向量的加法与减法(优质课教案)

1、学习必备欢迎下载课题：向量的加法与减法教学目的：掌握向量加法的定义会用向量加法的三角形法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和向量掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算教学重点： 用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量教学难点： 向量的加法和减法的定义的理解授课类型： 新授课课时安排： 1 课时教具：多媒体、实物投影仪.教学过程 ：一、复习引入：1. 向量的概念： 我们把既有大小又有方向的量叫向量2. 向量的表示方法： 用有向线段表示；用字母 、等表示；用有向线段的起点与终点字母：AB ；向量 AB 的大小长度称为向量的模，记作 | AB |.3. 零向量、单

2、位向量概念：长度为长度为0 的向量叫零向量，记作0 0 的方向是任意的1 个单位长度的向量，叫单位向量 . 零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向 .4. 平行向量定义：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我们规定0 与任一向量平行. 向量 、 、平行，记作 .5. 相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.（ 1）向量 与相等，记作 ；（ 2）零向量与零向量相等；（ 3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来与有向线段的起点无关.6. 共线向量与平行向量关系：表示，并且平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上.（ 1）平行向量可以在同一直线上，

3、要区别于两平行线的位置关系；（ 2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.7. 对向量概念的理解AB 的字母是有顺序的，起点在前终点在后，所以我们说有向线段有三个要素 ：起点、方向、长度；既有大小又有方向的量，我们叫做向量，有二个要素 ：大小、方向. 向量不能比较大小；实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘.向量与有向线段的区别：向量是自由向量，只有大小和方向两个要素 ；与起点无关：只要大小和方向相同， 则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、 大小和方向 三个要素 ，学习必备欢迎下载起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段二、讲解新课：1 向量的加法：求

4、两个向量和的运算，叫做向量的加法几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首尾相接， 首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）课本中采用了三角形法则来定义， 这种定义，对两向量共线时同样适用，当向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的如图，已知向量 a 、 b在平面内任取一点A，作 ABa ， BCb ，则向量 AC 叫做 a与 b 的和，记作 ab ，即abABBCACCCaba+bBa+bBDbaba三角形法则平行四边形法则A(1)A特殊情况：aabbababAB( 2)CCA( 3 )B对于零向量与任一向量a ，有a0 0

5、aa探究 ：（ 1）两相向量的和仍是一个向量；（ 2）当向量 a 与 b 不共线时， a + b 的方向不同向，且 |a + b |<|a |+| b |;（ 3）当 a 与 b 同向时，则 a +b 、 a 、 b 同向，且 | a + b |=| a |+|b |, 当 a 与 b 反向时，若 | a |>| b |, 则 a + b 的方向与 a 相同，且 |a + b |=| a |-|b |; 若 | a |<| b |, 则 a +b 的方向与 b 相同，且 | a +b|=|b |-|a |.（ 4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点

6、，可以推广到n 个向量连加2向量加法的交换律：a + b = b + a学习必备欢迎下载3向量加法的结合律：( a + b ) + c =a + ( b + c )证：如图：使ABa , BCb , CDc则( a + b ) + c = ACCDADa + ( b +c ) = ABBDAD( a + b ) + c =a + ( b +c )从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行三、讲解范例：例 1 如图，一艘船从 A 点出发以 2 3km / h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为 2km/ h ，求船的实际航行的速度的大小与方向(用与流速间的夹角表示)

7、.解：设 AD 表示船垂直于对岸行驶的速度，AB 表示水流的速度，以AD,AB 为邻边作平行四边形ABCD，则 AC 就是船的实际航行的速度 .在 Rt ABC 中， | AB |2，|BC| 23所以|AC| |AB |2|BC |24233CAB60因为 tan CAB2答：船的实际航行的速度的大小为4km / h ，方向与水流速间的夹角为 60四、课堂练习 ：1、一艘船从A 点出发以 23km / h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速度的大小为4km/ h ，求水流的速度2、一艘船距对岸43km ，以 23km / h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程

8、为8km ，求河水的流速3、一艘船从A 点出发以 v1 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为v 2 ，船的实际航行的速度的大小为4km/ h ，方向与水流间的夹角是60 ，求 v1 和 v24、一艘船以5km/h 的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h ，则船的实际航行速度大小最大是km/h ，最小是km/h五、小结1 向量加法的几何法则；2 交换律和结合律；3 注意： | a + b | | a | + | b | ，当且仅当方向相同时取等号学习必备欢迎下载六、课后作业 ：2、已知两个力 F1,F2 的夹角是直角，且已知它们的合力F 与 F1 的夹角是60 ， |F|=10N 求

9、 F1 和 F2 的大小3、用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形七、板书设计 （略）八、课后记：学习必备欢迎下载课题： 向量的加法与减法（2）教学目的：了解相反向量的概念；掌握向量的减法，会作两个向量的减向量教学重点： 向量减法的概念和向量减法的作图.教学难点： 对向量减法定义的理解授课类型： 新授课课时安排： 1 课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程 ：一、复习引入：1. 向量的概念： 既有大小又有方向的量叫向量 , 有二个要素 ：大小、方向 .2. 向量的表示方法： 用有向线段表示；用字母 、等表示；用有向线段的起点与终点字母：AB ；向量 AB 的大小长度称为向量的模，

10、记作 | AB |.3. 零向量、单位向量概念：长度为 0 的向量叫零向量，记作0 0 的方向是任意的长度为 1 个单位长度的向量， 叫单位向量 . 零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向 .4. 平行向量定义：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我们规定 0 与任一向量平行 . 向量 、 、平行，记作 .5. 相等向量定义： 长度相等且方向相同的向量叫相等向量.6. 共线向量与平行向量关系： 平行向量就是共线向量 .7.向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（ “首尾相接，首尾连” ）和平行四边形法则

11、（对于两个向量共线不适应）8向量加法的交换律：a +b = b + a9向量加法的结合律：( a + b) +c = a + (b +c )二、讲解新课：向量的减法1用“相反向量”定义向量的减法：1 “相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量记作2 规定：零向量的相反向量仍是零向量( a) = a任一向量与它的相反向量的和是零向量a + ( a) = 0如果 a、 b 互为相反向量，则a =b,b =a,a + b = 0a3向量减法的定义：向量即： ab = a + ( b)a 加上的 b 相反向量，叫做 a 与求两个向量差的运算叫做向量的减法b 的差2用加法的逆运算定义向量的减法：

12、学习必备欢迎下载若 b + x = a ，则 x 叫做 a 与 b 的差，记作ab3求作差向量：已知向量a、 b，求作向量 (a b) + b = a + ( b) + b = a + 0 = a减法的三角形法则作法：在平面内取一点O，作 OA = a, OB = b, 则 BA = a b即 ab 可以表示为从向量 b 的终点指向向量a 的终点的向量注意： 1AB 表示 ab 强调：差向量“箭头”指向被减数2 用“相反向量” 定义法作差向量， ab = a + (b)显然，此法作图较繁，但最后作图可统一a b cab = a + ( b)ab aa ba bbOBAB OBAaababbOA

13、 bBBOA三、讲解范例：例 1 已知向量 a、 b、c、 d，求作向量 a b、 c d解：在平面上取一点 O，作 OA = a, OB = b, OC = c, OD = d,作 BA , DC ,则 BA = a b,DC = c d例 2 平行四边形ABCD 中， ABa ， ADb ，用 a ， b 表示向量 AC 、 DB解：由平行四边形法则得：AC = a + b, DB = ABAD = a b变式一：当a , b 满足什么条件时，a+b 与 a b 垂直？（ | a| = | b| ）变式二：当a , b 满足什么条件时，| a+b| = | a b| ？（ a, b 互相垂

14、直）变式三： a+b 与 a b 可能是相当向量吗？（不可能，对角线方向不同）四、课堂练习：1. 下列等式 : a+0=a b+a=a+b -(- a)= a a+(- a)=0 a+(- b)= a- b是()学习必备欢迎下载A.2.3C.4D.5B2. 下列等式中一定能成立的是 ( )A.AB+ AC =BC.AB- AC =BCBC.AB + AC =CBD.AB - AC =CB3.化简 OP - QP + PS+SP 的结果等于 ()A.QPB. OQC.SPD.SQ4.已知 OA =a,OB =b, 若 | OA |=12,|OB |=5, 且 AOB=90° , 则 |

15、 a- b|= .5.在正六边形ABCDEFAE mADnBA=.中 ,= ,= , 则6.已知 a、 b 是非零向量 ,则 | a-b|=|a|+| b| 时 ,应满足条件.参考答案： 1.C 2.D 3.B 4. 135.-6.a与b反向m n五、小结向量减法的定义、作图法六、课后作业 ：1.在 ABC中 ,BC =a,CA =b, 则 AB 等于 ()A.+.-+(-b)C.-bD.-a bBaab a2.O为平行四边形 ABCD平面上的点, 设 OA =a,OB =b,OC =c ,OD = d, 则A. a+b+c+d=0B. a- b+c- d=0C. a+b- c- d=0 D.

16、 a- b- c+d=03. 在下列各题中 , 正确的命题个数为 ( )(1) 若向量 a 与 b 方向相反 , 且 | a| | b|, 则 a+b 与 a 方向相同(2) 若向量 a 与 b 方向相反 , 且 | a| | b|, 则 a- b 与 a+b 方向相同(3) 若向量 a 与 b 方向相同 , 且 | a| | b|, 则 a- b 与 a 方向相反(4) 若向量 a 与 b 方向相同 , 且 | a| | b|, 则 a- b 与 a+b 方向相反A.1B.2C.3D.44. 如图，在四边形 ABCD中 , 根据图示填空 :a+b= ,b+c= ,c- d=,a+b+c- d= .5.一艘船从 A 点出发以2 3 km/h 的速度向垂直于对岸的方 向行驶 , 而船实际行驶速度的大小为4 km/h, 则河水的流速的 大小为.6.若 a、 b 共线且 | a+b| | a- b|成立 , 则 a 与 b 的关系为.7.在五边形中, 设=,AE= ,BC =,ED= , 用a、 、d表示CD.ABCDEAB abcdb c8. 如图所示，