高数幂级数详解和习题

1、第三节第三节 幂级数幂级数v一、函数项级数的一般概念v二、幂级数及其收敛性v三、幂级数的运算v四、小结 练习题一、函数项级数的一般概念1.1.定义定义: :,xxxnn 201 例如级数例如级数2.2.收敛点与收敛域收敛点与收敛域: :如果如果Ix 0, ,数项级数数项级数 10)(nnxu收敛收敛, , 则称则称0 x为级数为级数)(1xunn 的的收敛点收敛点, , 否则称为否则称为发散点发散点. . 所所有有发发散散点点的的全全体体称称为为发发散散域域. . )()(limxsxsnn 函数项级数的部分和函数项级数的部分和余项余项)()()(xsxsxrnn (x在收敛域上在收敛域上)0

2、)(lim xrnn注意注意函数项级数在某点函数项级数在某点x的收敛问题的收敛问题,实质上实质上是数项级数的收敛问题是数项级数的收敛问题.3.3.和函数和函数: : )()()()(21xuxuxuxsn(定义域是定义域是?),(xsn二、幂级数及其收敛性1.1.定义定义: :形形如如nnnxxa)(00 的的级级数数称称为为幂幂级级数数. . ,000nnnxax 时时当当其中其中na为为幂级数系数幂级数系数. 2.2.收敛性收敛性: :,120 xxxnn例如级数例如级数;,1收收敛敛时时当当 x;,1发发散散时时当当 x);1 , 1( 收敛域收敛域);, 11,( 发发散散域域定理定理

3、 1 (1 (AbelAbel 定理定理) ) 如如果果级级数数 0nnnxa在在0 xx 处处发发散散, ,则则它它在在满满足足不不等等式式0 xx 的的一一切切x处处发发散散. .x R R几何说明几何说明收敛区域收敛区域发散区域发散区域发散区域发散区域o当当Rx 时时, ,幂幂级级数数绝绝对对收收敛敛; ;当当Rx 时时,幂幂级级数数发发散散;当当RxRx 与与时时, ,幂级数可能收敛也可能发散幂级数可能收敛也可能发散. .推论推论定义定义: : 正数正数R称为幂级数的称为幂级数的收敛半径收敛半径., 0 R),RR ,(RR .,RR 规定规定, R收敛域为：收敛域为： 0 ; 问题问

4、题如何求幂级数的收敛半径如何求幂级数的收敛半径?),(RR (1) 幂幂级级数数只只在在0 x处处收收敛敛,( (2 2) ) 幂幂级级数数对对一一切切 x都都收收敛敛, , 幂级数的收敛域为以下几个区间之一：幂级数的收敛域为以下几个区间之一：定定理理 2 2 如如果果幂幂级级数数 0nnnxa的的所所有有系系数数0 na,设设 nnnaa1lim (1) 则当则当0 时时, 1R; (3) 当当 时时,0 R. (2) 当当0 时时, R; 证明证明应应用用达达朗朗贝贝尔尔判判别别法法对对级级数数 0nnnxannnnnxaxa11lim xaannn1lim ,x ,)0(lim)1(1存

5、在存在如果如果 nnnaa由比值审敛法由比值审敛法,1|时时当当 x,|0收收敛敛级级数数 nnnxa.0收收敛敛绝绝对对从从而而级级数数 nnnxa,1|时时当当 x,|0发发散散级级数数 nnnxa并且从某并且从某|,xa|xa|nnnn 11.0 nnnxa发发散散从从而而级级数数;R 1 故收敛半径故收敛半径开始开始个个n.|xa|nn不趋于零不趋于零, 0)2( 如如果果, 0 x),(011 nxaxannnn有有,|0收收敛敛级级数数 nnnxa.0收收敛敛绝绝对对从从而而级级数数 nnnxa; R收收敛敛半半径径, )3( 如果如果, 0 x.0 nnnxa必必发发散散级级数数

6、. 0 R收敛半径收敛半径定理证毕定理证毕.例例2 2 求下列幂级数的收敛域求下列幂级数的收敛域:解解)1(nnnaa1lim 1lim nnn1 1 R,1时时当当 x,1时时当当 x,)1(1 nnn级级数数为为,11 nn级级数数为为该级数收敛该级数收敛该级数发散该级数发散;)1()1(1nxnnn ;)()2(1 nnnx;!)3(1 nnnx.)21(2)1()4(1nnnnxn nnnnn1)1(lim , Rnnnaa1lim 11lim nn, 0 , 0 R;)()2(1 nnnx;!)3(1 nnnx)1(11lim nnnn 0.收收敛敛域域为为nnnaa1lim nnn

7、aa1lim 12lim nnn2 ,21 R,2121收敛收敛即即 x,)1 , 0(收敛收敛 x.)21(2)1()4(1nnnnxn ,0时时当当 x,11 nn级数为级数为,1时时当当 x,)1(1 nnn级数为级数为发散发散收敛收敛故收敛域为故收敛域为(0,1.解解 3523222xxx级级数数为为缺少偶次幂的项缺少偶次幂的项应应用用达达朗朗贝贝尔尔判判别别法法)()(lim1xuxunnn nnnnnxx22lim12112 ,212x 级数收敛级数收敛, 1212 x当当,2时时即即 x, 121 2 x当当, 2 | 时时即即 x级数发散级数发散, 2时时当当 x,21 1 n

8、级数为级数为, 2时时当当 x,21 1 n级数为级数为级数发散级数发散,级数发散级数发散,原级数的收敛域为原级数的收敛域为).2, 2( 三、幂级数的运算1.1.代数运算性质代数运算性质: :(1) 加减法加减法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc(其中其中 21,minRRR )nnnbac RRx, ,2100RRxbxannnnnn和和的收敛半径各为的收敛半径各为和和设设 (2) 乘法乘法)()(00 nnnnnnxbxa.0 nnnxc RRx, (其中其中)0110bababacnnnn (3) 除法除法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc)0(0 nnnxb收敛域内收

9、敛域内(相除后的收敛区间比原来相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多两级数的收敛区间小得多)2.2.和函数的分析运算性质和函数的分析运算性质: :(1) 幂幂级级数数 0nnnxa的的和和函函数数)(xs在在收收敛敛区区间间),(RR 内内连连续续,在在端端点点收收敛敛,则则在在端端点点单单侧侧连连续续. xnnnxdxxadxxs000)()(即即 00nxnndxxa.110 nnnxna(收敛半径不变收敛半径不变)(3) 幂级数幂级数 0nnnxa的和函数的和函数)(xs在收敛区间在收敛区间),(RR 内可导内可导, 并可逐项求导任意次并可逐项求导任意次. 0)()(nnnxaxs

10、即即 0)(nnnxa.11 nnnxna(收敛半径不变收敛半径不变)例例 4 4 求求级级数数 11)1(nnnnx的的和和函函数数.解解,)1()(11 nnnnxxs, 0)0( s显显然然两边积分得两边积分得)1ln()(0 xdttsx 21)(xxxs,11x )11( x,1时时又又 x.1)1(11收收敛敛 nnn).xln(nx)(nnn 1111)11( x),1ln()(xxs )1ln()0()(xsxs 即即例例 5 5 求幂级数求幂级数 0)12(nnxn的和函数的和函数. 解解 0)12()(nnxnxs设设 002nnnnxnx,22110 nnnnnxxnx,

11、)(11 nnnxxA设设dxxndxxAnxnx 1010)( 1nnx,1xx 1| x xxxA1)(,)1(12x ,)1(2220 xxnxnn 1|,110 xxxnn 0)12()(nnxnxs 2)1(2xxx 111|.)1(12 xxx例例 6 6 求求 12)1(nnnn的的和和. 解解,)1(1nnxnn 考考虑虑级级数数收敛区间收敛区间(-1,1), 1)1()(nnxnnxs则则)(11 nnxx)1(2 xxx,)1(23xx 12)1(nnnn故故)21( s . 8 常用已知和函数的幂级数;11)1(0 xxnn ;11)1()2(202xxnnn ;1)3(202xaaxnn ;!)4(0 xnnenx );1ln(1)1()6(01xnxnnn ;sin)!12()1()5(1121xnxnnn 四、小结2.幂级数的收敛性幂级数的收敛性:收敛半径收敛半径R3.幂级数的运算幂级数的运算: 分析运算性质分析运算性质1.函数项级数的概念函数项级数的概念:思考题思考题 幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？么它的收敛域是否也不变？思考题解答思考题解答不一定不一定.例例,)(12 nnnxxf,)(11 nnnxxf,)1()(22 nnnxnxf