高阶微分方程的降阶法

1、整理ppt14.3 高阶高阶微分方程的降阶法微分方程的降阶法 整理ppt2一、可降阶的一些方程类型一、可降阶的一些方程类型 n阶微分方程的一般形式阶微分方程的一般形式:0),()(nxxxtF 1 不显含未知函数不显含未知函数x,或更一般不显含未知函数及其直到或更一般不显含未知函数及其直到k-1(k1)k-1(k1)阶导数的方程是阶导数的方程是)57. 4(10),()()1()(）（nkxxxtFnkk阶方程的则可把方程化为若令knyyxk,)()58. 4(0),()(knyyytF若能求得(4.58)的通解),(1knccty对上式经过k次积分,即可得(4.57)的通解即),(1)(kn

2、kcctx为任常数这里nncccctx,),(11整理ppt3 解题步骤解题步骤:则方程化为令,)(yxk第一步:0),()(knyyytF第二步:求以上方程的通解),(1knccty即),(1)(knkcctx第三步: 对上式求k次积分,即得原方程的通解为任常数这里nncccctx,),(11)57. 4(0),()()1()(nkkxxxtF整理ppt4解令,44ydtxd则方程化为01ytdtdy这是一阶方程,其通解为,cty 即有,44ctdtxd对上式积分4次, 得原方程的通解为,54233251ctctctctcx例1.014455的通解求方程dtxdtdtxd整理ppt5 2 不

3、显含自变量不显含自变量t的方程的方程, 一般形式一般形式:)59. 4(, 0),()(nxxxF,作为新的自变量而把作为新的未知函数此时以xxy , ydtdx因为dtdy22dtxddxdydtdx,dxdyy2233dtxddtddtxddtd)(dxdyydxdxdyyd)(dtdx,222dxydy2)(dxdyy整理ppt6用数学归纳法易得:来表示可用)(,)1()1()(nkdxyddxdyyxkkk将这些表达式代入(4.49)可得:0),()1()1(nndxyddxdyyxG它比原方程降低一阶整理ppt7 解题步骤解题步骤:第一步:原方程化为自变量为新的为新的未知函数并令,x

4、yxy 0),()1()1(nndxyddxdyyxG第二步:求以上方程的通解）11,(nccxy第三步:解方程）11,(nccxdtdx即得原方程的通解整理ppt8解令,作为新的自变量并以xydtdx则方程化为02 ydxdyxy从而可得, 0y及,xydxdy这两方程的全部解是,1xcy 例2.0)(222的通解求方程dtdxdtxdx再代回原来变量得到,1xcdtdx所以得原方程的通解为,12tcecx 整理ppt9 3 已知齐线性方程的非零特解已知齐线性方程的非零特解,进行降阶进行降阶1(1)0 xx设是二阶齐线性方程22( )( )0,(4.69)d xdxp tq t xdtdt的

5、非零解令1xx y则11xx yx y1112xx yx yx y代入(4.69)得1111112( )( )( )0 x yxp t x yxp t xq t x y即1112( )0 x yxp t x y整理ppt101112( )0 x yxp t x y引入新的未知函数,zy方程变为1112( )0dzxxp t x zdt是一阶线性方程,解之得( )21,p t dtczex因而( )112211,(4.70)p t dtxx ccedtx12,c c这里是任常数.120,cc=1,得(4.69)的一个解:( )21211,p t dtxxedtx1x因它与 之比不等于常数,12,x x故线性无关因此(4.70)为(4.69)的通解.整理ppt11解这里12sin( ),tp txtt由(4.70)得22122sinsindttttxccedttt例321222sin1sinttccdttt t12sincot tcctt12