全国初中数学联赛试题详解

1、20XX 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题：（本题满分42 分，每小题7 分）1 已知 a21， b32 ， c62 ，那么 a,b, c 的大小关系是（ C ）A. a b cB. a c bC. b a cD. b c a解答： a2211， b321， c6 221，12162313212由 2 1显然： b a c2 方程 x22xy3 y234的整数解 ( x, y)的组数为（ B ）A 3.B4.C 5.D 6.解答： x22xy3 y2x22xy 3 y22 y2( x y)22 y 234由 0、1、 2、 3、 4、 5、 6 的平分别是 0、 1、 4、

2、9、16、 25、 36 知唯有 16+2 9=34、x y5 x y 5 x y 5 x y5故xy5y4y4y 4y 4y4得y4 、 y4、 y4、 y4共 4组解。x=9x=1x=9x=13已知正方形 ABCD的边长为1， E 为 BC边的延长线上一点，CE 1，连接 AE，与 CD交于点 F，连接BF 并延长与线段DE交于点 G，则 BG的长为（ D ）A 6B5C 26D 253333ADGFBCHE解答： 如图，做 GH BE于 H，易证 Rt AB E Rt GHB，设 GH=a，则 HE=a， BH=2-a，由 GH = BH 得 a = 2-a 解得 a= 2 ，故 BG=

3、 2 5 。ABBE12334 已知实数 a, b满足 a2b21 ，则 a4ab b4 的最小值为（ B ）1B0.C 1.9A .D .8819解答： a4ab4=（ a22222ab=2a2b2ab 1=2(ab2bb ） 2a b)84考查以 ab 整体为自变量的函数的图像为抛物线y=2( ab1 )29其对称轴为ab1484由 a2b22ab0和 a2b22ab0 知1ab1又 11 )11122(，故当 ab时，函数取最小值0。424225若方程 x22 px 3 p 2 0 的两个不相等的实数根x1 , x2 满足 x12x134(x22x23 ) ，则实数 p的所有可能的值之和

4、为（ B ）A 0.3C 1.5B.D .44解答：方程 x22 px 3p 2 0 两个不相等的实数根故(2 p) 24(3p2)4 p212p8 0解得 -2< p1。x1 , x2 满足 x1x22 p, x1 x23p 2故 x12x22( x1x2 ) 22x1 x2 = 4 p22(3p2)4 p26 p 4x13x23( x1x2 )( x12x1 x2x22 )2 p(4 p26 p3 p2)8p318p 24 p由 x12x134(x22x23 ) 得 x12x22x13x234即 4 p26p 48 p318 p24 p =4整理得p(4 p1)( p2)0解得 p1

5、0, p21 , p3214 -2< p1 p2.46由12 3，4这四个数字组成四位数abcd（数字可重复使用） ，要求满足 ac.， ，b d 这样的四位数共有（ C ）A 36 个.B40 个.C 44 个.D 48 个.解答：分为4 类：1）由同一个数字组成如 1111共4个数2）由两个不同数字组成如 1221 112221122211而从 4 个数里面取2 个共六种取法故此类可构成 46=24 个数3）由三个不同数字组成如 1232321221232321 此类只有两种组合即1+3=2+2 和 2+4=3+3故可构成24=8 个数4）由四个不同数字组成如 12431342421

6、343122134243131243421共8个综上所有的数共4+24+8+8=44 个二、填空题：（本题满分 28分，每小题7 分）1 已知互不相等的实数a,b, c 满足 a1b1c1t ，则 t1bca解答：由 a1b1c1t 得 bt1， cat1，1at1tbcaaataa整理得 at 3t 2a2 t2a2at1 0 即 (t 21)(a2at1)0同理得： (t 21)(b2bt1)0(t 21)(c2ct1)0若 t21 0 ，则 a,b,c 为二次方程 x2xt10 的解这与 a, b, c 互不相等矛盾， 不满足题意， 故 t 210即 t212使得 52m1是完全平方数的

7、整数m 的个数为1解答： 52m1= (21)2m 1 2m 12m 1，由题知 52m1为完全平方数，故设 2m 22m 1 a22a 11）若 2m 2a2 ,2 a2m得 2m 222( m 1) 解得 m 42） 2ma2 ,2 a2m2 解得 m1 不合题意。综上符合题意的m 只有一个。3在 ABC 中，已知 AB AC ， A 40°，P 为 AB上一点， ACP 20°，则 BC 3AP解答：如上图，作A D BC于点 D，交 CP于点 F，在 AD上找点 D，使 ECD 30°，如上图， 1 2= 1 BAC=20 °， 3=20

8、6; 4=70° - 20° -30 ° =20° AF=FC, AP F CEF.2在 Rt DEC 中 CDcos 5 cos303，故 BC2CD3CE2APCE4 已知实数a,b,c 满足 abc1 ， a b c4 ，abc4，则a23a 1 b23b 1 c23c 1 9a2b2c2 332解答：a=abc11123aa2bc3abcbca3bca3bcaab c1 bca1111aabc1bcbc1bc(1b)(bc)同理：b11c) , c2c13b1b 3ac(1a)(13c1c 3abb2c11c23c1c3ab(1a)(1 b)故1

9、114a)(1b)(1a)(1 c)(1c)(1b)9(1化简得：91 abcacbcababc 解得： 2ac2bc2ab142由 ( abc)2a2b2c22ab2bc2ac4 得： a2b2c21613322第二试（A）一、（本题满分 20 分） 已知直角三角形的边长均为整数，周长为30，求它的外接圆的面积 .解设直角三角形的三边长分别为a,b, c （ ab c ），则 a bc30 .显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长c ，下面先求 c 的值 .由 abc 及 abc30 得30abc3c ，所以 c10.由 abc 及 abc30得 30abc2c ，所以 c15 .又因为 c

10、为整数，所以 11c14 .根据勾股定理可得a2b2c2 ，把 c30ab 代入，化简得ab30( a b) 450 0，所以(30a)(30 b)45023252 ，因为 a, b 均为整数且 ab ，所以只可能是30 a 52 ,解得a5,30b 2 32 ,b12.所以，直角三角形的斜边长c13，三角形的外接圆的面积为169.4二（本题满分 25 分）如图，PA 为 O 的切线，PBC 为 O 的割线，AD OP于点 D.证明：AD 2BD CD.AODPBC证明： 连接 OA ，OB， OC. OA AP， A D OP，由射影定理可得PA 2PD PO， AD2PDOD.又由切割线定

11、理可得PA2PB PC ， PB PCPD PO ， D 、B 、 C、 O 四点共圆， PDB PCO OBC ODC ， PBD COD ， PBD COD， PDBD ， AD2PD ODBD CD.CDOD1三（本题满分25 分） 已知抛物线 yx2bxc 的顶点为P，与 x 轴的正半轴交于A (x1,0) 、63 ) ，若 AM/BC ，B ( x ,0) （ xx ）两点，与 y 轴交于点 C， PA 是 ABC 的外接圆的切线 .设 M (0,2122求抛物线的解析式 .解易求得点 P (3b,3b2c) ，点 C (0, c) .2设 ABC 的外接圆的圆心为D ，则点 P 和

12、点 D 都在线段 AB 的垂直平分线上， 设点 D 的坐标为 (3b, m) .显 然 ， x , x2是一元二次方程1 x2bx c 0 的 两 根 ， 所 以 x13b9b26c ，16x23b9b26c，又 AB 的中点 E 的坐标为(3b,0)，所以 AE 9b26c .因为PA 为 D 的切线，所以PA AD，又 A E PD，所以由射影定理可得AE 2PE DE ，即2232，又易知 m0 ，所以可得 m6.( 9b6c )( bc ) |m |2又由 DADC 得DA 2DC 2，即 (9b26c)2m2(3b0)2(mc) 2 ，把 m6 代入后可解得 c6 （另一解 c0舍去

13、） .又因为 AM/BC ，所以 OAOM ，即3b9b26c|3 |2 .OBOC3b9b26c|6 |把 c6代入解得 b5（另一解 b52舍去） .2因此，抛物线的解析式为y1 x25 x6 .62第二试 （B）一（本题满分20 分） 已知直角三角形的边长均为整数，周长为60，求它的外接圆的面积 .解设直角三角形的三边长分别为a,b, c （ abc ），则 a bc60 .显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长c ，下面先求 c 的值 .由 abc 及 a bc60得 60abc3c ，所以 c20 .由 abc 及 abc60得60abc2c，所以 c30.又因为 c 为整数，所以21

14、c29 .根据勾股定理可得a2b2c2，把 c 60 a b 代入，化简得ab 60(a b) 1800 0 ，所以(60a)(60b)18002332 52，60 a 235,60 a 2 52 ,因为 a, b 均为整数且 a b ，所以只可能是或60 b 22 32 ,60 b 32 5,解得a20,a10,b15,或24.b当 a20, b15 时， c25 ，三角形的外接圆的面积为625；4当 a10, b24 时， c26 ，三角形的外接圆的面积为169 .二（本题满分25 分）如图， PA 为 O 的切线， PBC 为 O 的割线， A D OP于点 D， ADC 的外接圆与 B

15、C 的另一个交点为E.证明： BAE ACB.证明：连接 OA ， OB， OC， BD. OA AP， A D OP，由射影定理可得PA 2PD PO， AD2PDOD.A又由切割线定理可得PA2PB PC， PB PCPD PO ， D、B、C、O 四点共圆， PDB PCO OBC ODC ，ODPBEC PBD COD ， PB D COD， PDBD ，CDOD BD CD PD OD AD2， BDAD .ADCD又 BDA BDP 90° ODC 90° ADC ， BDA ADC， BAD ACD ， AB 是 ADC 的外接圆的切线， BAE ACB. 三

16、（本题满分 25 分）题目和解答与（ A）卷第三题相同 .第二试（ C）一（本题满分20 分）题目和解答与（B）卷第一题相同 .二（本题满分25 分）题目和解答与（B）卷第二题相同 .三（本题满分25 分） 已知抛物线 y1 x2bx c 的顶点为 P，与 x 轴的正半轴交于A ( x1,0) 、6B ( x2 ,0) （ x1 x2 ）两点，与 y 轴交于点 C，PA 是 ABC 的外接圆的切线 .将抛物线向左平移24( 3 1)个单位，得到的新抛物线与原抛物线交于点Q，且 QBO OBC. 求抛物线的解析式 .解 抛物线的方程即 y1 ( x 3b)23b2c ，所以点 P (3b, 3

17、b2c) ，点 C (0, c) .622设 ABC 的外接圆的圆心为D ，则点 P 和点 D 都在线段 AB 的垂直平分线上， 设点 D 的坐标为 (3b, m) .显 然 ， x1 , x2是一元二次方程1 x2bx c 0 的 两 根 ， 所 以 x13b9b26c ，6x23b9b26c，又 AB 的中点 E 的坐标为(3b,0) ，所以 AE 9b26c .因为PA 为D的切线，所以PA AD，又 A E PD，所以由射影定理可得AE 2PE DE ，即2232，又易知 m0 ，所以可得 m6.( 9b6c )( bc ) |m |2又由 DADC 得DA 2DC 2，即 (9b26c)2m2(3b0)2(m c) 2 ，把 m6 代入后可解得 c6 （另一解 c0舍去） .将抛物线 y1 (x3b) 23b26 向左平移 24(31) 个单位后，得到的新抛物线为62y1 ( x3b24324) 23b26.62易求得两抛物线的交点为Q (3b12123,3b2483102) .2由 QBO OBC 可得 tan QB