瞬时变化率——导数PPT课件

1、平均变化率平均变化率 )(xf一般的，函数在区间上 的平均变化率为 ,21xx2121)()(xxxfxf复习第1页/共33页PQoxyy=f(x)割割线线切线切线T如何求曲线上一点的切线如何求曲线上一点的切线?(1)(1)概念概念: :曲线的曲线的割线割线和和切线切线结论结论: :当当Q Q点无限逼近点无限逼近P P点时点时, ,此时此时直线直线PQPQ就是就是P P点处的切线点处的切线. .第2页/共33页PQoxyy=f(x)(2)(2)如何求如何求割线的斜率割线的斜率? ?xxfxxfxxxxfxxfkPQ)()()()()(第3页/共33页PQoxyy=f(x)割割线线切线切线T(3

2、)如何求切线的斜率如何求切线的斜率?)斜率无限趋限趋近点P处切,时0无限趋限当(PQkx)()(xxfxxfkPQ第4页/共33页例例1:1:已知已知 , ,求曲线求曲线y=f(x)y=f(x)在在x=2x=2处的切线的斜率处的切线的斜率. .2)(xxf4)4 , 2(4,042)2(4)2(),)2( ,2(),4 , 2()4 , 2(:22处的切线斜率为所以点无限趋近于常数时无限趋近于当则点的任意一条割线入手先求过解PkxxxxkxxQPPQPQ利利 用用 割割 线线 求求 切切 线线第5页/共33页例例2:2:求曲线求曲线y=f(x)=xy=f(x)=x2 2+1+1在点在点P(1,

3、2)P(1,2)处的切线方程处的切线方程. .因此因此, ,切线方程为切线方程为y-2=2(x-1),y-2=2(x-1),即即y=2x.y=2x.2)4 , 2(2,021)1 (21)1 (),1)1 ( ,1 (),2 , 1 (:22处的切线斜率为所以点无限趋近于常数时无限趋近于当则解PkxxxxkxxQPPQPQ第6页/共33页1 1、先利用直线斜率的定义求出先利用直线斜率的定义求出割线线的斜率；割线线的斜率；2.2.求出当求出当x x趋近于趋近于0 0时切线的斜时切线的斜率率3 3、然后利用点斜式求切线方程然后利用点斜式求切线方程. .求曲线在某点处的求曲线在某点处的切线方程切线方

4、程的基本步骤的基本步骤: :第7页/共33页课堂练习课堂练习第8页/共33页拓展研究拓展研究求此点坐标.求此点坐标.某点的切线斜率为2,某点的切线斜率为2,2x在2x在x x已知曲线y已知曲线y2 2第9页/共33页二、物理意义二、物理意义瞬时速度瞬时速度svt在物理学中，我们学过平均速度在物理学中，我们学过平均速度新课讲新课讲解解 平均速度反映了在某一段时间内平均速度反映了在某一段时间内运动的快慢程度运动的快慢程度, ,那么那么, ,如何刻画在如何刻画在某一时刻某一时刻运动的快慢程度呢运动的快慢程度呢? ?第10页/共33页实例实例:212sgt老师去蹦极老师去蹦极, ,假设老师下降的运动假

5、设老师下降的运动符合方程符合方程 , ,请同学们计算请同学们计算老师从老师从3 3秒到秒到5 5秒间的平均速度秒间的平均速度, ,如何如何计算出在第计算出在第3 3秒时的速度秒时的速度, ,即即t=3t=3时的时的瞬时速度呢瞬时速度呢? ?第11页/共33页212sgt瞬时时速秒时3此即,3无限趋,时0无限趋当)6(213)3(321)3(21,时间内的平均速度3到3先计:解22的近于常数近于算tgvttgtgtgtsvttt(s(s表示位移表示位移,t,t表示时间表示时间) )第12页/共33页什么是物体运动的瞬时速度？0t 时位置时位置1t)(0ts)(1ts例1、一个小球从高空自由下落，

6、其走过的路程s（单位：m)与时间t(单位：s)的函数关系为：221)(gtts其中 为重力加速度（ =9.8m/s），试估计小球在t=5s这个时刻的瞬时速度。gg分析：当时间t从t0变到t1时，这段时间的平均速度为01202101012121)()(ttgtgttttststs5s到6s这段时间内小球的平均速度为)/( 9 .5315 .1224 .17656) 5() 6(smss第13页/共33页5s到5.1s这段时间内小球的平均速度为)/(5 .491 . 05 .12245.12751 . 5)5() 1 . 5(smss解：我们将时间每次缩短为前面的101 49.000490.004

7、90.00015.0001549.00490.0490.0015.001549.0490.490.015.01549.54.950.15.15平均速度路程的改变量时间的改变量t1/st0/sst / )(ms / )()/()(smts第14页/共33页 当时间t1趋于t0=5s时，平均速度趋于49m/s，因此，可以认为t0=5s时的瞬时速度为49m/s。物理意义：如果小球保持这一时刻的速度进行运动的话，每秒将要运动49m。第15页/共33页OXx例2、如图所示，一根质量分布不均匀的合金棒，长为10m， （单位：m）表示OX这段棒的长， （单位：kg）表示OX这段棒的质量，它们满足下列函数关系

8、：估计该合金棒在 =2m处的线密度。xyxxfy2)(x分析：考虑一段合金棒的平均线密度注： 一段合金棒的平均线 密度就是这段合金棒的质量 与这段合金棒长度的比值。当长度 从 变到 时，这段合金棒的平均线密度为x0 x1x0101010122)()(xxxxxxxfxfxy度为这段合金棒的平均线密到mxmx3210)/(636. 023828. 2464. 323)2()3(mkgff第16页/共33页解：我们将长度每次都缩小为前面的1010.710.0000710.00012.000120.710.000710.0012.00120.710.00710.012.0120.700.0700.1

9、2.1 2平均线密度质量 的改变量长度 的改变量mx /0mx /1xmx / )(ykgy / )()/()(mkgxy第17页/共33页 当长度 趋于 =2m时，平均线密度趋于0.71kg/m，因此，可以认为 =2m处线密度 为0.71kg/m。1x0 x0 x物理意义：如果有1m长的这种线密度 的合金棒，其质量为0.71kg.第18页/共33页结论：xxfxxfxxxfxfxy)()()()(000101 对于一般的函数 ，在自变量 从 变到 的过程中，若设 ， ,则函数的平均变化率为：)(xfy0 x1xx01xxx)()(01xfxfyx 当 趋于0时，平均变化率就趋于函数在 点的瞬

10、时变化率。0 x瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢。第19页/共33页练习1：已知函数 ，求自变量在下列的变化过程中，函数值的平均变化率： 自变量 从1变到1.1 自变量 从1变到1.01 自变量 从1变到1.001估计当 =1时，函数值的瞬时变化率是多少？xy1xxxx1.00111.0111.11函数值的平均变化率函数值改变量自变量改变量0 x1xxyxy0.10.010.001-0.0909-0.909-0.00990-0.990-0.000999-0.999解：由 ，按照下表求出相应的平均变化率： xy1第20页/共33页练习2：某个物体走过的路程s（单位：m）是时间 t（单位:

11、s）的函数： ，通过平均速度估 计物体在t=2时刻的瞬时速度。12 ts解：由 我们按照下表计算出相应的平均速度12 ts 平均速度路程的改变量时间的改变量t1/st0/sst / )(ms / )()/()(smts22222.12.012.0012.00010.10.010.0010.00010.410.04010.0040010.000400014.14.014.0014.0001第21页/共33页 设物体作直线运动所经过的路程设物体作直线运动所经过的路程为为s s= =s s( (t t). ). 以以t t0 0为起始时刻，物体在为起始时刻，物体在 t t时间内的平均速度为时间内的平

12、均速度为 vttfttfts)()(00 这个常数就是物体在这个常数就是物体在t t0 0时刻时刻的的瞬时速度瞬时速度. . 当当 t t0 0时，时，ttfttfts)()(00。结论结论: :常数v第22页/共33页小结：xxfxxfxxxfxfxy)()()()(0000101 对于一般的函数 ，在自变量 从 变到 的过程中，若设 ， ,则函数的平均变化率为：)(xfy0 x1xx01xxx)()(01xfxfyx 当 趋于0时，平均变化率就趋于函数在 点的瞬时变化率。0 x瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢。第23页/共33页二、物理意义二、物理意义瞬时加速度瞬时加速度 设一辆轿

13、车在公路设一辆轿车在公路上做加速直线运动上做加速直线运动, ,假假设设t t秒时的速度为秒时的速度为 求求t=5t=5秒秒时轿车的时轿车的加速度加速度. .3)(2 ttv( 10 )( 10 )第24页/共33页小结小结: :(1)(1)求曲线上一点切线的斜率时求曲线上一点切线的斜率时, ,先利用先利用平均变化率平均变化率求出割线的斜率求出割线的斜率, ,再令再令求出求出切线的斜率切线的斜率0 x(2)(2)在求瞬时速度时在求瞬时速度时, ,先利用先利用平均变化率平均变化率求求出平均速度出平均速度, ,再令再令 , ,求出求出瞬时速度瞬时速度0 x(3)(3)在求瞬时加速度时在求瞬时加速度时

14、, ,先利用先利用平均变化率平均变化率求出平均速度求出平均速度, ,再令再令 , ,求出求出瞬时加速度瞬时加速度. .0 x第25页/共33页0 x平均变化率平均变化率 瞬时变化率瞬时变化率重要结论重要结论: :第26页/共33页处的在点叫做函数并把0)(xxfyA一一. .导数的概念导数的概念0,)()()(0000 xxxfxxfxyxfyxx当有定义，有定义，在区间（在区间（函数函数),)(baxfy ),0bax（ ，处有增量处有增量在在如果自变量如果自变量xxx 0);()(00 xfxxfy 增量增量之间的之间的到到在在xxxxfy 00)(.)()(00 xxfxxfxy 时，时

15、，如果当如果当0 xAxy处处在点在点我们就说函数我们就说函数0)(xxfy 相应地有相应地有那么函数那么函数 y就叫做函数就叫做函数比值比值xy 平均变化率平均变化率即即,可导，可导，导数导数0,xxy 记为记为第27页/共33页由定义求导数（三步法由定义求导数（三步法）步骤:);()()1(00 xfxxfy 求增量求增量;)()()2(00 xxfxxfxy 算比值算比值时在求0.) 3(0 xxyyxx例例1.1.求求y=xy=x2 2+2+2在点在点x=1x=1处的导数处的导数解：解：222)(2)21(2)1(xxxy xxxxxy 2)(222|0,21xyxxxy时当变题变题. .求求y=xy=x2 2+2+2在点在点x=ax=a处的导数处的导数第28页/共33页2.( )(1) ,(2)( (2)f xxff例3若求和第29页/共33页二、函数在一区间上的导数：二、函数在一区间上的导数： 如果函数 f(x)在开区间 (a,b) 内每一点都可导，就说f(x)在开区间 (a,b)内可导这时，对于开区间 (a,b)内每一个确定的值 x0，都对应着一个确定的导数 f (x0)，这样就在开区间(a,b)内构成了一个新的函数，我们把这一新函数叫做 f(x) 在开区间(a,b)内的导函数，简称为导数，记作)()(xyyxf需指明自变量时记作或即时的值当0,)()()(xxx