唐杰+追及相遇问题

1、专题课专题课 追及和相遇问题追及和相遇问题飙车撞车视频飙车撞车视频思考：什么情况下前后两辆车之间的距思考：什么情况下前后两辆车之间的距离离X增大、减小和不变？增大、减小和不变？ 甲乙两人相距甲乙两人相距32m，为表示友好，同时相，为表示友好，同时相向运动，甲做初速度为向运动，甲做初速度为1m/s，加速度为，加速度为2m/s2的匀加速运动，乙的速度为的匀加速运动，乙的速度为3m/s，求甲乙相遇时间？求甲乙相遇时间？同学们一起做同学们一起做一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮起时汽车以起时汽车以3m/s2的加速度开始行驶，恰在的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车

2、以这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，的速度匀速驶来，从后面超过汽车。试求：从后面超过汽车。试求：（1）经过多长时间汽车追上自行车？）经过多长时间汽车追上自行车？（2）汽车从路口开动后，在追上自行车之）汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距前经过多长时间两车相距X最远？最远？此时距离是多少？此时距离是多少？解法一解法一 公式法公式法两者速度相等时，两车相距最远。两者速度相等时，两车相距最远。 （速度关系）（速度关系） v汽汽=at=v自自 t= v自自/a=6/3=2sS= v自自t at2/2=62 m 3 22 /2m=6m匀加速直线运动物体追及同向匀速物体匀加速直线运

3、动物体追及同向匀速物体时，追上前具有最大距离的条件：时，追上前具有最大距离的条件：两者速度相等两者速度相等总结总结解法二解法二 用图象求解用图象求解1）自行车和汽车的）自行车和汽车的v t 图象图象 如图如图v/（ms-1）v60t/sttV汽汽V自自由于图线与横坐标轴所包围的面积表示由于图线与横坐标轴所包围的面积表示位移的大小，所以由图上可以看出位移的大小，所以由图上可以看出在相遇之前，在在相遇之前，在t时刻两车速度相等时，时刻两车速度相等时， 自行车自行车的位移（矩形面积）与汽车位移（三角形面积）的位移（矩形面积）与汽车位移（三角形面积）之差（即斜线部分）达最大，所以之差（即斜线部分）达最

4、大，所以t=v自自/a= 6 / 3=2 s2）由图可看出，在）由图可看出，在t时刻以后，由时刻以后，由v自自线与线与v汽汽线组线组成的三角形面积与标有斜线的三角形面积相等时，成的三角形面积与标有斜线的三角形面积相等时，两车的位移相等（即相遇）。所以由图得相遇时，两车的位移相等（即相遇）。所以由图得相遇时， t=2t=4 s v = 2v自自=12 m/s 11svv6 22 6 622ttm 自自解法三解法三 用数学求极值方法来求解用数学求极值方法来求解设汽车在追上自行车之前经过设汽车在追上自行车之前经过t时间两车相距最时间两车相距最远远S=S自自S汽汽=v自自t at2/2（位移关系）（位

5、移关系） S=6t 3t2/2由二次函数求极值条件知由二次函数求极值条件知t= b/2a = 6/3s = 2s时，时， S最大最大 Sm=6t 3t2/2= 62 3 22 /2=6 m 追及和相遇问题的分析方法追及和相遇问题的分析方法: 1.1.根据对两个物体的运动过程的分析，根据对两个物体的运动过程的分析，画出画出运动过程的示意图运动过程的示意图2.2.找出物体间找出物体间两个关系两个关系（位移和时间），建（位移和时间），建立立位移方程位移方程！抓住相距最近条件（速度相！抓住相距最近条件（速度相等），等），建立速度方程建立速度方程！例例2、一车从静止开始以、一车从静止开始以1m/s2的加

6、速度前进，车后相距的加速度前进，车后相距S0为为25m处，某人同时开始以处，某人同时开始以6m/s的速度匀速追车，能的速度匀速追车，能否追上？如追不上，求人、车间的最小距离。否追上？如追不上，求人、车间的最小距离。 解析：解析：依题意，人与车运动的依题意，人与车运动的时间相等时间相等，设为，设为t,当人追上车时，两者之间的当人追上车时，两者之间的位移关系位移关系为：为：S车车+S0= S人人即：即： at22 + S0= v人人t由此方程求解由此方程求解t，若有解，则可追上；，若有解，则可追上； 若无解，则不能追上。若无解，则不能追上。 代入数据并整理得：代入数据并整理得：t212t+50=0

7、=b24ac=1224501=560所以，人追不上车。所以，人追不上车。S0v=6m/sa=1m/s2 在刚开始追车时，由于人的速度大于车的速度，因在刚开始追车时，由于人的速度大于车的速度，因此人车间的距离逐渐减小；当车速大于人的速度时，此人车间的距离逐渐减小；当车速大于人的速度时，人车间的距离逐渐增大。因此，人车间的距离逐渐增大。因此，当人车速度相等时，当人车速度相等时，两者间距离最小。两者间距离最小。at= v人人 t=6s在这段时间里，人、车的位移分别为：在这段时间里，人、车的位移分别为：S人人=v人人t=66=36mS车车=at2/2=162/2=18mS=S0+S车车S人人=25+1

8、836=7m 一车从静止开始以一车从静止开始以1m/s2的加速度前进，车后相的加速度前进，车后相距距S0为为25m处，某人同时开始以至少多大的速度匀速追处，某人同时开始以至少多大的速度匀速追车，才能追上车？车，才能追上车？车恰好追上人的速度多大车恰好追上人的速度多大?解析：解析：依题意，人与车运动的依题意，人与车运动的时间相等时间相等，设为，设为t,当人追上车时，两者之间的当人追上车时，两者之间的位移关系位移关系为：为：S车车+S0= S人人即：即： at22 + S0= v人人t 代入数据并整理得：代入数据并整理得：t2 2v人人t+50=0S0v=?m/sa=1m/s2=b24ac=(2v

9、人人)2 4501 0所以，所以，5 2/vm s人5 2/,.5 2 ;5 2/vm stsvm sv人人车当时 人恰好追上车此时车速小小结结匀速运动的物体甲追及同向匀加速直线运动物匀速运动的物体甲追及同向匀加速直线运动物体乙时：体乙时： 若追不上，则若追不上，则V甲甲= V乙乙是两者相距最近的是两者相距最近的条件；条件； 若能追上，则若能追上，则V甲甲= V乙乙是恰好追上的条件是恰好追上的条件 例例3.3. 在平直公路上有两辆汽车在平直公路上有两辆汽车A、B平行同向行驶，平行同向行驶，A车以车以vA=4m/s 的速度做匀速直线运动，的速度做匀速直线运动，B车以车以vB=10m/s的速度做匀

10、速直线运动，当的速度做匀速直线运动，当B车行驶到车行驶到A车车前前S=7m处时关闭发动机以处时关闭发动机以2m/s2的加速度做匀减速直的加速度做匀减速直线运动，则从此时开始线运动，则从此时开始A车经多长时间可追上车经多长时间可追上B车？车？ 分析：分析：画出运动的示意图如图所示：画出运动的示意图如图所示：vA= 4m/svB= 10m/s7m追上处追上处a= -2m/s2A A车追上车追上B B车可能有两种不同情况：车可能有两种不同情况：B B车停止前被追及和车停止前被追及和B B车停止后被追及。车停止后被追及。究竟是哪一种情况，应根据解答结果，由实际情况究竟是哪一种情况，应根据解答结果，由实

11、际情况判断。判断。解答：解答：设经时间设经时间t 追上。依题意：追上。依题意： vBt + at2/2 + S = vAt 即：即：10t - t 2 + 7 = 4 t t=7s t=-1s(舍去舍去)B车刹车的时间车刹车的时间 t= vB / a =5s显然，显然，B车停止后车停止后A再追上再追上B。B车刹车的位移车刹车的位移 SB=vB2/2a=102/4=25m A车的总位移车的总位移 SA=SB+S=32m t =SA/vA=32/4=8s思考：思考：若将题中的若将题中的vA=4m/s 改为改为vA=16m/s ，结果如何？，结果如何？即即甲车停止前被追及，甲车停止前被追及， t=1

12、s 即：即：10t - t 2 + 7 = 16t t=1s t=-7s(舍去舍去)小小结结 匀速运动的物体甲追及同向匀减速直线运匀速运动的物体甲追及同向匀减速直线运动物体乙时，要分析是在乙停止前后被追及。动物体乙时，要分析是在乙停止前后被追及。思思考考 若甲的速度小于乙的初速度，则若甲的速度小于乙的初速度，则V甲甲= V乙乙有什么意义吗？有什么意义吗？ 若甲的速度小于乙的初速度，则若甲的速度小于乙的初速度，则V甲甲= V乙乙是两者相距最远的条件；是两者相距最远的条件；思思考考 若甲的速度大于乙的初速度，则若甲的速度大于乙的初速度，则V甲甲= V乙乙有什么意义吗？有什么意义吗？ 没有特殊意义。

13、没有特殊意义。例例4.汽车正以汽车正以10m/s的速度在平直公路上做匀速直线运动的速度在平直公路上做匀速直线运动,突突然发现正前方然发现正前方10m处有一辆自行车以处有一辆自行车以4m/s的速度同方向做的速度同方向做匀速直线运动匀速直线运动,汽车立即关闭油门汽车立即关闭油门,做加速度为做加速度为6m/s2的匀减的匀减速运动速运动,问：问：（1）汽车能否撞上自行车）汽车能否撞上自行车?若汽车不能撞上自行车，汽车若汽车不能撞上自行车，汽车与自行车间的最近距离为多少？与自行车间的最近距离为多少？（2）汽车减速时，他们间距离至少多大不相撞？）汽车减速时，他们间距离至少多大不相撞？ 汽车在关闭油门减速后

14、的一段时间内，其速度大于自行车汽车在关闭油门减速后的一段时间内，其速度大于自行车速度，因此，汽车和自行车之间的距离在不断的缩小，当速度，因此，汽车和自行车之间的距离在不断的缩小，当这距离缩小到零时，若汽车的速度减至与自行车相同，则这距离缩小到零时，若汽车的速度减至与自行车相同，则能满足汽车恰好不碰上自行车能满足汽车恰好不碰上自行车v汽汽= 10m/sv自自= 4m/s10m追上处追上处a= -6m/s2分析：分析：画出运动的示意图如图所示画出运动的示意图如图所示解：解：（1）汽车速度减到汽车速度减到4m/s时运动的时间时运动的时间和发生的位移分别为和发生的位移分别为t=(v自自- v汽汽)/a

15、=（4-10）/(-6）s=1sS汽汽= （v自自2-v汽汽2）/2a=(16-100)/(-12)=7m这段时间内自行车发生的位移这段时间内自行车发生的位移S自自= v自自t=4m因为因为 S0+S自自S汽汽所以，汽车不能撞上自行车。所以，汽车不能撞上自行车。汽车与自行车间的最近距离为汽车与自行车间的最近距离为S=S0+S自自S汽汽=（10+47）m=7m（2）要使汽车与自行车不相撞则）要使汽车与自行车不相撞则S=0 则汽车减速时它们之间的距离至少为则汽车减速时它们之间的距离至少为 S0=S汽汽S自自=（7-4）m=3m小小结结匀减速直线运动物体乙追及同向匀速运动的物匀减速直线运动物体乙追及

16、同向匀速运动的物体甲时：体甲时： 若追不上，则若追不上，则V甲甲= V乙乙是两者相距最近的是两者相距最近的条件；条件； 若能追上，则若能追上，则V甲甲= V乙乙是恰好追上的条件是恰好追上的条件分析追及和相遇问题时要注意：分析追及和相遇问题时要注意：1.一定要抓住一个条件两个关系一定要抓住一个条件两个关系（1）一个条件是两个物体）一个条件是两个物体速度相等速度相等时满足的临界条件时满足的临界条件，如两个物体的距离是最大还是最小，是否恰好追上，如两个物体的距离是最大还是最小，是否恰好追上等。等。（2）两个关系是）两个关系是时间时间关系和关系和位移位移关系关系时间关系指两物体是同时运动还是一前一后时

17、间关系指两物体是同时运动还是一前一后位移关系指两物体同地运动还是一前一后，位移关系指两物体同地运动还是一前一后，通过画运通过画运动示意图找两物体间的位移关系是解题的关键。动示意图找两物体间的位移关系是解题的关键。2.若被追赶的物体做若被追赶的物体做匀减速运动匀减速运动，一定要注意，一定要注意，追上追上前该物体是否停止运动前该物体是否停止运动。3.仔细审题，注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘仔细审题，注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中隐含条件，如题目中隐含条件，如“刚好刚好”、“恰巧恰巧”、“最多最多”、“至少至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的等，往往对应一个临界状态，满足相应的临

18、界条件。临界条件。1、匀加速直线运动物体追及同向匀速物体时，、匀加速直线运动物体追及同向匀速物体时，则则V甲甲= V乙乙追上前具有最大距离的条件；追上前具有最大距离的条件；2、匀速运动的物体甲追及同向匀加速直线运、匀速运动的物体甲追及同向匀加速直线运动物体乙时：动物体乙时：若追不上，则若追不上，则V甲甲= V乙乙是两者相是两者相距最近的条件；距最近的条件；若能追上，则若能追上，则V甲甲= V乙乙是恰好是恰好追上的条件追上的条件3、匀速运动的物体甲追及同向匀减速直线运、匀速运动的物体甲追及同向匀减速直线运动物体乙时，动物体乙时，若甲的速度小于乙的初速度，则若甲的速度小于乙的初速度，则V甲甲= V乙乙是两者相距最远的条件。是两者相距最远的条件。4