2024年高考数学终极押题密卷1（全国甲卷文科）含答案

2024年高考数学终极押题密卷1（全国甲卷文科）一．选择题（共12小题）1．若集合M＝{x|log2x＜4}，N＝{x|2x≥1}，则M∩N＝（）A．{x|0≤x＜8} B． C．{x|2≤x＜16} D．2．已知m∈R，且，其中i是虚数单位，则|m﹣2i|等于（）A．5 B． C． D．13．某校高三年级的700名学生中，男生有385名，女生有315名．从中抽取一个容量为60的样本，则抽取男生和女生的人数分别为（）A．31，29 B．32，28 C．33，27 D．34，264．正项等比数列{an}中，a5，4a3，﹣2a4成等差数列，若，则a1a7＝（）A．4 B．8 C．32 D．645．已知p：∀x∈R，x2+x﹣1＞0；q：∃x∈R，2x＞3x，则真命题是（）A．p∧q B．p∨（￢q） C．（￢p）∨q D．（￢p）∧（￢q）6．如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，E，F分别为BC，CD的中点，则＝（）A． B． C． D．7．已知直线m，n与平面α，β，γ，下列命题中正确的是（）A．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，则m∥n B．若m∥α，m⊥β，则α⊥β C．若α∥β，m⊥α，β⊥γ，则m∥γ D．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥α8．△ABC中，角A、B，C的对边分别为a，b，c，若，则A＝（）A． B． C． D．9．若函数f（x）＝2ax2+3x﹣1在区间[﹣1，1]内恰有一个零点，则实数a的取值集合为（）A．{a|﹣1＜a＜2} B．{a|a＝﹣，或﹣1＜a＜2} C．{a|﹣1≤a≤2} D．{a|a＝﹣，或﹣1≤a≤2}10．已知函数f（x）＝（ax+1）ex，给出下列4个图象（）其中，可以作为函数f（x）的大致图象的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．411．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）分别是双曲线的左右焦点，若过F1的直线与圆相切，与C在第一象限交于点P，且PF2⊥x轴，则C的离心率为（）A． B．3 C． D．12．已知a，b，c均为正数，且，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c二．填空题（共4小题）13．如图茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为14，乙组数据的平均数为16，则x+y的值为．14．若实数x，y满足不等式组，则z＝2x+y的最小值为．15．已知奇函数f（x）的导函数为f′（x），若当x＜0时f（x）＝x2﹣，且f′（﹣1）＝0．则f（x）的单调增区间为．16．已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，点P在直线x＝5上．当∠F1PF2取最大值时，＝．三．解答题（共7小题）17．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an是Sn与2的等差中项．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn＝log2an，求数列的前n项和Tn．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝2，M，N分别是BC，CC1的中点，AB1⊥MN．（1）证明：MN⊥平面AB1M；（2）求四棱锥A﹣B1MNC1的体积．19．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（2，1）．（1）求C的方程；（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．20．在①2csinBcosA＝b（sinAcosB+cosAsinB）；②sin2B+sin2C+cos2A﹣1＝sin（A+B）sin（A+C）；③；这三个条件中任选一个，补充在下面对问题中，并解答问题．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足_____．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若△ABC的面积为，D为AC的中点，求BD的最小值．21．已知函数f（x）＝（2x2﹣x3）e1﹣x，其中x＞0．（1）求f（x）的最大值；（2）若不等式ax2e1﹣x+|lnx|≥a对于任意的x∈（0，3）恒成立，求实数a的取值范围．22．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2：ρ＝2acosθ（a＞0）．（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）设射线与C1相交于A，B两点，与C2相交于M点（异于O），若|OM|＝|AB|，求a．23．已知函数f（x）＝|x﹣2|+|x﹣t|（t＞0）的最小值为2．（Ⅰ）求不等式f（x）+|x﹣t|≥8的解集；（Ⅱ）若ct+1＞0，且4a2+3b2+2c3＝2t+1，求2ab+bc+2ca的最大值．

2024年菁优高考数学终极押题密卷1（全国甲卷文科）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．若集合M＝{x|log2x＜4}，N＝{x|2x≥1}，则M∩N＝（）A．{x|0≤x＜8} B． C．{x|2≤x＜16} D．【考点】指、对数不等式的解法；交集及其运算．【专题】集合思想；综合法；集合；数学运算．【答案】D【分析】直接解出集合M，N，再求交集即可．【解答】解：M＝{x|log2x＜4}＝{x|0＜x＜16}，，则．故选：D．【点评】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．2．已知m∈R，且，其中i是虚数单位，则|m﹣2i|等于（）A．5 B． C． D．1【考点】复数的运算；复数的模．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．【答案】B【分析】利用复数乘法法则进行计算，得到m＝﹣1，再使用模长公式求解．【解答】解：由得（1+2i）（1+i）＝m+3i，即﹣1+3i＝m+3i，解得m＝﹣1，故．故选：B．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．3．某校高三年级的700名学生中，男生有385名，女生有315名．从中抽取一个容量为60的样本，则抽取男生和女生的人数分别为（）A．31，29 B．32，28 C．33，27 D．34，26【考点】分层抽样方法．【专题】对应思想；定义法；概率与统计；数据分析．【答案】C【分析】根据分层抽样原理求出抽取的人数．【解答】解：根据分层抽样原理知，60×＝33，60×＝27，所以抽取男生33人，女生27人．故选：C．【点评】本题考查了分层抽样原理应用问题，是基础题．4．正项等比数列{an}中，a5，4a3，﹣2a4成等差数列，若，则a1a7＝（）A．4 B．8 C．32 D．64【考点】等差数列与等比数列的综合；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．【答案】D【分析】由等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，即可得到所求值．【解答】解：设正项等比数列{an}的公比为q，a1＞0，q＞0，由a5，4a3，﹣2a4成等差数列，可得8a3＝a5﹣2a4，即8a1q2＝a1q4﹣2a1q3，即有q2﹣2q﹣8＝0，解得q＝4（﹣2舍去），又a2＝，即4a1＝，解得a1＝，所以a1a7＝××46＝64．故选：D．【点评】本题考查等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．5．已知p：∀x∈R，x2+x﹣1＞0；q：∃x∈R，2x＞3x，则真命题是（）A．p∧q B．p∨（￢q） C．（￢p）∨q D．（￢p）∧（￢q）【考点】复合命题及其真假．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】C【分析】根据复合命题以及二次函数、指数函数的性质可解．【解答】解：q：根据指数函数的性质，x＜0时，2x＞3x，∴∃x∈R，2x＞3x，为真命题，p：x2+x﹣1＞0，Δ＝1+4＝5＞0，∴y＝x2+x﹣1在＝0时有解，∴∀x∈R不能使x2﹣x﹣1＞0成立，∴p为假命题，∴p∧q中，p为假命题，A不选，故A错误；p∨（¬q）中，p、¬q都为假命题，B不选，故B错误；（¬p）∨q中，两者都是真命题，∴选C，故C正确；（¬p）∧（¬q），¬p为真命题，¬q为假命题，D不选，故D错误．故选C．【点评】本题考查利用函数性质判断复合命题真假，属于基础题．6．如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，E，F分别为BC，CD的中点，则＝（）A． B． C． D．【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用．【答案】D【分析】运用向量的加减运算和数量积的定义以及性质，主要是向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值．【解答】解：四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，可得•＝2×2×cos60°＝2，则＝（+）•＝（+）•（﹣）＝（×4﹣4+×2）＝﹣，故选：D．【点评】本题考查向量的加减运算和向量数量积的定义以及性质，考查运算能力，属于中档题．7．已知直线m，n与平面α，β，γ，下列命题中正确的是（）A．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，则m∥n B．若m∥α，m⊥β，则α⊥β C．若α∥β，m⊥α，β⊥γ，则m∥γ D．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥α【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；数学抽象．【答案】B【分析】根据题意，由直线与平面垂直的性质分析A、C，由平面与平面垂直的判定定理分析B、D，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，若α∩γ＝m，β∩γ＝n，直线m、n都在平面γ内，两直线可能相交，A错误；对于B，由平面与平面垂直的判定定理，B正确；对于C，若α∥β，m⊥α，则m⊥β，若β⊥γ，则m∥γ或m⊂γ，C错误；对于D，当m⊂β时，若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，才有m⊥α，D错误．故选：B．【点评】本题考查直线与平面、平面与平面的位置关系，属于基础题．8．△ABC中，角A、B，C的对边分别为a，b，c，若，则A＝（）A． B． C． D．【考点】解三角形；正弦定理．【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；解三角形；数学运算．【答案】C【分析】由已知结合二倍角公式，正弦定理及辅助角公式进行化简即可求解．【解答】解：因为＝c（1+cosA），所以sinAsinC＝sinC+sinCcosA，因为sinC＞0，所以sinA＝1+cosA，即sinA﹣cosA＝1，所以2sin（A﹣）＝1，所以sin（A﹣）＝，因为0＜A＜π，则A＝．故选：C．【点评】本题主要考查了二倍角公式，正弦定理，辅助角公式在三角求值中的应用，属于中档题．9．若函数f（x）＝2ax2+3x﹣1在区间[﹣1，1]内恰有一个零点，则实数a的取值集合为（）A．{a|﹣1＜a＜2} B．{a|a＝﹣，或﹣1＜a＜2} C．{a|﹣1≤a≤2} D．{a|a＝﹣，或﹣1≤a≤2}【考点】函数零点的判定定理．【专题】分类讨论；函数思想；综合法；函数的性质及应用；直观想象；数学运算．【答案】D【分析】根据题意，分a＝0和a≠0，结合二次函数的性质，以及零点存在性定理，列出不等式，即可求解．【解答】解：因为函数f（x）＝2ax2+3x﹣1，若a＝0，可得f（x）＝3x﹣1，令f（x）＝0，即3x﹣1＝0，解得，符合题意；若a≠0，令f（x）＝0，即2ax2+3x﹣1＝0，可得Δ＝9+8a，当Δ＝0时，即9+8a＝0，解得，此时f（x）＝﹣2x2+3x﹣1，解得，符合题意；当△＞0时，即a＞﹣且a≠0，则满足f（﹣1）•f（1）＝（2a﹣4）（2a+2）≤0，解得﹣1≤a≤2且a≠0，若a＝﹣1，可得f（x）＝﹣2x2+3x﹣1，令f（x）＝0，即2x2﹣3x+1＝0，解得x＝1或，两根均在[﹣1，1]内，符合题意；若a＝2，可得f（x）＝4x2+3x﹣1，令f（x）＝0，即4x2+3x﹣1＝0，解得x＝﹣1或，两根均在[﹣1，1]内，符合题意；综上可得，实数a的取值范围为或﹣1≤a≤2}．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的性质、分类讨论思想及函数的零点，属于中档题．10．已知函数f（x）＝（ax+1）ex，给出下列4个图象（）其中，可以作为函数f（x）的大致图象的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的图象与图象的变换．【专题】计算题；数形结合；综合法；函数的性质及应用；导数的概念及应用；数学抽象．【答案】D【分析】根据题意，首先分析a＝0时的图象，当a≠0时，分析f（x）的零点，求出f（x）的导数，求出其导数的零点，分3种情况讨论不同a的值对应的图象，综合可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）＝（ax+1）ex，当a＝0时，f（x）＝ex，其图象与①对应，当a≠0时，其导数f′（x）＝aex+（ax+1）ex＝（ax+a+1）ex，若f′（x）＝0，解可得x＝﹣，若f（x）＝（ax+1）ex＝0，则x＝﹣，分3种情况讨论：①a＞0时，有﹣＜﹣＜0，对于f（x）＝（ax+1）ex，在区间（﹣∞，﹣）上，ax+1＜0，有f（x）＜0，在区间（﹣，+∞），ax+1＞0，有f（x）＞0，对于f′（x）＝（ax+a+1）ex，在区间（﹣∞，﹣）上，ax+a+1＜0，有f′（x）＜0，f（x）为减函数，在区间（﹣，+∞）上，ax+a+1＞0，有f′（x）＞0，f（x）为增函数，其图象与②对应；②当﹣1＜a＜0时，有﹣＜0＜﹣，对于f（x）＝（ax+1）ex，在区间（﹣∞，﹣）上，ax+1＞0，有f（x）＞0，在区间（﹣，+∞），ax+1＜0，有f（x）＜0，对于f′（x）＝（ax+a+1）ex，在区间（﹣∞，﹣）上，ax+a+1＞0，有f′（x）＞0，f（x）为增函数，在区间（﹣，+∞）上，ax+a+1＜0，有f′（x）＜0，f（x）为减函数，其图象与③对应；③当a≤﹣1时，有0≤﹣＜﹣，对于f（x）＝（ax+1）ex，在区间（﹣∞，﹣）上，ax+1＞0，有f（x）＞0，在区间（﹣，+∞），ax+1＜0，有f（x）＜0，对于f′（x）＝（ax+a+1）ex，在区间（﹣∞，﹣）上，ax+a+1＞0，有f′（x）＞0，f（x）为增函数，在区间（﹣，+∞）上，ax+a+1＜0，有f′（x）＜0，f（x）为减函数，其图象与④对应，综合可得：可以作为函数f（x）的大致图象的有4个．故选：D．【点评】本题考查函数的图象分析，涉及函数导数与单调性的关系，属于中档题．11．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）分别是双曲线的左右焦点，若过F1的直线与圆相切，与C在第一象限交于点P，且PF2⊥x轴，则C的离心率为（）A． B．3 C． D．【考点】双曲线的性质．【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【答案】D【分析】由PF2⊥x轴，结合双曲线的方程，求得P的坐标，直线PF1的方程，圆的圆心和半径，由直线和圆相切的条件，化简整理，解方程可得所求离心率．【解答】解：设F2（c，0），令x＝c，可得y2＝b2（﹣1），解得y＝±，可得P（c，），直线PF1的方程为y＝（x+c），又圆的圆心为（c，0），半径为c，直线PF1与圆相切，可得＝c，化为b2＝4ac，即（c2﹣a2）＝4ac，可得e2﹣4e﹣＝0，解得e＝（舍去）．故选：D．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，以及直线和圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．12．已知a，b，c均为正数，且，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c【考点】对数值大小的比较．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】B【分析】将所求拆分成，令，q（x）＝﹣log4（x+3），且x＞0，a，b，c可看作函数f（x）与g（x），h（x），q（x）的交点，通过函数单调性以及函数的增长速度结合零点存在性定理可比较出a，b，c的大小．【解答】解：可变形为：可变形为：可变形为：，令，且x＞0，可知a，b，c分别为函数f（x）与g（x），h（x），q（x）的交点横坐标，当x＞0时，f（x）单调递增且f（1）＝﹣3，f（2）＝0，g（x），h（x），q（x）这三个函数全部单调递减，且g（1）＝h（1）＝q（1）＝﹣1＞﹣3，g（2）＝﹣3＜0，h（2）＝﹣7＜0，q（2）＝﹣log45＜﹣1＜0，由零点存在性定理可知：a，b，c∈（1，2），所以只需判断g（x），h（x），q（x）这三个函数的单调性，在x∈（1，2）范围内下降速度快的，交点横坐标小，下降速度慢的交点横坐标大，由图象可知，q（x）＝﹣log4（x+3）下降速度最慢，所以c最大，g′（x）＝﹣2xln2，h′（x）＝﹣3xln3，x＞0时，g′（x）＞h′（x），所以交点a＞b，故选：B．【点评】本题主要考查对数值大小的比较，属于中档题．二．填空题（共4小题）13．如图茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为14，乙组数据的平均数为16，则x+y的值为9．【考点】茎叶图．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．【答案】见试题解答内容【分析】甲组数据的中位数为14，乙组数据的平均数为16，由茎叶图列出方程组求出x，y，由此能求出x+y的值．【解答】解：根据茎叶图知，甲组数据是9，12，10+x，24，27；它的中位数为14，∴x＝4；乙组数据的平均数为＝16，∴y＝5；∴x+y＝4+5＝9；故答案为：9．【点评】本题考查代数式的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意中位数、平均数、茎叶图的性质的合理运用，14．若实数x，y满足不等式组，则z＝2x+y的最小值为2．【考点】简单线性规划．【专题】对应思想；数形结合法；不等式的解法及应用；数学运算．【答案】2．【分析】根据不等式组可作出可行域，将问题转化为直线y＝﹣2x+z在y轴截距最小值的求解，采用数形结合的方式可求得结果．【解答】解：根据不等式组可得可行域如下图阴影部分所示，当z＝2x+y取得最小值时，直线y＝﹣2x+z在y轴截距最小，由图象可知：当y＝﹣2x+z过A（0，2）时，在y轴截距最小，所以zmin＝0+2＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了简单线性规划、数形结合思想，作出图象是关键，属于基础题．15．已知奇函数f（x）的导函数为f′（x），若当x＜0时f（x）＝x2﹣，且f′（﹣1）＝0．则f（x）的单调增区间为（﹣1，0），（0，1）．．【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用；逻辑推理．【答案】（﹣1，0），（0，1）．【分析】根据题意可得f′（x）＝2x+，f′（﹣1）﹣2+a＝0，解得a，分析f（x）的单调性，再由奇函数的对称性可得答案．【解答】解：当x＜0时，f（x）＝x2﹣，f′（x）＝2x+，因为f′（﹣1）＝0，所以﹣2+a＝0，解得a＝2，所以当x＜0时，f（x）＝x2﹣，f′（x）＝2x+＝2（x+）＝2•，令f′（x）＝0得x＝﹣1，所以在（﹣1，0）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，在（﹣∞，﹣1）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，又函数f（x）为奇函数，所以在（0，1）上f（x）单调递增，在（1，+∞）上f（x）单调递减，所以f（x）的单调递增区间为（﹣1，0），（0，1）．故答案为：（﹣1，0），（0，1）．【点评】本题考查导数的综合应用，解题中注意在转化思想的应用，属于中档题．16．已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，点P在直线x＝5上．当∠F1PF2取最大值时，＝．【考点】双曲线的性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；不等式的解法及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【答案】．【分析】设出P的坐标，利用两角和与差的正切函数，结合基本不等式，求解P的坐标，然后求解结果即可．【解答】解：双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，可得F1（﹣3，0），F2（3，0）．点P在直线x＝5上．设∠F1PF2＝α，P（5，t），t＞0，可得tanα＝＝＝≤＝，当且仅当t＝4时取等号，此时tanα取得最大值，即∠F1PF2取最大值，此时P（5，4），＝＝．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，三角函数的应用以及基本不等式的应用，是中档题．三．解答题（共7小题）17．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an是Sn与2的等差中项．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn＝log2an，求数列的前n项和Tn．【考点】数列的求和．【专题】对应思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据和项与通项关系求递推关系，再根据等比数列定义以及通项公式即可求解；（2）先拆项，再利用裂项相消法求和．【解答】解：（1）由2an＝Sn+2得，2an﹣1＝Sn﹣1+2（n≥2），两式相减得an＝2an﹣1（n≥2），当n＝1时，a1＝2，所以数列{an}是首项为2、公比为2的等比数列，则；（2）由（1）知，bn＝n，所以，所以数列的前n项和＝＝，即．【点评】本题考查了数列的通项公式的求法和裂项求和，属于中档题．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝2，M，N分别是BC，CC1的中点，AB1⊥MN．（1）证明：MN⊥平面AB1M；（2）求四棱锥A﹣B1MNC1的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直．【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；数学运算．【答案】（1）证明过程见解答；（2）．【分析】（1）推导出AM⊥BC，AM⊥CC1，从而AM⊥平面BCC1B1，MN⊥AM，由此能证明MN⊥平面AB1M；（2）设BC＝2a，由MN⊥平面AB1M，得MB1⊥MN，利用勾股定理求出BC＝2，由AM⊥平面BCC1B1，得四棱锥A﹣B1MNC1的高为AM＝，求出＝﹣﹣S△CMN＝，由此能求出四棱锥A﹣B1MNC1的体积．【解答】解：（1）证明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝2，M，N分别是BC，CC1的中点，AB1⊥MN，∴AM⊥BC，AM⊥CC1，∵BC∩CC1＝C，∴AM⊥平面BCC1B1，∵MN⊂平面BCC1B1，∴MN⊥AM，∵AB1∩AM＝A，∴MN⊥平面AB1M；（2）设BC＝2a，∵MN⊥平面AB1M，∴MB1⊥MN，∴+MN2＝B1N2，∴4+a2+1+a2＝4a2+1，解得a＝，∴BC＝2，∵AM⊥平面BCC1B1，∴四棱锥A﹣B1MNC1的高为AM＝＝，＝﹣﹣S△CMN＝＝，∴四棱锥A﹣B1MNC1的体积为：V＝＝＝．【点评】本题考查线面垂直的判定与性质、勾股定理、四棱锥的体积等基础知识，运算求解能力，是中档题．19．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（2，1）．（1）求C的方程；（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的标准方程．【专题】分类讨论；分类法；圆锥曲线中的最值与范围问题；逻辑推理；数学运算．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由题可知，，解出a2和b2的值即可；（2）分两大类进行讨论：①当直线MN的斜率存在时，设其方程为y＝kx+m，与椭圆方程联立，消去y，写出韦达定理，结合＝0可得m＝1﹣2k或m＝，分别找出两种情形下直线MN所过的定点，并利用圆的几何性质可得点Q的坐标；②当直线MN的斜率不存在时，此时D为（，1），验证Q（，）是否符合题意即可．【解答】解：（1）∵离心率，∴a＝c，又a2＝b2+c2，∴b＝c，a＝b，把点A（2，1）代入椭圆方程得，，解得b2＝3，故椭圆C的方程为．（2）①当直线MN的斜率存在时，设其方程为y＝kx+m，联立，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣6＝0，由Δ＝（4km）2﹣4（2k2+1）（2m2﹣6）＞0，知m2＜6k2+3，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2＝，x1x2＝，∵AM⊥AN，∴＝（x1﹣2，y1﹣1）•（x2﹣2，y2﹣1）＝0，即（k2+1）x1x2+（km﹣k﹣2）（x1+x2）+m2﹣2m+5＝0，∴（k2+1）•+（km﹣k﹣2）（）+m2﹣2m+5＝0，化简整理得，4k2+8km+3m2﹣2m﹣1＝（2k+m﹣1）（2k+3m+1）＝0，∴m＝1﹣2k或m＝，当m＝1﹣2k时，y＝kx﹣2k+1，过定点A（2，1），不符合题意，舍去；当m＝时，y＝kx，过定点B．∵AD⊥MN，∴点D在以AB为直径的圆上，故当点Q为AB的中点，即Q（，）时，|DQ|＝，为定值；②当直线MN的斜率不存在时，设其方程为x＝t，M（t，s），N（t，﹣s），且，∵AM⊥AN，∴＝（t﹣2，s﹣1）•（t﹣2，﹣s﹣1）＝t2﹣4t﹣s2+5＝＝0，解得t＝或2（舍2），∴D（，1），此时|DQ|＝，为定值．综上所述，存在定点Q（，），使得|DQ|为定值，且该定值为．【点评】本题考查椭圆方程的求法、直线与椭圆的位置关系中的定值问题，涉及分类讨论的思想和先猜后证的方法，有一定的计算量，考查学生的逻辑推理能力、转化与化归能力和运算能力，属于难题．20．在①2csinBcosA＝b（sinAcosB+cosAsinB）；②sin2B+sin2C+cos2A﹣1＝sin（A+B）sin（A+C）；③；这三个条件中任选一个，补充在下面对问题中，并解答问题．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足_____．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若△ABC的面积为，D为AC的中点，求BD的最小值．【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．【专题】转化思想；综合法；解三角形；数学运算．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）4．【分析】（Ⅰ）选择①：由正弦定理，余弦定理可得cosA的值，再由角A的范围，可得角A的大小；选择②：由正弦定理和余弦定理可得cosA的值，再由角A的范围，可得角A的大小；若选择③：由正弦定理和余弦定理可得tanA的值，再由角A的范围，可得角A的大小；（Ⅱ）由三角形的面积公式及余弦定理，基本不等式可得BD的最小值．【解答】解：（Ⅰ）若选择①：2csinBcosA＝b（sinAcosB+cosAsinB），由正弦定理可得：2sinCsinBcosA＝sinBsin（A+B）＝sinBsinC，因C∈（0，π），B∈（0，π），故sinC≠0，sinB≠0，解得，又因为A∈（0，π），所以；若选择②：sin2B+sin2C+cos2A﹣1＝sin（A+B）sin（A+C），则sin2B+sin2C﹣sin2A＝sinCsinB，由正弦定理可得：b2+c2﹣a2＝bc，而由余弦定理可得：b2+c2﹣a2＝2bccosA，所以cosA＝，因A∈（0，π），所以A＝；若选择③：，由正弦定理可得：，再由余弦定理得：，即，因为A∈（0，π），所以；（Ⅱ），又，所以bc＝64，在△BCD中，由余弦定理可得：BD2＝BA2+AD2﹣2BA•DAcosA＝c2+（）2﹣2c••＝c2+﹣bc≥2﹣bc＝bc＝32，当且仅当时取等号．所以BD的最小值为．【点评】本题考查正弦定理，余弦定理的应用，属于中档题．21．已知函数f（x）＝（2x2﹣x3）e1﹣x，其中x＞0．（1）求f（x）的最大值；（2）若不等式ax2e1﹣x+|lnx|≥a对于任意的x∈（0，3）恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的最值．【专题】函数思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．【答案】（1）1；（2）[﹣1，1]．【分析】（1）求导，得到函数单调性，极值最值情况，求出最大值；（2）先考虑x＝1时满足题意，再分0＜x＜1与x＞1两种情况，求导后变形，与题干中的f（x）建立联系，分类讨论求出实数a的取值范围．【解答】解：（1）f'（x）＝（x3﹣5x2+4x）e1﹣x＝x（x﹣1）（x﹣4）e1﹣x，x＞0，令f'（x）＝x（x﹣1）（x﹣4）e1﹣x＞0，解得：x＞4或0＜x＜1，令f'（x）＝x（x﹣1）（x﹣4）e1﹣x＜0，解得：1＜x＜4，故f（x）＝（2x2﹣x3）e1﹣x在（0，1）和（4，+∞）上单调递增，在（1，4）上单调递减，故f（x）＝（2x2﹣x3）e1﹣x在x＝1处取得极大值，f（1）＝e1﹣1＝1，令f（x）＝（2x2﹣x3）e1﹣x＝x2（2﹣x）e1﹣x，即当x＞2时，f（x）＜0恒成立，故f（x）＝（2x2﹣x3）e1﹣x在x＝1处取得最大值，f（x）max＝1；（2）设g（x）＝ax2e1﹣x+|lnx|﹣a，其中x＞0，①当x＝1时，g（1）＝0，符合题意，②当0＜x＜1时，g（x）＝ax2e1﹣x﹣lnx﹣a，且，由（1）知：f（x）在（0，1）单调递增，故f（x）∈（f（0），f（1））＝（0，1），若a＜0，g'（x）＜0，则g（x）单调递减，有g（x）＞g（1）＝0，符合题意，若a＝0，g（x）＝﹣lnx＞0，符合题意，若，即0＜a≤1时，g'（x）＜0，则g（x）在（0，1）上单调递减，有g（x）＞g（1）＝0，符合题意，若，即a＞1时，存在x0∈（0，1）使得，当x∈（x0，1）时，，故g'（x）＞0，则g（x）单调递增，可得g（x）＜g（1）＝0，不合题意，因此当0＜x＜1时，满足题意得a∈（﹣∞，1]，③当x＞1时，g（x）＝ax2e1﹣x+lnx﹣a，且，由②可知：只需考虑a≤1，若，即a＜﹣1时，由（1）知f（x）在（1，2）上单调递减，故f（x）∈（f（2），f（1））＝（0，1），存在x1∈（1，2），使得，当x∈（1，x1）时，，得g'（x）＜0，则g（x）单调递减，可得：g（x）＜g（1）＝0，不合题意，若，即﹣1≤a＜0时，由（1）可知：当x＞1时，f（x）＜1，，故g'（x）＞0，则g（x）在（1，3）上单调递增，有g（x）＞g（1）＝0，符合题意，若a＝0，g（x）＝lnx＞0，符合题意，若0＜a≤1，下面证明0＜a≤1符合题意，当x≥e时，ax2e1﹣x＞0，故g（x）＞lnx﹣a≥lnx﹣1≥0，当1≤x＜e时，设h（x）＝x2e1﹣x﹣1，则h'（x）＝x（2﹣x）e1﹣x，可得h（x）在（1，2）上单调递增，在（2，e）上单调递减，故h（x）＞min{h（1），h（e）}＝min{0，e3﹣e﹣1}＝0，从而g（x）＝a•h（x）+lnx＞0，符合题意，综上：a∈[﹣1，1]．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了函数恒成立问题，同时考查了学生的运算求解能力，属于难题．22．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2：ρ＝2acosθ（a＞0）．（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）设射线与C1相交于A，B两点，与C2相交于M点（异于O），若|OM|＝|AB|，求a．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【专题】转化思想；综合法；坐标系和参数方程；逻辑推理；数学运算．【答案】（1）；（x﹣a）2+y2＝a2．（2）．【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；（2）利用极径的应用和三角函数的值的应用求出结果．【解答】解：（1）已知曲线C1：（t为参数），转换为直角坐标方程为：，根据转换为曲线C1的极坐标方程为：；曲线C2：ρ＝2acosθ（a＞0）．根据转换为曲线C2的直角坐标方程为：（x﹣a）2+y2＝a2．（2）将代入，得，即，解得ρ1＝1，，所以．又，而|OM|＝|AB|，所以．【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23．已知函数f（x）＝|x﹣2|+|x﹣t|（t＞0）的最小值为2．（Ⅰ）求不等式f（x）+|x﹣t|≥8的解集；（Ⅱ）若ct+1＞0，且4a2+3b2+2c3＝2t+1，求2ab+bc+2ca的最大值．【考点】函数的最值及其几何意义；绝对值不等式的解法．【专题】对应思想；综合法；不等式；数学运算．【答案】（Ⅰ）或x≥6}；（Ⅱ）5．【分析】（Ⅰ）由f（x）的最小值为2，可得t＝4，将函数写成分段函数，求解即可；（Ⅱ）由题意可得c＞﹣，从而得2c+1＞0，（2c+1）（c﹣1）2≥0，进一步得2c3+1≥3c2，于是有10＝4a2+3b2+2c3+1≥4a2+3b2+3c2，再结合重要不等式求解即可．【解答】解：（Ⅰ）∵|x﹣2|+|x﹣t|≥|（x﹣2）﹣（x﹣t）|＝|t﹣2|，∴f（x）min＝|t﹣2|，又f（x）＝|x﹣2|+|x﹣t|（t＞0）的最小值为2，∴|t﹣2|＝2，∴t＝4（t＝0舍去）．∴f（x）+|x﹣t|＝|x﹣2|+2|x﹣4|＝，当x＜2时，令10﹣3x≥8，得，∴x≤；当2≤x≤4时，令6﹣x≥8，得x≤﹣2，无解；当x＞4时，令3x﹣10≥8，得x≥6，∴x≥6．综上，不等式的解集为或x≥6}．（Ⅱ）∵ct+1＞0⇔4c+1＞0，解得c＞﹣，所以2c+1＞﹣+1＝＞0，∴（2c+1）（c﹣1）2＝2c3﹣3c2+1≥0，当c＝1时，等号成立，∴2c3+1≥3c2，又∵4a2+3b2+2c3＝2t+1＝9，于是10＝4a2+3b2+2c3+1≥4a2+3b2+3c2，而2a2+2b2≥4ab，2a2+2c2≥4ac，b2+c2≥2bc，将以上三个式子相加，得（2a2+2b2）+（2a2+2c2）+（b2+c2）≥4ab+4ac+2bc，即4a2+3b2+3c2≥4ab+4ac+2bc，∴10≥4a2+3b2+3c2≥4ab+4ac+2bc，∴4ab+4ac+2bc≤10，2ab+bc+2ca≤5，∴2ab+bc+2ca的最大值为5，取等号条件为a＝b＝c＝1．【点评】本题考查了含绝对值不等式的解法、重要不等式的应用，属于中档题．

考点卡片1．交集及其运算【知识点的认识】由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．运算形状：①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．⑤A∩B＝A⇔A⊆B．⑥A∩B＝∅，两个集合没有相同元素．⑦A∩（∁UA）＝∅．⑧∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）．【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．2．复合命题及其真假【知识点的认识】含有逻辑连接词“或”“且”“非”的命题不一定是复合命题．若此命题的真假满足真值表，就是复合命题，否则就是简单命题．逻辑中的“或”“且”“非”与日常用语中的“或”“且”“非”含义不尽相同．判断复合命题的真假要根据真值表来判定．【解题方法点拨】能判断真假的、陈述句、反诘疑问句都是命题，而不能判断真假的陈述句、疑问句以及祈使句都不是命题．能判断真假的不等式、集合运算式也是命题．写命题P的否定形式，不能一概在关键词前、加“不”，而要搞清一个命题研究的对象是个体还是全体，如果研究的对象是个体，只须将“是”改成“不是”，将“不是”改成“是”即可．如果命题研究的对象不是一个个体，就不能简单地将“是”改成“不是”，将“不是”改成“是”，而要分清命题是全称命题还是存在性命题（所谓全称命题是指含有“所有”“全部”“任意”这一类全称量诃的命题；所谓存在性命题是指含有“某些”“某个”“至少有一个”这一类存在性量词的命题，全称命题的否定形式是存在性命题，存在性命题的否定形式是全称命题．因此，在表述一个命题的否定形式的时候，不仅“是”与“不是”要发生变化，有关命题的关键词也应发生相应的变化，常见关键词及其否定形式附表如下：关键词等于（＝）大于（＞）小于（＜）是能都是没有至多有一个至少有一个至少有n个至多有n个任意的任两个P且QP或Q否定词不等于（≠）不大于（≤）不小于（≥）不是不能不都是至少有一个至少有两个一个都没有至多有n﹣1个至少有n+1个某个某两个¬P或¬Q¬P且¬Q若原命题P为真，则¬P必定为假，但否命题可真可假，与原命题的真假无关，否命题与逆命题是等价命题，同真同假．3．指、对数不等式的解法【知识点的认识】指、对数不等式的解法其实最主要的就是两点，第一点是判断指、对数的单调性，第二点就是学会指数和指数，对数和对数之间的运算，下面以例题为讲解．【解题方法点拨】例1：已知函数f（x）＝ex﹣1（e是自然对数的底数）．证明：对任意的实数x，不等式f（x）≥x恒成立．解：（I）设h（x）＝f（x）﹣x＝ex﹣1﹣x∴h'（x）＝ex﹣1﹣1，当x＞1时，h'（x）＞0，h（x）为增，当x＜1时，h'（x）＜0，h（x）为减，当x＝1时，h（x）取最小值h（1）＝0．∴h（x）≥h（1）＝0，即f（x）≥x．这里面是一个综合题，解题的思路主要还是判断函数的单调性，尤其是指数函数的单调性，考查的重点其实是大家的计算能力．例2：已知函数f（x）＝loga（x﹣1），g（x）＝loga（3﹣x）（a＞0且a≠1），利用对数函数的单调性，讨论不等式f（x）≥g（x）中x的取值范围．解：∵不等式f（x）≥g（x），即loga（x﹣1）≥loga（3﹣x），∴当a＞1时，有，解得2＜x＜3．当1＞a＞0时，有，解得1＜x＜2．综上可得，当a＞1时，不等式f（x）≥g（x）中x的取值范围为（2，3）；当1＞a＞0时，不等式f（x）≥g（x）中x的取值范围为（1，2）．这个题考查的就是对数函数不等式的求解，可以看出主要还是求单调性，当然也可以右边移到左边，然后变成一个对数函数来求解也可以．【命题方向】本考点其实主要是学会判断各函数的单调性，然后重点考察学生的运算能力，也是一个比较重要的考点，希望大家好好学习．4．简单线性规划【知识点的认识】线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出．我们高中阶段接触的主要是由三个二元一次不等式组限制的可行域，然后在这个可行域上面求某函数的最值或者是斜率的最值．【解题方法点拨】1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．2．在通过求直线的截距的最值间接求出z的最值时，要注意：当b＞0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b＜0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值．【命题方向】例：若目标函数z＝x+y中变量x，y满足约束条件．（1）试确定可行域的面积；（2）求出该线性规划问题中所有的最优解．解：（1）作出可行域如图：对应得区域为直角三角形ABC，其中B（4，3），A（2，3），C（4，2），则可行域的面积S＝＝．（2）由z＝x+y，得y＝﹣x+z，则平移直线y＝﹣x+z，则由图象可知当直线经过点A（2，3）时，直线y＝﹣x+z得截距最小，此时z最小为z＝2+3＝5，当直线经过点B（4，3）时，直线y＝﹣x+z得截距最大，此时z最大为z＝4+3＝7，故该线性规划问题中所有的最优解为（4，3），（2，3）这是高中阶段接触最多的关于线性规划的题型，解这种题一律先画图，把每条直线在同一个坐标系中表示出来，然后确定所表示的可行域，也即范围；最后通过目标函数的平移去找到它的最值．题型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域典例1：若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx+分为面积相等的两部分，则k的值是（）A．B．C．D．分析：画出平面区域，显然点（0，）在已知的平面区域内，直线系过定点（0，），结合图形寻找直线平分平面区域面积的条件即可．解答：不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y＝kx+过定点（0，）．因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx+能平分平面区域．因为A（1，1），B（0，4），所以AB中点D（，）．当y＝kx+过点（，）时，＝+，所以k＝．答案：A．点评：二元一次不等式（组）表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点．题型二：求线性目标函数的最值典例2：设x，y满足约束条件：，求z＝x+y的最大值与最小值．分析：作可行域后，通过平移直线l0：x+y＝0来寻找最优解，求出目标函数的最值．解答：先作可行域，如图所示中△ABC的区域，且求得A（5，2）、B（1，1）、C（1，），作出直线l0：x+y＝0，再将直线l0平移，当l0的平行线l1过点B时，可使z＝x+y达到最小值；当l0的平行线l2过点A时，可使z＝x+y达到最大值．故zmin＝2，zmax＝7．点评：（1）线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得．（2）求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，明确和直线的纵截距的关系．题型三：实际生活中的线性规划问题典例3：某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润（总利润＝总销售收入﹣总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（）A．50，0B．30，20C．20，30D．0，50分析：根据线性规划解决实际问题，要先用字母表示变量，找出各量的关系列出约束条件，设出目标函数，转化为线性规划问题．解析设种植黄瓜x亩，韭菜y亩，则由题意可知求目标函数z＝x+0.9y的最大值，根据题意画可行域如图阴影所示．当目标函数线l向右平移，移至点A（30，20）处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植30亩，韭菜种植20亩时，种植总利润最大．故答案为：B点评：线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成：（1）作图﹣﹣画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条l；（2）平移﹣﹣将l平行移动，以确定最优解的对应点A的位置；（3）求值﹣﹣解方程组求出A点坐标（即最优解），代入目标函数，即可求出最值．题型四：求非线性目标函数的最值典例4：（1）设实数x，y满足，则的最大值为．（2）已知O是坐标原点，点A（1，0），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则|+|的最小值是．分析：与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成．解答：（1）表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，在点（1，）处取到最大值．（2）依题意得，+＝（x+1，y），|+|＝可视为点（x，y）与点（﹣1，0）间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点（﹣1，0）向直线x+y＝2引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点（﹣1，0）的距离最小，因此|+|的最小值是＝．故答案为：（1）（2）．点评：常见代数式的几何意义有（1）表示点（x，y）与原点（0，0）的距离；（2）表示点（x，y）与点（a，b）之间的距离；（3）表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率；（4）表示点（x，y）与点（a，b）连线的斜率．5．函数的图象与图象的变换【知识点的认识】函数图象的作法：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线．解题方法点拨：一般情况下，函数需要同解变形后，结合函数的定义域，通过函数的对应法则，列出表格，然后在直角坐标系中，准确描点，然后连线（平滑曲线）．命题方向：一般考试是以小题形式出现，或大题中的一问，常见考题是，常见函数的图象，有时结合函数的奇偶性、对称性、单调性知识结合命题．图象的变换1．利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线．首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）．其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线．2．利用图象变换法作函数的图象（1）平移变换：y＝f（x）a＞0，右移a个单位（a＜0，左移|a|个单位）⇒y＝f（x﹣a）；y＝f（x）b＞0，上移b个单位（b＜0，下移|b|个单位）⇒y＝f（x）+b．（2）伸缩变换：y＝f（x）y＝f（ωx）；y＝f（x）A＞1，伸为原来的A倍（0＜A＜1，缩为原来的A倍）⇒y＝Af（x）．（3）对称变换：y＝f（x）关于x轴对称⇒y＝﹣f（x）；y＝f（x）关于y轴对称⇒y＝f（﹣x）；y＝f（x）关于原点对称⇒y＝﹣f（﹣x）．（4）翻折变换：y＝f（x）去掉y轴左边图，保留y轴右边图，将y轴右边的图象翻折到左边⇒y＝f（|x|）；y＝f（x）留下x轴上方图将x轴下方图翻折上去y＝|f（x）|．【解题方法点拨】1、画函数图象的一般方法（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出．（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．（3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论．2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法（1）知图选式：①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；②从图象的变化趋势，观察函数的单调性；③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性；④从图象的循环往复，观察函数的周期性．利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项．（2）知式选图：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从函数的奇偶性，判断图象的对称性．④从函数的周期性，判断图象的循环往复．利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项．注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口．3、（1）利有函数的图象研究函数的性质从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．（2）利用函数的图象研究方程根的个数有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值．【命题方向】（1）1个易错点﹣﹣图象变换中的易错点在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．（2）3个关键点﹣﹣正确作出函数图象的三个关键点为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点：①正确求出函数的定义域；②熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x+的函数；③掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．（3）3种方法﹣﹣识图的方法对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供的信息，解决这类问题的常用方法有：①定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下降）的趋势，利用这一特征来分析解决问题；②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．6．函数的最值及其几何意义【知识点的认识】函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．【解题方法点拨】①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+的最小值，有2x+≥2＝8；②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较．【命题方向】本知识点是常考点，重要性不言而喻，而且通常是以大题的形式出现，所以务必引起重视．本知识点未来将仍然以复合函数为基础，添加若干个参数，然后求函数的定义域、参数范围或者满足一些特定要求的自变量或者参数的范围．常用方法有分离参变量法、多次求导法等．7．对数值大小的比较【知识点的认识】1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较．2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大）8．函数零点的判定定理【知识点的认识】1、函数零点存在性定理：一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．特别提醒：（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．【解题方法点拨】函数零点个数的判断方法：（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；②函数的零点是实数而不是数轴上的点．（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．9．等差数列的通项公式【知识点的认识】等差数列是常见数列的一种，数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，已知等差数列的首项a1，公差d，那么第n项为an＝a1+（n﹣1）d，或者已知第m项为am，则第n项为an＝am+（n﹣m）d．【解题方法点拨】eg1：已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2+1，求数列{an}的通项公式，并判断{an}是不是等差数列解：当n＝1时，a1＝S1＝12+1＝2，当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2+1﹣（n﹣1）2﹣1＝2n﹣1，∴an＝，把n＝1代入2n﹣1可得1≠2，∴{an}不是等差数列考察了对概念的理解，除掉第一项这个数列是等差数列，但如果把首项放进去的话就不是等差数列，题中an的求法是数列当中常用到的方式，大家可以熟记一下．eg2：已知等差数列{an}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7则这个数列的通项公式为解：∵等差数列{an}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7，∴2（2a+1）＝a﹣1+a+7，解得a＝2．∴a1＝2﹣1＝1，a2＝2×2+1＝5，a3＝2+7＝9，∴数列an是以1为首项，4为公差的等差数列，∴an＝1+（n﹣1）×4＝4n﹣3．故答案：4n﹣3．这个题很好的考察了的呢公差数列的一个重要性质，即等差中项的特点，通过这个性质然后解方程一样求出首项和公差即可．【命题方向】求等差数列的通项公式是一种很常见的题型，这里面往往用的最多的就是等差中项的性质，这也是学习或者复习时应重点掌握的知识点．10．等比数列的通项公式【知识点的认识】1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．2．等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1•qn﹣13．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．G2＝a•b（ab≠0）4．等比数列的常用性质（1）通项公式的推广：an＝am•qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则ak•al＝am•an（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}，仍是等比数列．（4）单调性：或⇔{an}是递增数列；或⇔{an}是递减数列；q＝1⇔{an}是常数列；q＜0⇔{an}是摆动数列．11．数列的求和【知识点的认识】就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：（1）公式法：①等差数列前n项和公式：Sn＝na1+n（n﹣1）d或Sn＝②等比数列前n项和公式：③几个常用数列的求和公式：（2）错位相减法：适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．（3）裂项相消法：适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即＝（）．（4）倒序相加法：推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．（5）分组求和法：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．【解题方法点拨】典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn．（Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）令bn＝（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：＝＝．解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，∵a3＝7，a5+a7＝26，∴，解得a1＝3，d＝2，∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；Sn＝＝n2+2n．（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，∴bn＝＝＝＝，∴Tn＝＝＝，即数列{bn}的前n项和Tn＝．点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．【命题方向】数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．12．等差数列与等比数列的综合【知识点的认识】1、等差数列的性质（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；（3）m，n∈N+，则am＝an+（m﹣n）d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有as+at＝2ap；（5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数．（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1＝an+an+2，2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．2、等比数列的性质．（1）通项公式的推广：an＝am•qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则ak•al＝am•an（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}，仍是等比数列．（4）单调性：或⇔{an}是递增数列；或⇔{an}是递减数列；q＝1⇔{an}是常数列；q＜0⇔{an}是摆动数列．13．利用导数研究函数的单调性【知识点的认识】1、导数和函数的单调性的关系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：（1）确定f（x）的定义域；（2）计算导数f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．【解题方法点拨】若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．【命题方向】题型一：导数和函数单调性的关系典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）解：f（x）＞2x+4，即f（x）﹣2x﹣4＞0，设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，则g′（x）＝f′（x）﹣2，∵对任意x∈R，f′（x）＞2，∴对任意x∈R，g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，∵f（﹣1）＝2，∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，则由g（x）＞g（﹣1）＝0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），故选：B题型二：导数和函数单调性的综合应用典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；（Ⅲ）求证：．解：（Ⅰ）（2分）当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3∴，∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2∴由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，所以有：，∴（10分）（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，∴∴14．利用导数研究函数的最值【知识点的认识】1、函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）＝在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个2、用导数求函数的最值步骤：由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求f（x）在（a，b）内的极值；（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．【解题方法点拨】在理解极值概念时要注意以下几点：（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．15．平面向量数量积的性质及其运算【知识点的认识】1、平面向量数量积的重要性质：设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：（1）＝＝||cosθ；（2）⇔＝0；（判定两向量垂直的充要条件）（3）当，方向相同时，＝||||；当，方向相反时，＝﹣||||；特别地：＝||2或||＝（用于计算向量的模）（4）cosθ＝（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）（5）||≤||||2、平面向量数量积的运算律（1）交换律：；（2）数乘向量的结合律：（λ）•＝λ（）＝•（）；（3）分配律：（）•≠•（）平面向量数量积的运算平面向量数量积运算的一般定理为①（±）2＝2±2•+2．②（﹣）（+）＝2﹣2．③•（•）≠（•）•，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．【解题方法点拨】例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn＝nm”类比得到“”②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“⇒”；④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“||＝||•||”；⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（）•＝”；⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是①②．解：∵向量的数量积满足交换律，∴“mn＝nm”类比得到“”，即①正确；∵向量的数量积满足分配律，∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”，即②正确；∵向量的数量积不满足消元律，∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”，即③错误；∵||≠||•||，∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；即④错误；∵向量的数量积不满足结合律，∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”，即⑤错误；∵向量的数量积不满足消元律，∴”不能类比得到，即⑥错误．故答案为：①②．向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”；||≠||•||，故“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到