第二章稳态导热

1、传热学传热学第第 二二 章章 稳态导热稳态导热 1. 第一类边界条件下单层平壁的导热第一类边界条件下单层平壁的导热 假设；大平壁假设；大平壁= 常数，表面积常数，表面积A，厚度，厚度， 无内热源，平壁两侧维持均匀恒定无内热源，平壁两侧维持均匀恒定 温度温度 tw1, tw2，且，且tw1 tw2。 确定确定（1）平壁内的温度分布；平壁内的温度分布； （2）通过此平壁的热流密度。通过此平壁的热流密度。第一节第一节 通过平壁的导热通过平壁的导热10h 导热数学描述（导热微分方程导热数学描述（导热微分方程+边界条件）边界条件）022dxtd210.wwttxttxCB求解微分方程，得通解：求解微分方

2、程，得通解：21cxct由边界条件，求由边界条件，求 c1，c2：21112,wwwttctc 平壁内的温度分布：平壁内的温度分布：xttttwww211 温度梯度：温度梯度：21wwttdxdt 通过平壁的热流密度：通过平壁的热流密度：21wwttdxdtq 通过平壁的总热流量：通过平壁的总热流量：21wwttAdxdtAQ大小和方向大小和方向 当当= 常数时，平壁内温度分布呈线性分布，常数时，平壁内温度分布呈线性分布， 且与且与无关。无关。21wwttqxttttwww211 通过平壁内任何一个等温面的通过平壁内任何一个等温面的 热流密度均相等，与坐标热流密度均相等，与坐标x无关。无关。t

3、 w2tw1R 2121wwwwttttq 导热热阻导热热阻（Conductive resistance） 总热阻：总热阻：WKAR/结论结论 随温度发生变化时，随温度发生变化时，导热微分方程为：导热微分方程为：tbttbtttxb ttwwwwww 121211221211212tbtbbttttxwwwww1122121212120121q12wwwwttb tt图图 2-2 导热系数随导热系数随温度变化时平壁内温度变化时平壁内的温度分布的温度分布平壁内的温度分布：平壁内的温度分布： 通过平壁的导热热流密度：通过平壁的导热热流密度：()0dtddxdx0(1)bt 对于一维稳态导热问题，因

4、为热流密度是常数，可对于一维稳态导热问题，因为热流密度是常数，可由傅里叶定律分离变量并按相应的边界条件积分得到由傅里叶定律分离变量并按相应的边界条件积分得到整理整理该方法仅适用于一维稳态导热问题该方法仅适用于一维稳态导热问题。12wwttq210wwttdtdxq 2. 第一类边界条件下多层平壁的导热第一类边界条件下多层平壁的导热 多层壁：由几层不同材料叠在一起组成的复合壁。多层壁：由几层不同材料叠在一起组成的复合壁。 通过三层平壁的通过三层平壁的热流密度：热流密度： 求解：求解：按照热阻串联相加原则。按照热阻串联相加原则。qttRttwwww12111121,qttRttwwww232222

5、31,qttRttwwww34333341,整理为：整理为： 通过三层平壁的通过三层平壁的热流密度：热流密度： 通过通过n层平壁的热流密度层平壁的热流密度:ttqRww343,ttqRww121,ttqRww232,qttRwwniin111,ttq RRRwiwi, 1112qttRRRttRwwwwii141231413,假设：厚度为假设：厚度为的单层平壁，的单层平壁，无内热源，导热系数为常数。无内热源，导热系数为常数。在在x=0处界面侧流体温度处界面侧流体温度tf1。对流换热表面传热系数对流换热表面传热系数h1；在在x= 处界面侧流体温度处界面侧流体温度tf2，对流换热表面传热系数对流换

6、热表面传热系数h2。 3. 第三类边界第三类边界条件下条件下单单层平壁的导热层平壁的导热 确定确定（1）平壁内的温度分布；平壁内的温度分布； （2）通过此平壁的热流密度。通过此平壁的热流密度。022dxtd导热微分方程导热微分方程边界条件边界条件xxdtd|)|(22fxtth21ffttkq121211ffttqhh0|xq111=fwh ttqttww12xq |222=wfhtt0110|(|)xfxdth ttdx稳态导热过程，各处热流密度相同稳态导热过程，各处热流密度相同 4. 第三类边界条件下多层平壁的导热第三类边界条件下多层平壁的导热 热流密度：热流密度：2112111hhttR

7、tqniiifft思考：如何求解两侧壁面思考：如何求解两侧壁面温度及夹层中间温度？温度及夹层中间温度？niiiffAhAAhtt1212111面积为面积为A时多层平壁第三时多层平壁第三类边界条件下热流密度：类边界条件下热流密度： 求解：求解：按热阻串联相加原则。按热阻串联相加原则。 第二节第二节 通过复合平壁的导热通过复合平壁的导热图图2-5 复合平壁示例复合平壁示例说明：复合平壁的各种不同材料导热系数相差说明：复合平壁的各种不同材料导热系数相差不大时可按一维导热计算，否则应按二维、三维不大时可按一维导热计算，否则应按二维、三维计算。计算。tR复合平壁的导热：复合平壁的导热： RRRRRRRR

8、RRABEACEADE1111112233复合平壁的导热的总热阻：复合平壁的导热的总热阻：当当B、C、D三部分导三部分导热系数相差不大时，热系数相差不大时，可以设想把可以设想把A、E两两层也分别划为与层也分别划为与B、C、D相对应的三部相对应的三部分，分，形成三个并列的形成三个并列的多层平壁多层平壁。 1. 第一类边界条件下单层圆筒壁的导热第一类边界条件下单层圆筒壁的导热 假设；空心圆筒壁假设；空心圆筒壁 l，内外径，内外径 r1, r2, 且且 ld2， =常数，无内热源，内外表面维持均匀常数，无内热源，内外表面维持均匀 恒定温度恒定温度 tw1, tw2，且，且tw1 tw2。 确定确定（

9、1）圆筒壁的温度分布；圆筒壁的温度分布； （2）通过径向的热流量。通过径向的热流量。 选取坐标系为圆柱坐标。选取坐标系为圆柱坐标。10dl)(rft 第三节第三节 通过圆筒壁的导热通过圆筒壁的导热 导热数学描述（导热微分方程导热数学描述（导热微分方程+边界条件）边界条件）0)(drdtrdrd2211.wwttrrttrrCB求解微分方程，得通解：求解微分方程，得通解：21lncrct由边界条件，求由边界条件，求 c1，c2：)ln(ln)(,)ln(121211212211rrrtttcrrttcwwwww 圆筒内的温度分布：圆筒内的温度分布：)ln()ln()(121211rrrrtttt

10、www 温度梯度：温度梯度：rrrttdrdtww1)ln(1221 圆筒壁沿圆筒壁沿 r 方向的热流密度：方向的热流密度：rrrttdrdtqww1)ln(1221 通过整个圆筒壁的总热流量：通过整个圆筒壁的总热流量：)ln(21)ln(211)ln()2(122112211221ddlttrrlttrrrttrldrdtAAqwwwwww 整个圆筒壁的导热热阻：整个圆筒壁的导热热阻：WKddlR/)ln(2112rrrttqww1)ln(1221 单位长度圆筒壁的热流量：单位长度圆筒壁的热流量：12211ln()2wwlttqdld211ln()2ldRd 单位长度圆筒壁的导热热阻：单位长

11、度圆筒壁的导热热阻： 2. 第一类边界条件下多层圆筒壁的导热第一类边界条件下多层圆筒壁的导热对于多层圆通壁的导热问题，对于多层圆通壁的导热问题，可根据热阻叠加原理，求得通过可根据热阻叠加原理，求得通过多层圆筒壁的导热热流量：多层圆筒壁的导热热流量：1412314324112233111lnlnln222wwllllwwttqRRRttdddddd 通过通过N层圆筒壁的总热流量：层圆筒壁的总热流量：通过通过N层圆筒壁单位长度的热流量：层圆筒壁单位长度的热流量：1,1111ln()2ww nniiiittdld 1,1111ln()2ww nlniiiittqdd 各层之间接触面的温度亦可求出各层

12、之间接触面的温度亦可求出关于圆筒壁导热的几点结论关于圆筒壁导热的几点结论: 一维圆筒壁导热，壁内的温度分布一维圆筒壁导热，壁内的温度分布 成成对数分布（沿径向）对数分布（沿径向）。 圆筒壁的温度梯度沿径向变化。圆筒壁的温度梯度沿径向变化。 对稳态导热，通过圆筒壁径向对稳态导热，通过圆筒壁径向热流密度不是热流密度不是 常数常数，随，随 r 的增加，热流密度逐渐减小，的增加，热流密度逐渐减小， 但通过整个圆筒壁的但通过整个圆筒壁的总热流量不变总热流量不变。 对无内热源的一维圆筒壁导热，对无内热源的一维圆筒壁导热， 单位长度圆筒壁的热流量是相等的。单位长度圆筒壁的热流量是相等的。 对比平壁对比平壁结

13、论结论 3. 第三类边界条件下单层圆筒壁的导热第三类边界条件下单层圆筒壁的导热 假设假设： 假设；空心圆筒壁假设；空心圆筒壁 l，内外径，内外径 r1, r2, 且且 ld2，=常数，无内热源，常数，无内热源，在在r= r1一侧流体温度一侧流体温度tf1。对流换热。对流换热表面传热系数表面传热系数h1；在；在r= r2一一侧流体侧流体温度温度tf2，对流换热表面传热系数，对流换热表面传热系数h2。 tf1 tf2 确定确定（1）圆筒壁内的温度分布；圆筒壁内的温度分布； （2）通过此平壁的单位长度通过此平壁的单位长度 热流量。热流量。导热微分方程：导热微分方程：0drdtrdrd边界条件：边界条

14、件：1|rrdrdt111= (|)fr rh tt2|rrdrdt22= ( |r rh t2ft ） 导热数学描述（导热微分方程导热数学描述（导热微分方程+边界条件）边界条件）0ddtrdrdr1|rrdrdt111= (|)fr rh tt2|rrdrdt22=( |r rh t2ft）qttrrlww122112 ln2rrlq2222= 2wfhr tt11111|2()l r rfwqhr tt 稳态导热过程中：稳态导热过程中：12|l r rl r rlqqq 各过程的热流量分别为：各过程的热流量分别为：qtthrddhrlff12112122121212ln2212111ln2

15、111dhdddhkRll 联立求解，整理得：联立求解，整理得：12211122111ln2fflttqdhddhd 或或 热阻热阻 4. 第三类边界条件下多层圆筒壁的导热第三类边界条件下多层圆筒壁的导热 通过多层圆筒壁的总热流量：通过多层圆筒壁的总热流量：2111112121)ln(2121lhrddllhrttniiniiff 单位长度的热流量：单位长度的热流量：2111112121)ln(2121hrddhrttniiniiffl5. 临界热绝缘直径临界热绝缘直径 热流体通过管道壁和保温层传给冷流体传热热流体通过管道壁和保温层传给冷流体传热过程的热阻为：过程的热阻为： 对应于总热阻对应于

16、总热阻Rl为极小值时的保温为极小值时的保温层外径称为临界绝层外径称为临界绝缘直径。缘直径。图图2-11 临界热绝缘直径临界热绝缘直径xxinsldhdddddhR22121111ln21ln211xinsxxldhddddR21211ddhxcins22 第四节第四节 具有内热源的平壁导热具有内热源的平壁导热 有内热源的导热问题；有内热源的导热问题； 电器及线圈中有电流通过时的发热；电器及线圈中有电流通过时的发热； 化工中的吸热放热反应；化工中的吸热放热反应； 核装置中燃料元件的放射反应等。核装置中燃料元件的放射反应等。cztytxtatV)(222222 导热微分方程导热微分方程 假设；平壁

17、具有内热源假设；平壁具有内热源qv，厚度为，厚度为2 两侧同时与温度为两侧同时与温度为 tf 的流体的流体发生发生 对流换热对流换热，表面传热系数，表面传热系数 h。 确定确定（1）平壁内任意位置平壁内任意位置 x 处的温度；处的温度； （2）通过该截面处的热流密度。通过该截面处的热流密度。可只分析平壁厚度的一半把可只分析平壁厚度的一半把x轴原点放在墙壁中心轴原点放在墙壁中心 导热的数学描述（导热微分方程导热的数学描述（导热微分方程+边界条件）边界条件）220vqdtd x)(00.ftthdxdtxdxdtxCB 平板中的温度分布：平板中的温度分布：22()2vvfqqtxth 任一位置任一

18、位置 x 处的热流密度：处的热流密度：vdtqq xdx 说明说明 与无内热源的平壁解比较：与无内热源的平壁解比较： 温度分布呈抛物线分布，而不是直线分布；温度分布呈抛物线分布，而不是直线分布； 热流密度不再是常数。热流密度不再是常数。 给定壁面温度边界条件下，可认为给定壁面温度边界条件下，可认为h趋于无限大，趋于无限大，而而 因此墙壁中温度分布为：因此墙壁中温度分布为：22()|2vxqtxtvdtqq xdx |xftt22()2vvfqqtxthAhAAhttRtfft212111如何增强传热？如何增强传热？ 增大传热温差：增大传热温差： 减小传热热阻：减小传热热阻： 扩展传热面扩展传热

19、面 改变表面状况改变表面状况 改变流体的流动状况改变流体的流动状况减少哪一侧热阻减少哪一侧热阻效果最显著？效果最显著？ 第五节第五节 通过肋壁的导热通过肋壁的导热 肋片肋片 (Fins) 或扩展面或扩展面 (Extended surface) 的形式的形式 通过肋片散热的特点：通过肋片散热的特点： 沿肋片伸展方向有导热；沿肋片伸展方向有导热； 与肋片伸展方向垂直的方向存在肋表面与与肋片伸展方向垂直的方向存在肋表面与 周围流体（环境）的对流及辐射传热。周围流体（环境）的对流及辐射传热。 假设；假设；矩形直肋矩形直肋, 肋高肋高l, , 厚度厚度, 宽度宽度L, 设设 l , 面积面积L(L=L*

20、 )，周长，周长U (U=2(L+ ) 。温度分布。温度分布 t=f (x), , 一维导热；一维导热；=常数；常数； 表面传热系数表面传热系数 h= 常数；常数； 忽略忽略肋片端面的散热量肋片端面的散热量 （端面绝热）。端面绝热）。 确定确定（1）肋片的温度分布；）肋片的温度分布； （2）通过肋片的散热热流量。通过肋片的散热热流量。1. 通过等截面直肋的导热通过等截面直肋的导热分析通过肋片的传热过程分析通过肋片的传热过程 肋片肋片导热数学描述（导热微分方程导热数学描述（导热微分方程+边界条件）边界条件）220vqd tdx0.00B Cxttdtxldx 分析分析肋片单位体积的散热量肋片单位

21、体积的散热量vq 微元体散热热流量：微元体散热热流量： 微元体的体积：微元体的体积：LA dxh ttUdxfdxAUdxtthqLfv220vqd tdx 将将和和 代入微分方程：代入微分方程：vq022fLttAhUdxtdLAhUmfttmdxtd2222m 引入过余温度：引入过余温度：= t - tf 相应温度分布：相应温度分布：= f (x) 肋片根部肋片根部 x=0, 过余温度过余温度=0= t 0 - tf 肋片端部肋片端部 x=l, 过余温度过余温度=l = tl - tf 过余温度表示的温度场的数学描述过余温度表示的温度场的数学描述0.00B Cxdxldx求出通解：求出通解

22、：mxmxecec21mxmxmecmecdxd21求出积分常数：求出积分常数：mHmHmHmHmHmHeeeceeec0201222mdxd 过余温度表示的过余温度表示的肋片中温度分布：肋片中温度分布：()()00()()m lxm lxmlmleech m lxeech ml说明说明 肋片的温度分布是沿高肋片的温度分布是沿高度呈双曲线余弦函数关系度呈双曲线余弦函数关系逐渐降低。逐渐降低。 肋端的过余温度：肋端的过余温度：01()lch ml稳态情况下由肋片表面散至周围介质的热量应等稳态情况下由肋片表面散至周围介质的热量应等于通过肋基导入肋片的热量。于通过肋基导入肋片的热量。通过肋片的散热热

23、流量：通过肋片的散热热流量：0 xLdxdA=LhU A0th ml在忽略肋端散热情况下得出，对于一般工程计算在忽略肋端散热情况下得出，对于一般工程计算特别是薄而高的肋片，可以获得足够准确的结果。特别是薄而高的肋片，可以获得足够准确的结果。对于必须考虑端部散热时，以假想的肋高对于必须考虑端部散热时，以假想的肋高l+/2代代替实际肋高替实际肋高l，而把端面认为绝热面。，而把端面认为绝热面。认为肋片温度场是一维，当认为肋片温度场是一维，当 时，误差不时，误差不超过超过1%，当肋片变得短而厚时，则必须考虑沿肋片厚，当肋片变得短而厚时，则必须考虑沿肋片厚度方向的温度变化，即肋片内的温度场是二维的。度方

24、向的温度变化，即肋片内的温度场是二维的。上述肋片表面的散热量中没有考虑辐射换热的影响。上述肋片表面的散热量中没有考虑辐射换热的影响。/0.05iBh 说明说明0 xLdxdA=LhU A0th ml 肋片效率肋片效率（fin efficiency） 在肋片表面平均温度在肋片表面平均温度tm下，肋片的实际散热量下，肋片的实际散热量与与假设整个肋表面处于肋基温度时的理想散热量假设整个肋表面处于肋基温度时的理想散热量0 之比。之比。 等截面直肋的肋效率：等截面直肋的肋效率： 肋片的效率与肋片材料的导热系数，肋片表面肋片的效率与肋片材料的导热系数，肋片表面与周围介质之间的表面传热系数，肋片的几何形与周

25、围介质之间的表面传热系数，肋片的几何形状和尺寸有关。状和尺寸有关。2. 肋片效率肋片效率fmffhU l tthU l tt00 dxlchmlxch mldxl100mll10 0mlth mlfth mlml/ 等截面直肋肋片表面的平均过余温度等截面直肋肋片表面的平均过余温度m：fth mlml/图图 2-16 双曲线函数的数值双曲线函数的数值当当m一定时，随着肋片高度的增一定时，随着肋片高度的增加，肋片散热量迅速的增大，但加，肋片散热量迅速的增大，但增量逐渐减小增量逐渐减小,最后趋于一渐近值。最后趋于一渐近值。当肋片高度增加到一定程度后，当肋片高度增加到一定程度后，再继续增加高度会导致肋

26、片效率再继续增加高度会导致肋片效率降低。降低。高度一定，高度一定，m较小有利。较小有利。 LAhUm0 xLdxdA=LhU A0th ml01()lch ml在某些场合下，选择变截面的肋片。在某些场合下，选择变截面的肋片。肋片尽量选用导热系数较大的材料。肋片尽量选用导热系数较大的材料。可见，可见， 与参量与参量 有关，这样，矩有关，这样，矩形直肋的散热量可以不用公式计算，而直接用图形直肋的散热量可以不用公式计算，而直接用图查出查出 ，散热量，散热量 f3 22hlfflf肋片的纵剖面积肋片的纵剖面积LhUmA2LUL3 222LhUh lhmllllAlff0() ()h Ultt 一般认为一般认为f0.8肋片是经济适用