第12章随机信号处理初步

1、nx0n0nx对于一个随机信号对于一个随机信号，对于某一个固定的，对于某一个固定的是一个随机变量。是一个随机变量。 n)(nnx变化形成的随机变量的集合变化形成的随机变量的集合就是一个随机过程。就是一个随机过程。 nxn一方面一方面随机过程随机过程既可以看成既可以看成另一方面另一方面随机过程随机过程也可以看成所有实例也可以看成所有实例的集合，实例或者说样本的集合，实例或者说样本是一个确定性的信号。是一个确定性的信号。 随机变量的集合；随机变量的集合；变化形成的变化形成的nxnxnx我们用各种概率函数来描述随机变量，以及随机变量之间的概率我们用各种概率函数来描述随机变量，以及随机变量之间的概率的

2、随机变量的随机变量概率分布函数概率分布函数(probability destribution function)来描述其来描述其分布情况。分布情况。nnx对于某一个确定对于某一个确定，我们用，我们用概率分布的情况：概率分布的情况： 的概率),(XnxnXPnx概率分布函数概率分布函数固定值固定值自变量自变量XnxnxdnpnXP),(),(概率密度函数概率密度函数 固定值固定值自变量自变量的概率),(nxnpnx概率质量函数概率质量函数 固定值固定值自变量自变量的概率),(XnxnXPnxXnxnp),(我们用联合概率分布函数来描述多个随机变量之间的相互依我们用联合概率分布函数来描述多个随机变

3、量之间的相互依从关系，从关系， 的概率并且),(,YmyXnxmYnXPmynx联合概率分布函数联合概率分布函数固定值固定值自变量自变量 YXmxnxmxnxddmnpmYnXP),(),(,联合概率密度函数联合概率密度函数固定值固定值自变量自变量如果随机变量的取值被量化了，我们用联合概率质量函数，如果随机变量的取值被量化了，我们用联合概率质量函数，的概率并且),(,mxnxmnpmxnx联合概率质量函数联合概率质量函数 固定值固定值自变量自变量XYmxnxmxnxmnpmYnXP),(),(,两个随机变量两个随机变量统计独立统计独立 :),(),(),(,mYPnXPmYnXPmynxmyn

4、x),(),(nXPknXPnxknx),(),(npknpnxknx),(),(,mYnXPkmYknXPmxnxkmxknx),(),(,mnpkmknpmxnxkmxknx随机变量的随机变量的均值均值（mean）定义为：）定义为： dnpnxEmnxnx),(dnpfnxfEnx),()()(两个随机变量、的函数仍然是一个随机变量，它的均两个随机变量、的函数仍然是一个随机变量，它的均值定义为：值定义为： ddmnpfmynxEmynx),(),(,容易证明均值的下列性质：容易证明均值的下列性质： myEnxEmynxEnxaEnaxE如果两个随机变量和是统计独立的，容易证明：如果两个随机

5、变量和是统计独立的，容易证明： myEnxEmynxE随机变量的随机变量的均方值均方值(Mean-Square Value )定义为：定义为： dnpnxEnx),(22)(22nxnxmnxE容易证明：容易证明： 02nx222nxnxmnxE方差的平方根方差的平方根nx或者或者标准差标准差（standard deviation）。）。被称为被称为均方差均方差(mean square deviation)对于一个随机过程随机过程，它在不同时刻所对应的随机变量之对于一个随机过程随机过程，它在不同时刻所对应的随机变量之间的统计特征主要用自相关序列和自协方差序列来表征。间的统计特征主要用自相关序列

6、和自协方差序列来表征。自相关自相关序列序列(Autocorrelation Sequence)定义为：定义为： ddmnpmxnx),(,*),(mnxx*mxnxE自协方差序列自协方差序列(autocovariance sequence)定义为：定义为： )(*mxnxmmxmnxE),(mnxx容易证明：容易证明： *),(),(mxnxxxxxmmmnmnnxny对于随机过程对于随机过程和随机过程和随机过程它们的相互依赖关系可以用互相关序列和互协方差序列来表征。它们的相互依赖关系可以用互相关序列和互协方差序列来表征。互相关序列互相关序列(Crosscorrelation Sequence

7、)定义为：定义为： ddmnpmynx),(,*),(mnxy*mynxE互协方差序列互协方差序列(crosscovariance sequence)定义为：定义为： )(*mynxmmymnxE),(mnxy容易证明：容易证明： *),(),(mynxxyxymmmnmn一般而言，随机过程的统计特征是随时间变化而变化的，但是一般而言，随机过程的统计特征是随时间变化而变化的，但是对于狭义平稳随机过程来说，由于其概率函数与时间起始点无对于狭义平稳随机过程来说，由于其概率函数与时间起始点无关，容易得出：关，容易得出：nxEmx)(22xxmnxE也就是说，均值和方差是与时间无关的常数。也就是说，均

8、值和方差是与时间无关的常数。狭义平稳狭义平稳充分条件充分条件充分条件充分条件必要条件必要条件必要条件必要条件狭义平稳随机过程的自相关序列有：狭义平稳随机过程的自相关序列有：)(),(*mmnxnxEmnnxxxx也就是说，自相关序列仅仅是时间差也就是说，自相关序列仅仅是时间差m是一个一维序列。是一个一维序列。的函数，的函数，nx一个随机信号可以看成是一个样本信号集一个随机信号可以看成是一个样本信号集这个样本集中的每一个元素是一个确定性信号。在实际操这个样本集中的每一个元素是一个确定性信号。在实际操作过程中，我们并不能够得到所有的样本信号。大部分情作过程中，我们并不能够得到所有的样本信号。大部分

9、情况下，只能够得到样本集中的一个确定性信号，而我们的况下，只能够得到样本集中的一个确定性信号，而我们的问题是利用这个确定性信号来计算随机信号的统计特征。问题是利用这个确定性信号来计算随机信号的统计特征。nx中的任意一个确定性信号中的任意一个确定性信号我们定义如下：我们定义如下：对于样本信号集对于样本信号集nxNNnNnxNnx121limNNnNmnxnxNmnxnx121lim*xmnxEnx*mnxnx*mnxnxE)(mxx如果对于所有的样本信号都有：如果对于所有的样本信号都有：我们称该随机过程是我们称该随机过程是各态遍历各态遍历(ergodic)的。的。NNnNnxNnx121NNnN

10、mnxnxNmnxnx121*有了这个各态遍历假设，我们就可以根据一个确定性的样有了这个各态遍历假设，我们就可以根据一个确定性的样本信号来计算随机信号的统计特征。本信号来计算随机信号的统计特征。在实际中，我们并不能进行在实际中，我们并不能进行(12.32)和和(12.33)那样的无穷多那样的无穷多项的求和，我们只能够依据下列两个式子进行估计：项的求和，我们只能够依据下列两个式子进行估计：在各态遍历假设下，在各态遍历假设下，Matlab提供了一些函数，这些函数根提供了一些函数，这些函数根据一个确定性的样本信号来计算随机信号的统计特征。据一个确定性的样本信号来计算随机信号的统计特征。nxnymnx

11、nxE)(mxx)(xxmmnxmnxE)(mxx)(mxx2xmmnynxE)(mxy)(yxmmnymnxE)(mxy)(mxyyxmm上面两式说明，如果均值为上面两式说明，如果均值为0，相关序列和协方差序列相等。，相关序列和协方差序列相等。 我们将自协方差序列我们将自协方差序列)(mxx称为称为功率谱密度功率谱密度（Power Spectral Density简称简称PSD）：）：的离散时间傅里叶变换，的离散时间傅里叶变换，mmjxxxxemP)()(我们将互协方差序列我们将互协方差序列)(mxy称为称为互功率谱密度互功率谱密度（Cross Spectral Density简称简称CSD

12、）：）：的离散时间傅里叶变换，的离散时间傅里叶变换，mmjxyxyemP)()(kknxkhnynxnynx输出输出单位冲激响应单位冲激响应下面我们来看看随机信号下面我们来看看随机信号ny在各时间点的在各时间点的均值和自相关序列。均值和自相关序列。 knyknxEkhnyEmkxkxkhmkhmyxjmmeH)(0与时间无关与时间无关频率响应频率响应),(mnynyEmnnyy krrmnxknxrhkhE krrmnxknxErhkh)()(mrkmrhkhyykrxx这个两重级数的结果只与这个两重级数的结果只与m有关有关一个广义平稳随机信号通过线性时不变系统，其输出仍然是广义一个广义平稳随

13、机信号通过线性时不变系统，其输出仍然是广义平稳随机信号。平稳随机信号。也就是说，输出信号的自相关序列与时间无关。也就是说，输出信号的自相关序列与时间无关。线性时不变系统线性时不变系统广义平稳随机信号广义平稳随机信号广义平稳随机信号广义平稳随机信号krxxyyrkmrhkhm)()(krlklxxkhlkhlm)(klxxlmlkhkh)(lkxxlkhkhlm)(*lvlkhkhklhkhlhlhkklxxyylvlmm)()(klkhkhlvlvlh被称为确定性信号被称为确定性信号的的自相关序列自相关序列。*lhlhlv*)()(mvmmxxyy输入的自相关序列与单位冲激响应的自相关序列的卷

14、积就等输入的自相关序列与单位冲激响应的自相关序列的卷积就等于输出的自相关序列。于输出的自相关序列。 )()(*jjFeHeHnh2*| )(|)()(*jjjFeHeHeHnhnhnv)(| )(|)(2xxjyyPeHP*)()(mvmmxxyy两边取两边取傅里叶变换傅里叶变换 下面我们看看输入信号与输出信号的互相关，下面我们看看输入信号与输出信号的互相关，)(mnynxEmxy kkmnxkhnxE kkmnxnxEkh)(*)(mmhkmkhxxkxx两边取傅里叶变换，两边取傅里叶变换， )()()(xxjxyPeHP在很多情况下，我们得到的关于一个在很多情况下，我们得到的关于一个LTI

15、系统的信息不足以让我系统的信息不足以让我们了解该系统的全部特征。确定一个未知系统的特征的过程称们了解该系统的全部特征。确定一个未知系统的特征的过程称为为系统辨识系统辨识(System Identification)。LTI系统的系统辨识方法之一就是，给系统加上特殊的激励信号系统的系统辨识方法之一就是，给系统加上特殊的激励信号并观测其输出，以确定系统的特性。并观测其输出，以确定系统的特性。)()(2mmxxx0 xm均值为均值为0自相关序列是一自相关序列是一个冲激个冲激 2)(xxxP白噪声的功率谱密度白噪声的功率谱密度: 用白噪声做为线性时不变系统的输入，我们有：用白噪声做为线性时不变系统的输

16、入，我们有：)(2mhxxy)()(2jxxyeHP估计估计 估计估计 考虑有限长度的实序列，考虑有限长度的实序列，xn在区间在区间0N-1以外的时间为以外的时间为0 。 1|01)(mNnxxmnxnxNmC1| Nm可能不为可能不为0的范围的范围11)()(NNmmjxxNemCI可以证明：可以证明： 2| )(|1)(jNeXNI周期图周期图(Periodograms) 的估计的估计 )(xxPMatlab提供了pwelch函数，用于估计PSD。其中，周期图的计算是通过FFT进行的。pwelch函数的语法如下：pwelch(x,window,noverlap,nfft,fs, range)信号信号 窗函数窗函数 段之间重叠的段之间重叠的点数点数 FFT的长度的长度 采样频率采样频率 显示方式显示方式 下面我们通过一个下面我们通过一个Matlab来演示一个韦尔奇法估计来演示一个韦尔奇法估计PSD的例子，的例子，在这里信号是一个加了噪声的在这里信号是一个加了噪声的200Hz的正弦信号，采样频率为的正弦信号，采样频率为1000 Hz，使用，使用33点的点的Hamming窗，窗，32点的重叠，点