2013年北京市高考理科数学精彩试题及问题详解

1、实用文档 文案大全 2013年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理）（北京卷） 本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、 选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知集合?1,0,1A?，?|11Bxx?，则AB ? （A）?0 （B）?1,0? （C）?0,1 （D）?1,0,1? （2）在复平面内，复数?22i?对应的点位于 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 （3）“?”是“曲线?

2、sin2yx?过坐标原点”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （4）执行如图所示的程序框图，输出的S值为 （A）1 （B）23 （C ）1321 （D ）610987 （5）函数?fx的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲 线xye?关于y轴对称，则?fx? （A）1xe? （B）1xe? （C）1xe? （D）1xe? （6 ）若双曲线22221xyab? 的离心率为3，则其渐近线方程为 （A）2yx? （B ）2yx? （C ）12yx? （D ）22yx? 开=1+1输 结束 实用文档 文案大全 （7）直线l过抛物线2:4

3、Cxy?的焦点且与y轴垂直，则l与C 所围成的图形的面积等于 （A）43 （B）2 （C）83 （D ）1623 （8）设关于x，y的不等式组21000xyxmym?表示的平面区域内存在点?00,Pxy，满足 0022xy?，求得m的取值范围是 （A）4,3? （B）1,3? （C）2,3? （D）5,3? 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 （9）在极坐标系中， 点2,6?到直线sin2?的距离等于_ （10）若等比数列?na满足2420aa?，3540aa?，则公比q?_；前n项和nS?_ （11）如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆

4、O相交于D若3PA?，:9:16PDDB?，则PD?_；AB?_ （12）将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是_ （13）向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示若c=a+b（，R） ，则?_ （14）如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上点P到直线CC1的距离的最小值为_ PBAa b c A B C D P E A1 B1 C1 D1 实用文档 文案大全 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出相应的文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题共13分

5、） 在ABC中，3a? ，26b?，2BA? （）求cosA的值； （）求c的值 （16）（本小题共13分） 下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天 123781516211622145286空气污染指数252015105014日13日12日11日10日9日8日7日6日5日4日3日2日1日日期 （）求此人到达当日空气重度污染的概率； （）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望； （）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方

6、差最大？（结论不要求证明） 实用文档 文案大全 （17）（本小题满分14分） 如图，在三棱柱111ABCABC?中，11AACC是边长为4的正方形，平面ABC平面11AACC，3AB?，5BC? （）求证：1AA平面ABC； （）求证二面角111ABCB?的余弦值； （）证明：在线段1BC上存在点D，使得1ADAB，并求 1BDBC的值 （18）（本小题共13分） 设L 为曲线ln:xCyx?在点?1,0处的切线 （）求L的方程； （）证明：除切点?1,0之外，曲线C在直线L的下方 C1B1A1CBA实用文档 文案大全 （19）（本小题共14分） 已知A，B，C 是椭圆22:14xWy?上的三

7、个点，O是坐标原点 （）当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积； （）当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由 （20）（本小题共13分） 已知?na是由非负整数组成的无穷数列设数列前n项的最大值为nA，第n项之后各项1na?，2na?，的最小值记为nB，nnndAB? （）若?na为2，1，4，3，2，1，4，3，是一个周期为4的数列（即对任意nN*，4nnaa?）， 写出1d、2d、3d、4d的值； （）设d是非负整数证明：?1,2,3,nddn? ?的充分必要条件是?na是公差为d的 等差数列； （）证明：若12a?，?11,2,3,ndn

8、? ?，则?na的项只能是1或者2，且有无穷多项 为1 实用文档 文案大全 2013年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理）（北京卷）参考答案 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分） （1）B （2）D （3）A （4）C （5）D （6）B （7）C （8）C 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9）1 （10）2 122n? （11）95 4 （12）96 （13）4 （14 ）255 三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分） 解：（）因为3a? ，26b?，2BA?， 所以在ABC 中由正弦定理得326sinsin2AA? 所以2sincos26sin3

9、AAA? 故6cos3A? （）由（）知6co3A? ，所23sico3? 又因为2BA?，所以21cos2cos13BA? 所以222sin1cos3BB?在ABC中?sinsinCAB? sincoscossin539ABAB? 所以sin5sinaCcA? （16）（共13分） 解：设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”（i=1，2，13） 根据题意，? ?113iPA?，且?.ijAAij? ? （）设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则58.BAA ? 所以? ?58 2.13PBPAA? （）由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，且 ?367 111PXPAAAA? 实用

10、文档 文案大全 C1 1A ?367114,13PAPAPAPA? ?1212132PXPAAAA? ?1212134,13PAPAPAPA? ?51112.13PXPXPX? 所以X的分布列为： 故X的期望54412012.13131313EX? （）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大 （17）（共14分） 解：（）因为11AACC是正方形，所以1AAAC 因为11ABCAACC?平面平面，且AA1垂直于这两个平面的交线AC， 所以1AA平面ABC （）由（）知1AAAC，1AAAB 由题知AB=3，BC=5，AC=4，所以ABAC 如图，以A为原点建立空间直角坐标系Axyz?，则

11、 ?0,3,0B，?10,0,4A，?10,3,4B，?14,0,4C 设平面11ABC的法向量为?,xyzn，则 1110,0.ABAC?nn 即340,40.yzx? 令z=3，则x=0，y=4，所以?0,4,3=n同理可得平面11BBC的法向量为?3,4,0=m 所以16cos,.25?nmnmnm由题知二面角111ABCB?为锐角， 所以二面角111ABCB?的余弦值为16.25 （）设点D?,xyz是直线BC1上一点，且1.BDBC? 所以?,3,4,3,4xyz?解得4,33,4.xyz? X 0 1 2 P 513 413 413D xz y 实用文档 文案大全 所以?4,33,

12、4.AD? ?由10ADAB? ?，即9250?， 得925? 因为?90,125?，所以在线段BC1上存在点D，使得1ADAB 此时19.25BDBC? （18）（共13分） 解：（）设? ?lnxfxx?，则? ?21ln'xfxx?所以?'11f?所以L的方程为1yx? （）令?1gxxfx?，则除切点之外，曲线C在直线L的下方等价于 ?001gxxx?，?gx满足?1=0g，且 ? ?221ln1=xxgxfxx? 当0x1时，210ln0xx?，所以?0gx?，故?gx单调递减； 当x1时，210ln0xx?，所以?0gx?，故?gx单调递减 所以?1=001.gxg

13、xx?， 所以除切点之外，曲线C在直线L的下方 （19）（共14分） 解： （）椭圆22:14xWy?的右顶点B的坐标为（2，0） 因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分 所以可设A（1，m） ，代入椭圆方程得2114m? ，即3.2m? 所以菱形OABC 的面积是11223.22OBACm? （）假设四边形OABC为菱形 因为点B不是W的顶点，且直线AC不过原点，所以可设AC的方程为 ?0,0.ykxmkm?由2244,.ymxykx?消去y并整理得 ?222148440.kxkmxm?设?11,Axy，?22,Cxy，则 1212122242142214xxyyxxkmm,k

14、m.kk? 所以AC 的中点为2241414kmmM,.kk? 实用文档 文案大全 因为M为AC和OB的交点，所以直线OB 的斜率为14.k? 因为114kk?，所以AC与OB不垂直 所以OABC不是菱形，与假设矛盾 所以当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC不可能是菱形 （20）（共13分） 解：（）121dd?，343dd? （）（充分性）因为?na是公差为d的等差数列，且d0，所以 12naaa. 因此nnAa?，1nnBa?，?11,2,3,nnndaadn? ? （必要性）因为?01,2,3,nddn? ?，所以.nnnnABdB? 又因为nnaA，1nnaB?，所以+1nnaa.于是，=nnAa，1=.nnBa? 因此1nnnnnaaBAdd?，即?na是公差为d的等差数列 （）因为12a?，1nd?，所以11=2Aa?，11