再求 E1 .E2E2 E

5、2【详解】5E1两颗星的星等与亮度满足m2m1 lg 1 ,2E2令 m21.45 ， m126.7E221g 1 m2 m1( 1.45 26.7) 10.1 ，E255E11010.1 E210 10.1 ，E2E1，故选 D.【点睛】考查考生的数学应用意识、信息处理能力、阅读理解能力以及指数对数运算.7设点A， B， C 不共线，则“ AB 与 AC 的夹角为锐角”是 “| AB AC | | BC | ”的A 充分而不必要条件B必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】 由题意结合向量的减法公式和向量的运算法则考查充分性和必要性是否成立即可.【详解】 A

6、?B?C 三点不共线,| AB + AC |>| BC |AB + AC |>| AB -AC |AB+ AC |2>| AB -AC|2AB?AC>0 AB 与 AC的夹角为锐角.故 “ AB 与 AC 的夹角为锐角”是 “| AB + AC |>| BC | ”的充分必要条件,故选 C.【点睛】本题考查充要条件的概念与判断?平面向量的模?夹角与数量积,同时考查了转化与化归数学思想.228数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C： x2 y2 1 | x| y就是其中之一(如图).给出下列三个结论：曲线 C 恰好经过6 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；曲

7、线 C 上任意一点到原点的距离都不超过2 ；曲线 C 所围成的“心形 ”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是ABCD 【答案】C【解析】将所给方程进行等价变形确定x 的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.|x| 2223x 3x 2,1 厔 0,x244【详解】2222x y 1 xy得 ,y xy 1 x22所以 x可为的整数有0,-1,1,从而曲线C :x y 1 x y恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1) 六个整点,结论 正确 .22x

8、y 1 xy得22,x2y2, 1 x y ,解得x2 y2 2 ,所以曲线C 上任意一点2到原点的距离都不超过2 . 结论 正确 .如图所示,易知A 0, 1 , B 1,0 ,C 1,1, ,D 0,1 ,13四边形 ABCD 的面积SABCD1 1 1 1,很明显 “心形 ”区域的面积大于222SABCD ,即 “心形 ”区域的面积大于3,说法 错误 .故选 C.【点睛】本题考查曲线与方程?曲线的几何性质，基本不等式及其应用,属于难题,注重基础知识?基本运算能力及分析问题解决问题的能力考查,渗透“美育思想”.二、填空题9函数f(x)=sin22x的最小正周期是 【答案】.2【解析】将所给

9、的函数利用降幂公式进行恒等变形，然后求解其最小正周期即可.【详解】函数 f x sin22x 1 cos4x ,周期为22【点睛】本题主要考查二倍角的三角函数公式?三角函数的最小正周期公式，属于基础题.10设等差数列an的前n 项和为Sn，若a2=-3 ， S5=-10 ，则a 5=， Sn的最小值为 【答案】0.-10.【解析】首先确定公差,然后由通项公式可得a5的值，进一步研究数列中正项?负项的变化规律,得到和的最小值.【详解】等差数列an中 ,S55a310 ,得a32,a23,公差d a3 a2 1 , a5 a3 2d 0 ,an 的性质得n 5时 , an0, n 6 时 ,an

10、大于0,所以Sn的最小值为S4或S5,即为10 .【点睛】本题考查等差数列的通项公式?求和公式?等差数列的性质,难度不大,注重重要知识?基础知识?基本运算能力的考查.11 某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为【答案】40.【解析】画出三视图对应的几何体，应用割补法求几何体的体积【详解】在正方体中还原该几何体，如图所示几何体的体积V=4 3- 1 （ 2+4） ×2×4=402【点睛】易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算12 已知l ， m 是平面外的两

11、条不同直线给出下列三个论断： l m；m； l以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：【答案】如果 l ， m ，则l m.【解析】将所给论断，分别作为条件、结论加以分析.【详解】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：（1）如果l，m，则lm.正确；（2）如果l，lm，则m. 不正确，有可能m 在平面 内；（ 3）如果l m， m ，则 l . 不正确，有可能l 与 斜交、 l .【点睛】本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力.13设函数f（x）=ex+ ae- x（a 为常数） 若f（x）为奇函数，则a=；若f（x）是 R

12、上的增函数，则a 的取值范围是【答案】-1;,0 .【解析】首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式，据此可得a 的值，然后利用导函数的解析式可得a 的取值范围.【详解】若函数 f xex ae x为奇函数 ,则 f x f x ,e x aex ex ae x ，a 1 ex e x 0对任意的x恒成立 .若函数fx exae x是 R上的增函数,则f ' x exae x 0恒成立 ,ae2x,a 0 .即实数a 的取值范围是,0【点睛】本题考查函数的奇偶性?单调性?利用单调性确定参数的范围.解答过程中,需利用转化与化归思想,转化成恒成立问题.注重重点知识?基础知识?基本运算能力的考

13、查.14 李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、 桃，价格依次为60 元 /盒、65 元 /盒、80 元 /盒、90 元 /盒为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元， 顾客就少付x元 每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80% 当 x=10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各1 盒，需要支付元；在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为【答案】130.15.【解析】 （ 1）将购买的草莓和西瓜加钱与120 进行比较，再根据促销规则可的结果；（ 2）根据y< 120 、 y 120 分

14、别探究.【详解】（ 1） x=10，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付（60+80） -10=130 元 .（ 2）设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元，y< 120 元时，李明得到的金额为y× 80%，符合要求.y 120 元时，有（y-x） × 80%y×70%成立，即8（y-x）7y，xy ，即x（ y ）min=15 元.88所以 x 的最大值为15.【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质、数学的应用意识、数学式子变形与运算求解能力，有一定难度.三、解答题115 在 ABC 中， a=3， b- c=2， cosB= 2（）求b， c 的值；（

15、）求sin（ B C）的值a3【答案】（ ） b 7 ；c5（ ） 2 3.【解析】（ ）由题意列出关于a,b,c 的方程组，求解方程组即可确定b,c 的值；（ ） 由题意结合正弦定理和两角和差正余弦公式可得sin B C 的值 .222 acb cosB2ac( ) 由题意可得：b c 2a312，解得：a3b 7.c5( ) 由同角三角函数基本关系可得：sin B1 cos2 B 3 ，2b ccsin B 5 3结合正弦定理可得： sin C，sinB sinCb 14很明显角C 为锐角，故cosC 1 sin2 C 11 ，142故 sin B C sin B cosC cosBsin

16、 C 3 .本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角和差正余弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16 如图，在四棱锥P ABCD 中，PA平面ABCD，ADCD，ADBC，PA=AD=CD=2，PF 1BC =3 E 为 PD 的中点，点F 在 PC 上，且PC 3CD 平面PAD；FAE P 的余弦值；G 在 PB 上，且 PG 2 判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由PB 3( )见解析；( )33；( ) 见解析.【解析】( )由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；( )建立空间直角坐标系，结合两个半平面的法向量即可求得二面角F-AE-P 的余弦

17、值；( )首先求得点G 的坐标，然后结合平面AEF 的法向量和直线AG 的方向向量可判断直线是否在平面内.【详解】( )由于PA 平面 ABCD ， CD 平面ABCD，则PA CD，由题意可知AD CD ，且PA AD=A，由线面垂直的判定定理可得CD 平面 PAD .( )以点 A为坐标原点，平面 ABCD 内与 AD 垂直的直线为x轴， AD,AP 方向为 y轴， z轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz ，易知： A 0,0,0 ,P 0,0,2 ,C 2,2,0 ,D 0,2,0 ，1PF PC 可得点 F 的坐标为F3224,，3331PE PD 可得 E 0,1,1 ， 2设平

18、面 AEF 的法向量为：m x, y, z ，则224224m AF x, y, z , , x y z 0333333，m AE x, y, z 0,1,1 y z 0据此可得平面AEF 的一个法向量为：m 1,1, 1 ，很明显平面AEP 的一个法向量为n 1,0,0 ，cos m,n mn13313F-AE-P 的平面角为锐角，故二面角F-AE-P 的余弦值为332422( )易知P 0,0,2 ,B 2, 1,0 ，由 PG PB 可得 G ,，3333则 AG 4, 2,2 ， 333注意到平面AEF 的一个法向量为：m 1,1, 1 ，其 m AG 0 且点A 在平面 AEF 内，

19、故直线AG 在平面 AEF 内 .17 改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变近年来，移动支付已成为主要支付方式之一为了解某校学生上个月A， B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100 人，发现样本中A， B 两种支付方式都不使用的有5 人， 样本中仅使用 A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：交付金额(元) 支付方式( 0,1000( 1000,2000大于2000仅使用A18人9人3人仅使用B10人14人1人()从全校学生中随机抽取1 人，估计该学生上个月A， B 两种支付方式都使用的概率；()从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1 人，以 X 表示

20、这 2 人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X 的分布列和数学期望；()已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化现从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3 人，发现他们本月的支付金额都大于2000 元根据抽查结果，能否认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000 元的人数有变化？说明理由2【答案】( ) 2 ；5( ) 见解析；( ) 见解析.【解析】( )由题意利用古典概型计算公式可得满足题意的概率值；( ) 首先确定X 可能的取值，然后求得相应的概率值可得分布列，最后求解数学期望即可.( ) 由题意结合概率的定义给出结论即可【详解】( ) 由题意可知，两种支付方式都是用的人数为：

21、该学生上个月A， B 两种支付方式都使用的概率100 30 25 5 40 人，则：4021005 .( ) 由题意可知，仅使用A 支付方法的学生中，金额不大于1000 的人数占3 ， 金额大于1000 的人数占2 ，55仅使用B 支付方法的学生中，金额不大于1000 的人数占2 ， 金额大于1000 的人数占3 ，55且 X 可能的取值为0,1,2.32pX0 5525pX 135522133 2， pX 2255 5625X 的分布列为：X012pX62513256256136其数学期望：E X 0121.252525( )我们不认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000 元的人数

22、有变化.理由如下：随机事件在一次随机实验中是否发生是随机的，是不能预知的，随着试验次数的增多，频率越来越稳定于概率。学校是一个相对消费稳定的地方，每个学生根据自己的实际情况每个月的消费应该相对固定，出现题中这种现象可能是发生了“小概率事件”.【点睛】本题以支付方式相关调查来设置问题，考查概率统计在生活中的应用，考查概率的定义和分布列的应用，使学生体会到数学与现实生活息息相关.18已知抛物线C： x2=-2 py经过点(2， - 1) ()求抛物线C 的方程及其准线方程；()设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0 的直线 l 交抛物线C 于两点M ，N ， 直线 y=-1 分别交直线OM，

23、 ON 于点 A和点B.求证：以 AB 为直径的圆经过y轴上【答案】( ) x24y， y 1 ；( ) 见解析 .【解析】( )由题意结合点的坐标可得抛物线方程，进一步可得准线方程；( ) 联立准线方程和抛物线方程，结合韦达定理可得圆心坐标和圆的半径，从而确定圆的方程，最后令x=0 即可证得题中的结论.【详解】2( )将点 2, 1 代入抛物线方程：22 2p 1 可得： p 2，故抛物线方程为：x24y，其准线方程为：y 1 .( ) 很明显直线l 的斜率存在，焦点坐标为0, 1 ，x2 4kx 4 0 .设直线方程为y kx 1 ，与抛物线方程x24y联立可得：故：x1 x24k, x1

24、x24 .设 M x1,2 x1, N x2,2 x2kOMx1x2直线 OM 的方程为yx1 x ， 与 y 1 联立可得：4A 4, 14同理可得B , 1 ，x2易知以 AB 为直径的圆的圆心坐标为：2222x2x1 x2且： 2 2 2 x1 x22k，x1x2x1x2222x1 x22x1 x24x1x2x1x22 k2 1 ，222则圆的方程为：x 2k y 14 k2 1 ，令 x 0 整理可得：y2 2y 3 0 ，解得：y13, y2 1 ，即以 AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点0, 3 , 0,1 .【点睛】本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的

25、位置关系，圆的方程的求解及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.13219 已知函数f (x) x x x .4()求曲线y f (x) 的斜率为1 的切线方程；x 2,4 时，求证：x 6 f (x) x；设 F(x) | f (x) (x a) | (a R) ， 记 F (x) 在区间 2,4 上的最大值为M( a) ，当 M ( a)最小时，求a 的值【答案】 ( ) x y 0和 27x 27y 64 0.( )见解析；( ) a 3.【解析】( )首先求解导函数，然后利用导函数求得切点的横坐标，据此求得切点坐标即可确定切线方程；( ) 由题意分别证得f x x 60

26、和 f x x 0 即可证得题中的结论；( )由题意结合( )中的结论分类讨论即可求得a 的值 .【详解】32328( ) f (x) x 2x 1 ，令 f (x) x 2x 1 1 得 x 0或者 x . 443当 x 0时， f (0) 0，此时切线方程为y x，即 x y 0；当 x 8 时， f (8)8 ，此时切线方程为y x 64 ，即 27x 27y 64 0；332727综上可得所求切线方程为x y 0 和 27x 27y 64 0 .1 323232 ) 设 g(x) f (x) x x x ， g (x) x2x， 令 g (x) x 2x 0 得444x 0或者x 8

27、，所以当x 2,0 时， g (x) 0， g(x) 为增函数；当x (0,8) 时，33g (x) 0， g(x)为减函数；当x 8 ,4时， g (x) 0， g(x) 为增函数；3而 g(0) g(4)0，所以g(x) 0，即f(x) x；132同理令 h(x) f (x) x 6 x3 x2 6， 可求其最小值为h( 2) 0， 所以 h(x) 0，4即 f (x) x 6 ，综上可得x 6 f (x) x .( )由( )知 6 f (x) x 0 ，所以 M (a) 是 a , a 6 中的较大者，若 a a 6 ，即 a3时， M (a) a a 3；若 a a 6 ，即 a 3

28、时， M (a) a 6 a 6 3；所以当 M (a) 最小时，M (a) 3，此时 3 .【点睛】本题主要考查利用导函数研究函数的切线方程，利用导函数证明不等式的方法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20已知数列an，从中选取第i1项、第i2项、 、第im项 (i1<i2<<im)，若ai1ai2aim ，则称新数列ai1，ai2， aim 为an的长度为m 的递增子列规定：数列an的任意一项都是an的长度为1 的递增子列()写出数列1，8，3，7，5， 6，9 的一个长度为4的递增子列；()已知数列an的长度为p 的递增子列的末项的最小值为am0 ，长度为q 的递增子列的末项的最小值为an0 .若 p<q，求证：am0 < an0 ；()设无穷数列an的各项均为正整数，且任意两项均不相等.若 an的长度为s的递增子列末项的最小值为2s1，且长度为s末项为2s1的递增子列恰有2s-1个( s=1 ，2， ) ，求数列an的通项公式【答案】( ) 1,3,5,6.( ) 见解析；( ) 见解析.【解析】( )由题意结合新定义的知识给出一个满足题意的递增子列即可；( ) 利用数列的性质和递增子列的定义证明题中的结论即可；( ) 观察所要求解数列的特征给出一个满足题意的通项公