高中数学论文过圆锥曲线焦点弦端点切线的一个性质

1、过圆锥曲线焦点弦端点切线的一个性质经过圆的直径两端点的切线是平行直线，这是一个众所周知的结论，那么经过圆锥曲线焦点弦两端点的切线是否也有很优美的结论呢？本人经过探索发现经过圆锥曲线焦点弦两端点的切线确实有很好的性质，下面就对标准位置的圆锥曲线过焦点弦两端点切线性质作一研究。我们先来研究抛物线的性质性质一：过抛物线焦点F 的弦 AB 两端点的切线 l1, l2 的交点 P 的轨迹是相应的准线 ,且 APB是定值20 ），过焦点 F ( p ,0) 的焦点弦为 AB ，证明：设抛物线的方程为y22 px （ p2设 A( x1, y1), B( x2 , y2 ) ，则过 A, B 两点的切线 l

2、1,l2 的方程分别为yy1p(xx1 )yy2p(x x2 )由 y2 y1 得x(因为 x1y12, x2y22 , y1y22 p2p所以 xp .22y1y)(p 1 y 2 x . )y xp2 , y1 y2 .C 颢和唐腻瞑浑A 颢和唐腻瞑浑M 颢和唐腻瞑浑又因为 k1p , k2p , y1 y2P 颢和唐腻瞑浑p2 .y1y2F 颢和唐腻瞑浑所以 k1 k21，即 APBB 颢和唐腻瞑浑.2D 颢和唐腻瞑浑当然证明APB，也可以用抛物线的2光学性质来证显得更为简洁.过 A作 AM x 轴，过 B 作 BN X 轴由抛物线的光学性质知：CAMPAB ,DBNPBA MABNBA

3、1800 18002PAB18002PBA1800 即PABPBA900 即APB2利用平几知识及抛物线定义容易得到PFAB .（证明略）抛物线有上述性质，那么椭圆、双曲线是否也有类似的性质呢？经过探索后发现确实存在类似的性质性质二：过椭圆焦点F 的弦 AB （不与长轴重合）两端点A, B 的切线 l1 ,l 2 的交点 P 的轨迹是焦点 F 相应的准线，且APB的取值范围为 (0, arctan2e 2 ( e1e为椭圆的离心率 )N 颢和唐腻瞑浑性质三：若过双曲线焦点F 的直线与双曲线交于A, B 两点 ,过 A, B 两点的双曲线的切线 l1 ,l 2 的交点 P 的轨迹是焦点F相应的准

4、线（除去该准线与渐近线的交点）,且 当A,B在同一支上 时APB的取值范围为arctan22e,arctan 2a ) ； 当 A, B在两支上时 APB的范围是e1b(0,arctan 2a ) .( e 为双曲线的离心率 )b先证明性质二：设椭圆x2y21(a b 0) 的右焦点为 F (c,0)，焦点弦 AB （不与长轴重a2b2A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )，则过 A, B 两点的切线 l1, l2 的方程分别合）两端点的坐标为为：b2 x1 xa2 y1 ya2b2b2 x2 xa2 y2 ya2b2由得 b2 x( y2 x1y1x2 )a2b2 ( y2y1

5、) （ * ）由 FA(x1c, y1 ) ， BF(cx2 ,y2 ) A, F, B 三点共线 所以y2 x1y1x2 c( y2 y1) 代入（ * ）得 xa2，即 P 点的轨迹是焦点 F 相应的c准线下面证明APB的取值范围为 (0, arctan2e2 ：1e不失一般性设点A在 x 轴上方，点 B 在 x 轴下方 ,即 y1y2 则 APB即为 l1到l 2 的角 .颢和唐腻瞑浑yA颢和唐腻瞑浑PO颢和唐腻F瞑浑x颢和唐腻瞑浑B kl1b2x1， kl2b2x2 22ay1ay2kl2kll1到l2 的角APB的正切值为 tan APB1klkl121a2b2 ( x1 y2=a4

6、 y y21设 AB所在直线为 xmyc 代入椭圆方程即得2b1x2 y1)4b x1x2x2b2x1y2a2y1b4 x1 x2a4y y12a 2b2c( y2y1)a4 y yb4 x x2112b2 ( myc)2a2 y2a2b2 化简整理得y2 (b2 m2a2 ) 2b2 cmy b40 y1y22b2cm，y1 y2b4b2m2a2b2 m2a2a4 y1 y2b4x1x2a4 y1 y2b4 (my1c)(my2c) (a 4b4m2 ) y1y2b4mc( y1y2 ) b4 c2a2122 b4 ( a4b4m2 )b4 cm( 2b2cm)b4c2 (a2b2m2 )b

7、ma212m2 a4b4b8 m22b6c2m2a2b4c2b6c2 m2 ba2b6 (1 m2 )12 6a26 2a22m2 a bb m a22m2bb又y2y1( y1y2 )( y1y2 ) 4 y1 y24b4 c2 m24b414b42 2624a2b4(b2m2a2 ) 2b2 m2a2b2 m2a2c m4b m1422242ab 22b2m2a24bam4abb2m2a2 1 mtan APBa2b2c 2ab2 1m22ac1a2 b6 (1 m2 )b21 m2101tanAPB2ac1(0,2ac1m2b21 m2b2 因为 ytan在 (0, ) 是增函数2故 A

8、PB 的取值范围是 (0, arctan 2ac2 即 (0, arctan 2e 2 b1e下面证明性质三：设双曲线 x2y21(a0, b0) 的右焦点为 F (c,0) ，过焦点 F (c,0) 的直线a2b2A( x1 , y1), B( x2 , y2 ) ，过 A, B 两点的切线分别为 l1 ,l 2 ，与双曲线交于两点的坐标为其方程分别为：b2 x1xa2 y1 ya2b2b2 x2 xa2 y2 ya2b2由得 b2 x( y2 x1y1 x2 )a2 b2 ( y2y1) （* ）由 FA( x1c, y1 ) ，BF(cx2 ,y2 ) A, F, B 三点共线 ，所以

9、y2 x1 y1x2c( y2 y1) 代入（ * ）得 xa2（ yab ）即 P 点的轨迹是焦点ccA 颢和唐腻瞑浑P 颢和唐腻瞑浑F 颢和唐腻瞑浑B 颢和唐腻瞑浑F 相应的准线（除去准线与渐近线的交点）下面证明 APB的取值范围：(1)当 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) 在同一支上时，不失一般性设点 A在 x 轴上方，点 B 在 x 轴下方，即 y1y2 ,则APB即为 l2 到 l1 的角 .如图所示 klb2x1， klb2x2 1a2y2a2y21kl1kl 2b2x1b2x2a2y a2yl2 到 l1 的角 APB的正切值为 tanAPB12klb4x1 x21

10、kl112a4y1 y2a2b2 (x1 y2x2 y1 )a2b2c( y2y1)=4y1 y244y1 y24ab x1 x2ab x1 x2设 AB 所在 直线 为 x myc , 因为 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 在) 同一支 上 , 所以0 ma ，将 xmyc 代入双曲线方程化简整理得by2 (b2m2a2 ) 2b2cmyb40 y1y22b2 cm， y1 y2b4b2m2a2b2m2a2a4 y y2b4x xa4 y y2b4(myc)(myc)112112 (a 4b4m2 ) y1y2b4mc( y1y2 )b4 c2122b m1122b m

11、a2 b4 (a4b4 m2 ) b4 cm 2b2cm b4c2 (b2 m2a2 )a2 a4b4b8m22b6c2 m2b6c2 m2a2b4c2 2 6262a2b6 (1 m2 ) a2b6 (1 m2 )a2 a babmb2m2a2a2b2 m2又 y2y1( y1 y2 )( y1y2 ) 4y1 y24b4c2m24b414b42m24b6m22 4( a2b2m2 )2a2b2 m2a2b2 m2c4a ba214b4 a2m24a2b42ab 21m2b2m2a2b2 m2tanAPBa2b2c 2ab21m22ac1a2b6 (1 m2 )b21 m20ma， tanA

12、PB2ac12ac,2a)bb21m2b2b因为 y tan在 ( ,) 是增函数，2arctan 2acarctan 2a ) 即故APB的取值 范围 是,b2barctane22e,arctan 2a ) 1b(2)当 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 不在在同一支上时，不失一般性设点A在右支、点 B在左支，根据对称性先考虑kAB0 的情况，则APB即为 l2到 l1的角，如图所示： klb2x1， klb2x2 1a2y12a2y2l2 到 l1 的角APB的正切值为kl1kl2b2x1b2x2a2y a2ytan APB12kl2b4x1 x21 kl11a4y1

13、y2P 颢和唐腻瞑浑=a2b2 ( x1 y2x2 y1)a4 y1 y2b4 x1x2设 AB 所 在 直 线 为 xA( 1x , 1y ) , B 2( x在,两y支上)且kABa 2b2c( y2y1) .a4 y1y2b4 x1x2my c,因 为a0 ，所以 m.bF 颢和唐腻瞑浑A 颢和唐腻瞑浑B 颢和唐腻瞑浑将 xmyc代入双曲线方程化简整理得y2 (b2m2a2 ) 2b2cmyb40y1y22b2cm,y1y2b42 .b2 2a22m2amba4 y1 y2b4x1x2a4 y1 y2b4 (my1c)(my2c) (a 4b4m2 ) y1y2b4mc( y1y2 )b4 c2a2b6 (1 m2 )a2b2m2又 y2y1( y1 y2 )( y1y2 ) 4y1 y24b4c2m24b414b4 c2 m24b6m24a2 b4( a2b2m2 )2a2b2 m2b2m2a21a24b4 a2m24a2b42ab 2a21 m2 .b2 m2b2 m2tanAPBa2b2c 2ab21m22ac1.a2b6 (1 m2 )b21 m2ma, tan APB2