湖南省衡阳-高二上学期六科联赛试题(12月)数学(理)Word版含解析

1、衡阳市八中2016年高二上期六科联赛试题数学（理）命题人方岭生审题人 刘一坚、选择题（本大题共12小题，每小题只有一个正确答案，每小题 5分，共60分）1 .双曲线x2=1的两条渐近线夹角是（A. 30；3B.60；C. 90；D. 1202.已知向量a= ( 0,2,1 ), b= ( 1,1 , 2),则a与b的夹角为(A. 0°B. 45°C. 90°D. 180°3 .已知向量a =（2,1,4）, b =（1,0,2）,且a +b与k ab互相垂直，则k的值是A.1 B. 1 C. 3 D.55314 .下列命题的逆命题为真命题的是(A.若 x

2、>2,则(x2)(x+1) >0C.若 x + y=2,则 xy <1)B.若D.若22x + y 主 4 ,则 xy = 222a >b ,贝U ac 之 bc5 .曲线y =ex在点（2, e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（A、9e24c 2B、2eC、e22 e D、一6 .已知函数f(x)=x 2+2x+m(m安）的最小值为22-1,则1 f( x dx =(A.216B.3C.6D.77 .已知空间直角坐标系 O-xyz中有一点A (-1, -1,2 ),点B是平面xOy内的直线x+y = 1上的动点,则A, B两点的最短距离是（B.C. 3D.历28

3、.极坐标方程A.圆与直线二2不 冗sin（> 2）B.圆与椭圆x = 2cos 和参数方程 （日为参数）所表示的图形分别是（y =3sin 二C.直线与圆D.直线与椭圆x = . t 19 .参数方程x_（t为参数）表木的曲线不经过点（y =1 -2 tA. (0,3)B. (1,1)D. (2-1)10 .过抛物线y2 =2px（ p>0）的焦点F且倾斜角为60 口的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于 A , | AF |B两点，则|1的值等于（）|BF |A. 5B. 4C. 3D. 222 x y11 .已知椭圆 +'=1的左、右焦点分别为 Fi,F2,点P在椭圆上

4、，若P, F1,F2是一个直角三角形 169的三个顶点，则点 P到x轴的距离为A.7 B.U C.9 D.7 474312 .已知定义在R上的函数f (x)和g(x)分别满足f(x)=fp 2x-十x2 2f (0) x , g'(x) +2g(x) <0 ,则下列不等式成立的是()A. f(2) g(2015):二 g(2017)B. f (2) g(2015) .g(2017)C. g(2015):二 f (2) g(2017)D. g(2015) . f (2) g(2017)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13 .若 a =(1,1,0), b = (-

5、1,0,2),且 ka+b与 2a b互相垂直，则 k 的值是14 .已知命题p： Vx>0,有2x之1成立：则一>p为.15 .函数f (x) = x3 +ax2 +x + b在x =1时取得极值，则实数 a =.22一x y16 .设F1、F2分别是椭圆 +1=1的左，右焦点，P为椭圆上任一点，点 M的坐标为(6,4),则2516| PM | | PFi |的最小值为 .三、解答题 (本大题共6小题，共70 分，解题时必须写出必要的计算或推理过程)17 . (10分)设p :实数x满足a < x <3a ,其中a > 0 ; q :实数x满足2 cx <

6、3.(1)若a =1 ,且p Aq为真，求实数x的取值范围； (2)若q是p的充分不必要条件，求实数 a的取值范围.18 . (10分)在极坐标系中，已知圆C的方程是P = 4 ,直线l的方程是Psin 19 +-卜收(1)以极点。为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，将直线 l与圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求直线l与圆C相交所得的弦长.19 . (12 分)如图，三棱柱 ABC-A1B1C1 中，BCL侧面 AAQQ, AC=BC=1 , CC1=2, / CAA1=,D、E分别为AAi、AiC的中点.AD(1)求证：AC平面ABC;(2) (2)求平面BDE与平面ABC

7、所成角的余弦值.20 . (12分)已知函数f (x) = x3 3ax2+3bx的图象与直线12x + y 1 = 0相切于点(1,-11).(1)求a, b的值；(2)求函数f (x)的单调区间.21. (13分)以椭圆M :y2 =1 (a >1)的四个顶点为顶点的四边形的四条边与|_O:x2 + y2=1共a有6个交点，且这6个交点恰好把圆周六等分.(1)求椭圆M的方程；(2)若直线l与LI。相切，且与椭圆M相交于P,Q两点，求PQ的最大值.八 一一，,12八22 . (13 分)已知函数 f(x) = lnax +x(a0). x(1)若f (x片定义域上不单调的函数，求a的取

8、值范围；(2)若f(x非定义域上有两个极值点 x1、x2，证明：f (x1 )+ f (x2 )>3-2ln2 .衡阳市八中2016年高二上期六科联赛试题数学(理)参考答案故两渐近线的夹角是试题分析：根据题意可知，双曲线的渐近线方程是 y = ±j3x,其倾斜角为一，3故选B.考点：1.双曲线的标准方程；2.两直线的夹角.2. C【解析】试题分析：a b = 0(-1 )+21+1x(-2 )=0,所以5与b的夹角为90°,故选C.考点：空间向量的运算3. D【解析】试题分析:a+b =(3,1,6 ),k a-b =(2k,k,4k )(1,0,2 )=(2k 1,

9、k,4k 2 ),由 a+b 与 k ab 互相 一15垂直可得 3 2k -1 k 6 4k -2 =0. k = /考点：向量坐标运算4. B【解析】试题分析：A. “网2,则(x2)( xp 0 ”的逆命题为“若(x2)(x + 1)>0,则x>2；错误；B. “若 2222x2 +y2之4，则xy =2”的逆命题为“若xy = 2,则x2 +y2之4”正确；C , “若x + y = 2 ,则xy E1 ”的 逆命题为“若 xy W1 ,则 x + y = 2 '；如 x = T, y = T , xy W1 ,但 x + y # 2 ; D.“苞至 b ,则 ac

10、2 之 bc2" 的逆命题为“若ac2之bc2 ,则a之b ；如c = 0时，ac2之bc2,但a之b不一定成立考点：命题真假性的判断5. D【解析】试题分析：VOO OO OO12 e2y'=en y|xq=e = y-e =e (x-2)= y = e x-e = A(1,0), B(0,-e ) = S=x1xe =, -22故选D.考点：1、导数的几何意义；2、三角形的面积.6. B【解析】f(x) min = m -1 = -1， m = 0 ,试题分析：f(x) =x2 +2x+m=(x+1)2 + m-1，当 m=-1 时,22x32 2161 f (x)dx

11、= J (x +2x)dx =( +x ) |1 = .故选 B.考点：求定积分.7. B【解析】试题分析：丁点B是平面xOy内的直线x+y=1上的动点，可设点B (mi ,1-m ,0)由空间两点之间的距离公式，得AB =7(-1 -m)2 +-1 -(1 -m)2 +(2-0)2 2 m2-2m+9人2,1、217令 t =2m -2m +9 =2( m 一一)十一 22r 117当m=一时，t的最小值为一22，当m =1时，AB的最小值为 叵=叵，即A , B两点的最短距离是 丫342V 222故选B考点：空间两点之间的距离公式8. D【解析】_22_试题分析：由P = -二, Pcos

12、日=2,x = 2,为直线；sin(-) cos71ix = 2cos.x2 y2而 <八四为参数)，消参可得； 一+工=1.为椭圆。y=3sin149考点：极坐标，参数方程化普通方程.9. A【解析】试题分析：因x = V： +121，故应选A.考点：参数方程的理解和运用【解析】试题分析：设 AF = m,BF = n，则过A, B分另U作x, y的垂线，垂足分别为C, D，延长AC, DB交于点P ,._ 0 BPm-n1_ 一在RtAAPB中，cos60 = ，由抛物线的定义可知BP = m n, AB = m + n ,则=一，解之得ABm n 2m =3n,故应选C.考点：抛物

13、线的定义及几何性质的运用.11 . C【解析】试题分析：由椭圆方程可知三点成的直角三角形只能以F1,F2为直角，所以点P到x轴的距离为为通, b29径的一半，即匕=9 a 4考点：椭圆方程及性质12 . D【解析】2x 2试题分析：f'(x)=f(1)e+2x 2f(0),所以 f (1)= f (1 )+2 2f (0) , f(0)=1,f (x 尸e2x +x2 -2x，设 F (x 户e2xg(x ), F'(x 户 g '(x )e2x + 2g (x ”2x =e2x g'(x )+2g(x), 由于 e2x >0,g'(x)+2g(x

14、)<0, F'(x)<0 恒成立，所以 F(x)单调递减，所以 F (2015)F( 2017), 一42 20152 20174f(2) = e ，故有 eg(2015)>eg(2017),即 g(2 0 1>5e (g R ,0 1H 7 此g(2015) Af (2) g(2017)，故选 D.考点：导数的运算及利用导数研究函数的单调性.【方法点睛】本题主要考查了导数的运算及利用导数研究函数的单调性，属于中档题.解答本题首先对f (x译导，求出f(0),进而得到函数f(x)的解析式，对于g'(x)+2g(x)<0的应用，应考虑构造 2x函数F

15、(x) = e g(x ),求导即可得到其单调性，从而有 F (2015)F (2017),整理即可得到结论， 考查考生的发散思维能力和创新能力.713 .一5【解析】227试题分析：(ka +b(2a -b )=2ka2 + (2 k Jab b2 = 4k + k 2 5 = 0,解得：k =-.考点：空间向量的运算14 .三x >0,2x <1 成立【解析】试题分析：全称命题的否定是特称命题，所以原命题的否定p为3x>0,2x父1成立”.考点：全称命题及其否定.15 . -2.【解析】试题分析：由题意得，求出函数f(x)的导函数f'(x),解f'(1)=

16、0可得到a的值.考点：导数的应用.16 . -5【解析】试题分析：由椭圆方程可知a2 =25,b2 =16二c2 =9二a=5,c = 3,两焦点坐标(工3,0),由椭圆定义可得PM pFi=pm (2aPF2)=PM+PF2 10 , 结合三角形三边关系可知 PM +|PF2| >|MF2 =5,所以 PM +|PF2 -1015,最大值为-5考点：椭圆方程及定义的应用17 . (1) (2,3 ); (2) 1,2.【解析】试题分析：(1)若a =1,求出p, q成立的等价，利用p Aq为真，即可求实数x的取值范围；(2)根据q是p 的充分不必要条件，建立条件关系即可求实数 a的取值

17、范围.试题解析:解：(1)当a =1时，若命题p为真，则1 <x <3；若命题q为真，则2 <x<3,p Aq为真,即p, q都为真,-2 <x <3,即实数x的取值范围是(2,3).a > 0Ja <2 => 1 <a <2(2)若q是p的充分不必要条件，则13a之3,所以，实数a的取值范围是1,2.考点：集合的运算，充要条件 .18 . x+y-2=0, x2+y2=16; (2) 2折.【解析】试题分析：(1)根据PcosO =x, PsinH = y, P2 =x2 +y2转化即可； 首先求得圆心到直线l的距离, 然后利

18、用弦长公式求解即可.试题解析：(1)由 P =4 ,得 P2 =16,则 x2 +y2 =16,故圆C的极坐标方程化为直角坐标方程为x2 + y2 = 16 ；22由 Psin J 日十一=我,得Psin b十Pcos 日=V2 ,即 Psin 0 + PcosQ = 2,则 x + y=2,422一22故直线l的极坐标方程化为直角坐标方程为x + y2=0,(2)因为圆心C(0,0)到直线l : x+y 2 = 0的距离为d =10分所以直线l与圆C相交所得的弦长l =2Jr2 -d2 =2卜 -42 2 =24考点：1、极坐标方程与直角坐标方程的互化；2、点到直线的距离；3、弦长公式.19

19、. (1)通过余弦定理来证明ACXAiC,以及结合题目中的 BCAiC来得到证明。(2)2,7试题分析：解：(1)证明：BCL侧面AA1C1C, AiC在面AAiCiC内，BC，AiC.2分JI在AAAiC 中，AC=1 , AAi=CiC=2, Z CAA1 =, 3T由余弦定理得 Ai C2=AC 2+ AA2 -2AC ?AA iCOS / CAA i=12+2 2-2 X 1 X 2 X cos - =3 ,. AiC= 33.AC2+AiC2=AAi2.ACXAiCAiC,平面 ABC .(2)由(I )知，CA , CAi, CB两两垂直.如图，以C为空间坐标系的原点，分别以则 C

20、(0 , 0, 0)，一一 1由此可得D（2B(0, 0, 1), A(1,0), E(0,20),0)设平面BDE的法向量为n=（x, y,- n =(0 , 1)、,3.AiC，平面 ABC<_CA1=(0, CA n 72-7- cos <n,CA1 >=-CA, CA1, CB所在直线为A1（0,瓜 0）x, y, z轴建立空间直角坐标系,z）,则有T 1BD 二( 21x立22叵-1)? ? 1 / ?3万y -z = 0靛=(0y -z =0令 z=1 ,则 x=0J3, 0）是平面ABC的一个法向量10分平面BDE与ABC所成锐二面角的余弦值为2-7712分2y

21、二、3考点：二面角的平面角以及线面垂直 点评：主要是考查了空间中线面位置关系，以及二面角的平面角的求解的综合运用，属于中档题。20.（1） a=1,b = 3; （2） f（x）的单调递增区间为（8,1）和（3,）,单调递减区间为（1,3）.【解析】试题分析：（1）由题意可得两个等式7（1） = -11,，由此建立关于a,b的二元一次方程组，可解得a,b的J = -12 一 ，一 ' 一 ' 一 值；（2）由导数与单调性的关系可知f （x） A0的解为函数的单调递增区间，f （x） <0的解为函数的单调递减区间.试题解析：（1） f'（x） = 3x2-6ax +

22、3bf 1）=3 -6a 3b = -12由题意知f 1 =1 - 3a 3b - -11a =1解得(2)所以b = -3由(1)知 f '(x) = 3x2 6ax+3bf x)>0,解得 x >3或x <-1f '（x ）<0,解得一1 <x <3f （x ）的单调递增区间为（一°°,1）和（3,+8）,单调递减区间为（T,3）.考点：导数的几何意义；导数与函数的单调性【易错点睛】本题主要考查了导数的几何意义；导数与函数的单调性.求函数的切线方程的注意事项（1）首先应判断所给点是不是切点，如果不是，要先设出切点.（2

23、）切点既在原函数的图象上也在切线上，可将切点代入两者的函数解析式建立方程组.(3)在切点处的导数值就是切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件.曲线的切线方程是导数的几何意义的应用2X 2.二21 . (1)万+y =1； (2) J3.【解析】试题分析：(1)由题意得，A(0,1B(a,0 >/OAB=60",从而得到a的值，由此能求出椭圆方程；(2) 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程可求出，当当直线 l的斜率存在时，可设直线 l的方程，利用根 的判别式，韦达定理，弦长公式，结合已知条件能求出PQ的最大值.试题解析：(1)如图，依题意,得a =：3,故椭圆的方程为A(0,1

24、 ),B(a,0 )/OAB=60",因为 tan/OAB =BOAO,所以'3哼2X 2.y =1.32 r',6,y = 1 ,得y = ±，此时3.一 . X2(2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=±1 ,代入 +32屈PQ 3m 一X 2 d22y -1m =1 +k ,由3'当直线l的斜率存在时，设直线 l的方程为y = kx + m,因为直线l与L|O相切，所以 J m =1,即 1k2消去 y,整理得(1+3k2 )x2+6kmx+3(m21) = 0,y = kx m2222222. =36k m - 12 13k

25、 m -1 )=12 13k -m i=24kP( 1x1y, ( Q 2,)x( xy+x2 =-16kmi2 ?泾=3 m2 -11 3k2所以 |x1 一x2 = 7(x1 +x2 2 -4x1x2 = %"1 3K,所以 |PQ =g -x2 )2+(y1 y2)2 =川 + k21 x1 - x2二k衿=2.3二1 k2 i2k21 3k2221k22k2m2 3-J=；31 3k222当且仅当1 + k =2kk = ±1 时,PQ取得最大值J3 .综上所述,PQ最大值为V3.考点：1.椭圆的简单性质；2.直线与椭圆的综合；3.基本不等式.【方法点睛】本题主要考

26、查的是圆的方程，椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系等基础知识，推理 论证能力，运算求解能力，数形结合思想，函数与方程思想，分类与整合思想，属于中档题，解决本题 的最重要的思想就是数形结合思想，通过图形分析出其满足的几何关系，再通过韦达定理进行计算，即可求解，因此正确的利用圆的性质，椭圆的性质是解决问题的关键，、-1、22 . 1) 0 <a < ; (2)详见解析8【解析】试题分析：2,2 r . 2ax - x 1(1) f (x )= -ln x - ax +x, f (x )= ,人，1.令4 =18a ,当a之一时，8120 <0,f ( x) <0,f( x在(0, +R )单倜递减，当 0 <a <一 时， >0 ,万程 2ax 一x + 1 = 0有两个不8相等的正根 x1，x2,不妨设 为<乂2,则当 xw (0,x1 U(x2+9 )时，f'(x)<0 ,当 x (x1，x2 )时，f'(x>0,这时f(x件是单调函数.综上,C1a的取值范围是0 <a. (2)由(1)知，当且仅当8a 0,8时，f (x)有极小值点11x1和极大值 x2 , 且 x1 +x 2=，xx=L 2