高考数学会考综合题选及解答

1、会考综合题选1设数列 an 和 bn 满足 a1b1 6 ， a2 b24， a3 b33 ，且 an 1 an( n N ) 是等差数列，数列 bn2( n N )是等比数列 . （）求数列 an ， bn 的通项公式； （）是否存在 k N ，使ak bk(0, 1 )？若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由 .22如图是一个长方体截去一个角所得的多面体的直观图及它的正（主）视图和侧 （左）视图（单位： cm）（ I）画出该多面体的俯视图；（）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（）在所给直观图中连结BC ' ，证明： BC ' 平面 EFG D'62C'2

2、GFB'24EDC4A正视图侧视图B直观图3已知圆 C 与 y 轴交于两点 M (0, 2) ， N (0, 2) ，且圆心 C 在直线 2xy 6 0上（ I）求圆 C 的方程；（）过圆 C 的圆心 C 作一直线，使它夹在两直线 l1 : 2x y 20 和 l 2 : xy 3 0 间的线段 AB 恰好被点 C 所平分，求此直线的方程4在正方体ABCD-A 1B 1C1 D1 中，点 O 为底面对角线AC 与 BD 的交点 .求证 BD A1C1；（ 1）求证 BD 平面 A1ACC 1;求二面角A 1-BD- C 1 的平面角的余弦值。5已知 A( x1, y1 ) 、 B(x2

3、x 2y21( a b 0) 的两个动点，, y2 ) 是椭圆2b2a求线段 AB 长的最大值和最小值。6如图， 在四棱锥V-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形， 其对角线 AC与 BD 交于 O 点，侧棱 VA 底面 ABCD ，而且 VA = AD = a.（ 2） 求侧棱 VD 与底面 ABCD 所成角的大小；（ 3） 求证 BD 面 VAC ；（ 4） 求二面角 V-BD-A 的大小O 为坐标原点，且OA OB，VADBCx 2y 2l 对称，7已知椭圆 C：1 ，直线 l ： y = 4x + m ，若椭圆 C 上总存在着两个不同的点关于直线43求 m的取值范围。8如图，在正三棱

4、锥A BCD 中，侧面ABD 是边长为1 的正三角形， O 为 BD 的中点，底面BCD 满足BC=CD ， BCD90 ，且侧面 ABD底面 BCDA（ I）求证： A0 平面 BCD ；（ II ）求二面角 A BCD 的平面角的正切值；（ III ）求三棱锥 A BCD 的体积 .BDOC9如图，在正方体ABCD A1 B1C1D1 中 , 棱 AB 1,E、 F 分别为 AB、 BC 的中点 ,（）求证： EFBD1 ；D1C1（）求二面角B1EF B 的平面角的正切值；A1B1（）求三棱锥BBEF 的体积1DCFAEB10如图 3，在平行四边形0沿对角线 AC将 DAC折起至 PAC

5、的位置 (DABCD 中,AB=2,BC=1 , ABC=60,点变为 P 点 ), 使 PA AB.(1)求证 : PA平面 ABCP(2)求异面直线 PB 与 AC 所成的角 (用反三角函数表示 );(3)能否在 AC 上找一点 E , 使二面角 P-BE-A 的大小为045 ?若能 ,求出 E 点的位置 ,若不能 ,请说明理由 .ABDC图 311已知数列 an 中， a11, a23,a37 ，且数列 an 1an ( nN* ) 是等差数列 .（ 1）求数列 an 的通项公式 ;（ 2）若数列 bn 满足 b1 b2bnan ，求使对于一切 nN, an tbn都成立的 t 的取值集

6、合 .12已知函数 f ( x)x31ax 2b .(1)若 yf ( x) 在 x1 处的极值为5 ，求 yf (x) 的解析式并确22定其单调区间； (2)当 x(0,1 时, 若 yf (x) 的图象上任意一点处的切线的倾斜角为,求当 04时 a 的取值范围 .13如图已知抛物线y24 x的焦点为，过的直线交抛物线于M、N两点，其准线 l 与x轴交于K4,FF点 .（ 1）写出抛物线的焦点坐标及准线方程；（ 2）求证： KF 平分 MKN ；（ 3）O 为坐标原点，直线MO、NO 分别交准线于点P、Q，设直线 MN 的倾斜角为，试用表示线段 PQ的长度 |PQ|，并求 |PQ|的最小值

7、.yQAM14 在正项等比数列 an 中， a14 , a364.KOFx(1)求数列 an 的通项公式 an ;PN记 bn log4an ,求数列 bn 的前 n 项和 Sn ;(2)图 4(3)记 y24m,对于（ 2）中的 Sn ，不等式 ySn 对一切正整数n 及任意实数恒成立，求实数 m 的取值范围 .1解：（）由已知a2a12， a3a21， (1)(2)1，所以， aa(a2a )( n1) n3 .n 1n1所以， an(anan1 )(an1an 2 )(a2a1 )a1(n4)(n 5)(2)61( n27n18).2又， b 24 ， b22 ，所以， bn24 (1

8、) n1 ， bn24 ( 1) n 1 .1222（）设 f (k)akbk1 (k27k18)24 ( 1)n 1221 (k7)27(1 )k 32282于是，当 k4时， f (k ) 为增函数，所以， f ( k)f (4)1，2又 f (1) f (2)f (3)0 ，所以不存在kN，使 ak bk1(0, ).22解：（）如图6422俯视图（）所求多面体体积VV长方体 V正三棱锥44 611222284 (cm 3 ) 323（）证明：在长方体ABCDABCD 中，GDC连结 AD ，则AD BC AFB因为 E，G 分别为 AA ， A D 中点，所以 AD EG，ED从而 E

9、G BC 又 BC平面 EFG ，C所以 BC 平面 EFG AB3I）因为圆 C 与y轴交于两点M (0,2)，N (0, 2)，所以圆心 C 的纵坐标为0 解：（又因为圆心 C 在直线 2xy 60 上，所以 x3 所以圆心 C (3,0)，半径 MC322213 所以圆 C 的方程为 ( x3)2y213（）由（ I ）知圆心 C (3,0) ，设 A 点的纵坐标为y1 ， B 点的纵坐标为y2 ，直线 AB 的斜率为 k ，则直线 AByk (x3),4k2xy 20.解得 y1k 2的方程为 yk (x 3) ，分别与 l1 ， l2 联立得yk (x3),解得 y26k xy30.

10、k 1由中点坐标公式，有1 ( y1y2 )0即4k6k0 所以 k 82k2k 1故所求直线方程为y8( x 3) 即8xy240当 k 不存在时，过点C (3,0)的直线方程为x3 与 l1 交点为 (3, 4) ，与 l 2 交点为 (3,6) ，其中点(3, 1)与圆心 C (3,0)不符，故 x3 不是所求直线4 56略10 (1) 在平行四边形0ABCD 中 ,AB=2,BC=1 , ABC=60,P AC3, ADAC , 故折起后 PAAC , 又 PA AB, PA平面 ABC.4 分AB(2) PBPAACCB ,FEAC PBAC (PAAC CB)DC图 3AC PAA

11、C ACAC CB0303 , cos AC, PBAC PB315,| AC| |PB|355PB 与 AC 所成的角为 arccos15 8 分5(3)假设在 AC 上存在点 E 满足条件，过A 作 AFBE于 F, 连接 PF,则 PFA为二面角 P-BE-A 的平面角 , PFA=450. AF=1, 设 EC= t由 AFE BCE得 : AFEFAE ,BCECBE EF=EC= t ,AE=EB, AE=AC-EC=32222223t ,而 AF=1, 由 AF+FE =AE得 :1 + t = (3 t)解得 t3在 AC 上存在点 E,当 AE=2EC012 分时二面角 P-

12、BE-A 的大小为 45 .11（ 1） a11, a23,a37 , a2a1 2, a3a24又数列 an 1an ( nN * ) 是等差数列，故其公差为422 an 1an( a2a1 ) (n1) 2 2n .当 n2时， ana1( a2a1 )(a3a2 )(anan1)12(123n 1)n 2n1，又 a1 1 也适合上式， ann2n1(nN * ) 5 分（ 2） b1b2bnan , b1a1 1当 n2时，221, (n 1) 7 分bnanan 1nbn2n2, (n2)当 n1 时， a1tb1t1, 9 分当 n 2 时 an tbn( n2n 1) t (2

13、n 2)(n 1)n11 2t11 (n1)2 ,n1要使 atb恒成立32tt312 分n, n2综上所述 : t 的取值集合是 (- ,1).13 分12 (1) f / ( x)3x2ax , 由题意知f / (1)0f (1)5 2 分23a0x33 x211 a b5a3, b2 , f (x)2 4分222 f / (x)3x23x3x(x1)5 分x(- ,0)0(0,1)1(1,+ )f / (x)00f (x)递减递增递减 f (x) 的递增区间为 (0,1), 递减区间为 (- ,0) 及 (1,+ )（ 2） tan3x2ax , 03x2ax1 在 x(0,1 上恒成立

14、 , 8 分当 03x2ax 时, 可得 a3x , a 310 分当 3x2ax 1 时 , a13x,x又 13x2 3 ( 当且仅当 x3时取等号 ), a23 , 综合得 3 a 23x3131F(1,0)，准线方程为x1.2分（ ）抛物线焦点坐标为（ 2）法一：作MM 1 准线 l 于 M 1，NN 1准线 l于N ，则 |MF |M1K |1|NF|，|N1K|又由抛物线的定义有|MF |M1M |N1K | |M1K |NF| |N1N|, |NN1 | |MM1| KMM 1= KNN 1，即 MKF= NKF ， KF 平分 MK N 6 分法二：设直线MN 的方程为 xmy

15、1。设 M、N 的坐标分别为 ( y12, y1 ),( y22, y2 )44xmy14my4 0 , yy4m, y y4 4 分由y 22y 24x121设 KM 和 KN 的斜率分别为k1 ,k2 ，显然只需证k1k2 0即可。 K ( 1,0) k1 k2y1y24( y1y2 )( y1 y24)y12y22( y124)( y124)0 6 分114 4（ 3）设 M、 N的坐标分别为 ( y12 , y1),( y22 , y2 ) ，44由 M ， O， P 三点共线可求出P 点的坐标为 ( 1,4 ) ，y1由 N， O， Q 三点共线可求出Q 点坐标为 (1,4 ) ，8

16、 分y2xmy12440设直线 MN 的方程为 xmy 1。由ymyy24x y1y2 4m, y1 y24则|PQ| | 44 | 4( y1y2 )( y1 y2 )24 y1 y2y1y2| y1 y2 |16m2 164m21 11 分又直线 MN 的倾斜角为，则 mcot ,(0,)，|PQ|4 1cot 24sin时， | PQ |min4 13 分214解： (1).q2a316 ，解得 q4或 q4(舍去)a1q 4 2 分ana1qn 144n14n 3 分 (q4 没有舍去的得2 分 )（ 2）bnlog 4 ann ， 5数列 bn 是首项 b11, 公差 d1 的等差数列Snn(n1) 7分2(3)解法