函数对称性、周期性和奇偶性规律总结

1、精品资料欢迎下载函数对称性、周期性和奇偶性关岭民中数学组( 一) 、同一函数的函数的奇偶性与对称性： （奇偶性是一种特殊的对称性）1、奇偶性 : （1） 奇函数关于（ 0， 0）对称，奇函数有关系式f (x)f ( x)0（2）偶函数关于 y（即 x=0）轴对称，偶函数有关系式f (x)f (x)2 、奇偶性的拓展:同一函数的对称性（1）函数的轴对称：函数 yf (x)关于 xa 对称f (a x)f (ax)f (a x)f ( ax) 也可以写成 f (x)f (2ax)或 f ( x)f (2a x)若 写 成 ： f ( ax) f (b x)， 则 函 数 yf ( x)关于直线x(

2、a x) (bx)a b对称22证 明 ： 设 点 ( x1, y1 ) 在 yf (x) 上 ， 通 过 f ( x)f (2ax) 可 知 ，y1f ( x1 )f (2ax1 ) ，即点 (2ax1 , y1 )也在 y f ( x) 上，而点(x1 , y1 ) 与点 ( 2ax1 , y1 ) 关于 x=a 对称。得证。说明：关于 xa 对称要求横坐标之和为2a ，纵坐标相等。 (ax1 , y1 )与(ax1, y1 )关于 xa 对称，函数yf ( x) 关于 xa 对称f (ax)f (ax) ( x1 , y1 )与(2ax1, y1 ) 关于 xa 对称，函数yf ( x)

3、 关于 xa 对称f ( x)f ( 2ax) ( x1 , y1 )与(2ax1 , y1) 关于 xa 对称，函数 yf ( x) 关于 xa 对称f (x)f (2a x)（ 2）函数的点对称：函数 y f (x) 关于点 ( a, b)对称f (ax)f (a x)2b上述关系也可以写成f (2a x)f ( x) 2b或f ( 2 ax ) f ( x )2b若写成： f (ax)f (bx) c ，函数 yf ( x) 关于点( a b , c ) 对称22精品资料欢迎下载证明：设点 (x1 , y1 ) 在 yf ( x) 上，即 y1f ( x1 ) ，通过 f (2ax) f

4、 ( x) 2b可知， f (2ax1 )f ( x1 )2b ，所以 f (2ax1 ) 2bf ( x1 ) 2by1 ，所以点( 2a x1 ,2by1 ) 也在 yf ( x) 上，而点 (2ax1 ,2by1 ) 与 (x1 , y1 ) 关于 (a,b) 对称得证。说 明 : 关于 点 (a,b) 对 称 要求 横坐 标之 和 为 2a ,纵 坐标 之 和 为 2b , 如( a x)与（ ax)之和为2a。（ 3）函数 yf (x) 关于点 yb 对称 : 假设函数关于 yb 对称，即关于任一个 x值，都有两个 y 值与其对应， 显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于y b

5、 对称。但在曲线c(x,y)=0 ，则有可能会出现关于y b 对称，比如圆c( x, y) x 2y 24 0它会关于 y=0 对称。（ 4）复合函数的奇偶性的性质定理：性质 1、复数函数 y fg(x)为偶函数，则复合函数 yfg(x) 为奇函数，则 fg( 性质 2、复合函数 y f(x a) 为偶函数，则fg( x) fg(x) 。x) fg(x) 。 f(x a) f( xa) ；复合函数 yf(x a) 为奇函数，则 f( xa) f(a x) 。性质 3、复合函数 y f(x a) 为偶函数，则 yf(x) 关于直线 x a 轴对称。复合函数 yf(x a) 为奇函数，则 yf(x

6、) 关于点 (a,0) 中心对称。总结： x 的系数一个为 1，一个为 -1 ，相加除以 2，可得对称轴方程总结： x 的系数一个为 1，一个为 -1 ，f(x) 整理成两边，其中一个的系数是为1，另一个为 -1 ，存在对称中心。总结： x 的系数同为为 1，具有周期性。( 二) 、两个函数的图象对称性1、 y f ( x)与 yf (x) 关于 X 轴对称。证明： 设 yf ( x) 上任一 点为 (x1, y1)则 y1f (x1) ， 所以 yf ( x) 经过点( x1 , y1 ) ( x1 , y1) 与 ( x1 , y1 ) 关于 X 轴对称， y1f ( x1 ) 与 yf

7、( x) 关于 X轴对称 .注：换种说法： yf ( x) 与 y g( x)f ( x) 若满足 f ( x)g (x) ，即它们关于精品资料欢迎下载y 0对称。2、 yf ( x) 与 y f ( x) 关于 Y 轴对称。证明：设 y f ( x) 上任一点为 (x1, y1) 则 y1f (x1 ) ，所以 y f (x) 经过点 ( x1, y1) ( x1 , y1) 与 ( x1 , y1 ) 关于 Y 轴对称， y f ( x) 与 yf ( x) 关于 Y 轴对称。注：因为 (x1, y1 ) 代入 yf (x) 得 y1f ( (x1 )f (x1) 所以 yf (x) 经过

8、点(x1 , y1 )换种说法：yf ( x) 与 yg( x)f (x) 若满足 f ( x)g (x) ，即它们关于x 0对称。g (x)f (x)f ( x)3、yf ( x) 与yf (2 ax) 关于直线xa 对称。证明：设yf ( x)上任一点为( x1 , y1 )则y1f ( x1 )，所以yf (2 ax)经过点(2 ax1, y1) ( x1 , y1) 与 (2 ax1 , y1) 关于xa 轴对称，yf ( x) 与 yf (2 ax) 关于直线 xa 对称。注：换种说法：yf ( x) 与 yg (x)f (2 ax) 若满足 f ( x)g( 2ax) ，即它们关于

9、 xa 对称。4、 y f(x) 与 y 2a f ( x) 关于直线 y a 对称。证明：设y f ( x) 上任一点为 ( x1 , y1) 则 y1 f ( x1 ) ，所以 y 2af ( x) 经过点( x1 , 2ay1) (x1, y1 ) 与 ( x1 , 2ay1 ) 关于 ya 轴对称 ， yf ( x) 与 y2af ( x) 关于直线ya 对称 .注：换种说法： yf (x) 与 yg(x) 2af ( x) 若满足 f ( x)g(x) 2a，即它们关于 ya 对称。5、 yf (x)与 y 2bf (2ax) 关于点 (a,b) 对称。证明：设 yf (x) 上任一

10、点为 ( x1 , y1) 则 y1f (x1) ，所以 y2b f (2 ax) 经过点(2 a x1, 2by1 ) ( x1 , y1 ) 与 (2 ax1, 2by1) 关于点 (a,b) 对称， yf (x)与 y2bf (2ax) 关精品资料欢迎下载于点 (a,b) 对称 .注：换种说法： yf ( x) 与 yg (x)2bf (2 ax) 若满足 f ( x)g (2ax)2b ，即它们关于点 (a,b) 对称。g(2ax)2b f (2 a(2 ax) 2b f ( x)6、 yf ( ax) 与 yf ( xb) 关于直线 xab 对称。2证明：设yf ( x) 上任一点为

11、 (x1, y1 ) 则 y1f (x1 ) ，所以 yf (a x) 经过点( a x1 , y1 ) , yf (b x) 经 过点 (b x1, y1 ) , (a x1, y1 ) 与 (bx1 , y1 ) 关于直线xab 对称，2 yf (ax) 与 yf ( xb) 关于直线 xab 对称。2三、总规律：定义在上的函数yf x ，在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中，只要有两条存在，则第三条一定存在。一、同一函数的周期性、对称性问题( 即函数自身 )( 一) 、函数的周期性：对于函数yf (x) ，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f ( xT )f

12、 ( x) 都成立，那么就把函数y f (x) 叫做周期函数，不为零的常数 T 叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。1、周期性：（1）函数 yf ( x) 满足如下关系式，则f (x)的周期为 2TA 、 f ( x T )f ( x) B 、 f ( x T)1或f ( x T )1f ( x)f ( x)C 、 f ( xT )1f ( x) 或 f (xT )1 f (x) （等式右边加负号亦成立）21f ( x)21 f (x)D 、其他情形（ 2）函数 yf ( x) 满足f (ax)f (ax) 且 f (bx)f (bx)

13、，则可推出f ( x)f (2a x)f b ( 2axb)f b(2a xb)f x2(b a) 即可以得到 yf ( x) 的周期为 2(b-a) ，即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于 x轴两条直线对称，则函数一定是周期函数”精品资料欢迎下载（ 3）如果奇函数满足 f(x T )f ( x) 则可以推出其周期是2T，且可以推出对称轴为T2kT，根据f ( x) f (x 2T )可以找出其对称中心为x(k z)2(kT，0) ( kz) （以上 T0 ）如果偶函数满足f ( xT)f (x) 则亦可以推出周期是2T，且可以推出对称中心为T2kT ,0)(kz) ， 根 据 f ( x

14、)f ( x2T)可以推出对称轴为(2xT2kT ( kz) （以上 T 0 ）（ ）如果奇函数 yf ( x) 满足 f (T x) f (Tx) （ T 0 ），则函数 yf ( x) 是4以 4T 为周期的周期性函数。如果偶函数yf ( x) 满足 f (T x)f (Tx)（ T0），则函数 yf (x) 是以 2T 为周期的周期性函数。定理 1：若函数 f x在 R上满足 f (ax)f ax ，且 f ( b x)fbx （其中 ab），则函数 yf x 以 2 a b 为周期 .定理 2：若函数 f x 在 R上满足 f ( ax)f ax ，且 f (bx)f b x（其中），

15、则函数 y f x 以 2 ab 为周期.a b定理 3：若函数 f x在 R 上满足 f (ax)f ax，且 f (b x)fbx （其中 ab），则函数 yf x 以 4 a b 为周期 .定理 4：若函数 f(x) 的图像关于直线 x=a 和 x=b 都对称，则 f(x) 是周期函数， 2（b-a）是它的一个周期（未必是最小正周期） 。定理 5：若函数 f(x) 的图像关于点（ a,c）和(b,c)都成中心对称，则 f(x) 是周期函数， 2（b-a）是它的一个周期（未必是最小正周期） 。定理 6：若函数 f(x) 关于点（a,c）和 x=b 都对称，则 f(x) 是周期，4（b-a）是它的一个周期（未必是最小正周期） 。定理 7：若函数 f(x) 满足 f(x-a)=f(x+a)(a>0), 则 f(x) 是周期函数， 2a 是它的一个周期。精品