几何证明选讲定理大全

1、几何证明选讲定理大全平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.123/ABABlllBCBC符号语言：DE 一般地，当，且=q(qR)时,=q.EFL1ABCDEL2L3llL2ABCDEL1L3ll 若将下图中的直线若将下图中的直线L2看成是平行于看成是平行于ABC的边的边BC的直线的直线,那么可得那么可得:推论：推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例对应线段成比例.ADAEABAC=DEEFABBCDFDEACABDEDFABACEFDFBCACDFEFACBCDFACEF

2、BCDEABEFDEBCABEFBCDEABDFACEFBC1、如图：EFAB，BF：FC= 5 ：4， AC=3厘米，则CE=（）ABEFCABEFCDABEFCDADAFABADADABACAEAFDFADDBAFADAEACABDC、已知在ABC中，DEBC，EFDC，那么下列结论不成立的是( )3、如图： ABC中, DE BC，DF AC，AE=4，EC=2，BC=8，求线段BF,CF之长.16168,8.333CFDEBF=-=B43cm3直角三角形的射影定理选修选修4-1相关定理相关定理直角三角形的射影定理u直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比直角三角形斜边上的高是两直

3、角边在斜边上射影的比例中项例中项.u两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项.ABCD.;ABBDBCABADACBDADCDCDABCRt222是是斜斜边边上上的的高高，则则有有，证明原理：相似三角形对应边成比例练习.,.,.,.,.,.CFBEACABFEDACDFABDEBCADBACABCECAEFADFEACFADBBCADABCRTACABBDABCDBACABCBCACABBDADCDABCDCABCBCACCDDBADDABCO339054216032560902821求证：求证：分别为分别为垂足垂足中中求证：求证：于于交交于

4、于的平分线交的平分线交上的高上的高是斜边是斜边中中在在求证：求证：中中的长的长求求，已知已知上的高上的高是斜边是斜边中中在在的长的长求求上的射影为上的射影为在直径在直径上一点上一点圆圆圆周角定理选修选修4-1相关定理相关定理OBACDF圆心角：如圆心角：如BOA圆内角：如圆内角：如BCA圆周角：如圆周角：如BDA圆外角：如圆外角：如BFA角的顶点在圆周上是否顶点在圆周上的角就是圆周角呢?圆心角、圆周角、圆内(外)角OBCAOCABOCABOCABOCAB化化归归化化归归分类讨论分类讨论完全归纳法完全归纳法圆周角定理、圆心角定理u一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半一条弧所对的圆周角等于它

5、所对的圆心角的一半u圆心角的度数等于它所对弧的度数圆心角的度数等于它所对弧的度数.u推论：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半推论：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半.圆周角定理推论u推论推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.u推论推论2 半圆半圆(或直径或直径)所对的圆周角是所对的圆周角是90； 90的圆周角所对的弦是直径的圆周角所对的弦是直径.u推论推论3 如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形那么这个三角形是直角三

6、角形.OBADECDCEBFAODCEO1BFAO2比较比较ACB、ADB、AEB的大小的大小如果弧如果弧AB弧弧CD，那么那么E和和F是什么是什么关系？反过来呢？关系？反过来呢？ O1和和 O2是等圆，若弧是等圆，若弧AB弧弧CD，则，则E和和F是什么关系？反过来呢？是什么关系？反过来呢？练习1.AD是是ABC的高，的高，AE是是ABC的外的外接圆直径，求证：接圆直径，求证：ABACAEAD.2.如图，已知如图，已知AB是是 O的弦，半径的弦，半径OPAB，弦弦PD交交AB于于C，求证：，求证：PA2PCPDCDPBAOOCBADE3.如图，如图，AB与与CD交于圆内一点交于圆内一点P，求证

7、：，求证：弧弧AD的度数与弧的度数与弧BC的度数的和的一半等的度数的和的一半等于于APD的度数的度数.CDBAEOABCD4.ABC内接于内接于 O，弧，弧AB=弧弧AC，点，点D是是BC弧上任意一点，弧上任意一点，AD=6cm，BD=5cm，CD=3cm，求，求DE的长的长.5.ABC中，中，AD、BD分别平分分别平分BAC和和ABC，延长，延长AD交交ABC 的外接圆于的外接圆于E，连接连接BE，求证：，求证：BE=DE.EDOABC6.ABC内接于内接于 O，AD是是 O的直径，的直径，CEAD，E为垂足，为垂足，CE的延长线交的延长线交AB于点于点F，求证：，求证：AC2=AFAB.E

8、OADBCF.sin)(;)(.O.的长的长，求，求，如果如果弧弧求证：弧求证：弧，且，且于于交交，垂足为，垂足为的直径，的直径，是圆是圆已知已知ADABFBCAFABBEAEEADBFDBCADBC5453217ECOBADF圆内接四边形的性质与判定定理选修选修4-1相关定理相关定理圆内接四边形的性质定理u定理定理1：圆的内接四边形的对角互补：圆的内接四边形的对角互补u定理定理2：圆的内接四边形的外角等于它的内角的对角：圆的内接四边形的外角等于它的内角的对角.CBADOEFDB180AC180EABBCDFCBBAD对角互补外角内对角上述定理的逆命题是否成立？圆内接四边形的判定定理u定理：如

9、果一个四边形的对角互补，那么这个四边定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆形的四个顶点共圆.u推论推论1：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆那么这个四边形的四个顶点共圆.u推论推论2：如果四边形一边上的两个顶点的视角相等，：如果四边形一边上的两个顶点的视角相等，那么四边形的四个顶点共圆那么四边形的四个顶点共圆.证明原理：穷举法+反证法与圆周角定理有什么关系？BADCOP若若ADBABC180，则，则ABCD四点共圆；四点共圆；若若PAD=DCB，则，则ABCD四点共圆；四点共圆；若若ADB=ACB

10、，则，则ABCD四点共圆；四点共圆；练习1. O1和和 O2都经过都经过A、B两点，经过两点，经过A点的直线点的直线CD与与 O1交于点交于点C，与，与 O2交于点交于点D，经过，经过B点的直线点的直线EF与与 O1交于点交于点E，与，与 O2交于点交于点F，求证：，求证：CEDF.情况唯一吗？FEDCBAO2O1ECBAO2O1FD2.如图，如图，CF是是ABC的的AB边上的高，边上的高，FPBC，FQAC，求证：，求证：ABPQ四点共圆四点共圆.ABCFQP3.AD、BE是是ABC的两条高，求证：的两条高，求证： CED=ABC.4.如图，已知四边形如图，已知四边形ABCD内接于内接于圆，

11、延长圆，延长AB和和DC相交于相交于E，EG平平分分E，且与，且与BC、AD分别相交于分别相交于F、G，求证：，求证：CFG=DGF.GCBEADF5.如图，圆的直径如图，圆的直径ABCD弦，在弦，在CD延延长线上任取一点长线上任取一点E，连接，连接AE交圆于点交圆于点F，连接连接CF，求证：，求证：ACEFDECF.DFOEBAC6.如图，已知如图，已知 O中，中，AB=CD，延长，延长BA，DC相交于相交于P点，点，E为弧为弧BD上一点，上一点，CE交交BD于于F，求证：，求证：(1)PA=PC；(2)ABEFBEDF.FACOPBDE7.如图，四边形如图，四边形ABCD中，中，AB、DC

12、的延的延长线交于点长线交于点E，AD，BC的延长线交于点的延长线交于点F，AED、AFB的角平分线交于点的角平分线交于点M，且且EMFM，求证：四边形，求证：四边形ABCD内接内接于圆于圆.MCAEFBD8.如图，已知如图，已知 O1与与 O2相交于相交于A、B两点，两点，P是是 O1上一点，上一点，PA、PB的延的延长线分别交长线分别交 O2于点于点D、C， O1的的直径直径PE的延长线交的延长线交CD于点于点M，求证：求证：PM CD.EBAO1O2PDCM9.如图，已知如图，已知ADC中，中， D=90，B是是AD上一点，上一点，AB是是 O的直径，的直径，E是是CD上上一点，一点，AE

13、交交 O于于G，AC交交 O于于F，求证：求证：CFGE四点共圆四点共圆.BGFODCAE圆的切线的性质及判定定理选修选修4-1相关定理相关定理切线的性质定理u切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.u推论推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.u推论推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.切线判定的方法u利用切线定义利用切线定义u利用圆心到直线的距离等于半径利用圆心到直线的距离等于半径u利用切线判断定理：经过半径的外端并且垂直于这利用切线判断定理：经过半径

14、的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线条半径的直线是圆的切线实质为三条性质：(1)过圆心；(2)过切点；(3)垂直于切线，知二得一练习1.如图，如图，AB是是 O的直径，的直径， O过过BC的中的中点点D，DEAC，求证：，求证：DE是是 O的切线的切线.DOCABE2.如图，如图，AB为为 O的直径，的直径，C为为 O上一上一点，点，AD和过和过C点的切线互相垂直，垂点的切线互相垂直，垂足为足为D，求证：，求证：AC平分平分DAB.DCOBA3.如图，如图，AB是是 O的直径，的直径，BC是是 O的切线，切点为的切线，切点为B，OC平行平行于弦于弦AD，求证：，求证：DC是是 O的切线的切

15、线.DCOBA4.如图，已知如图，已知C=90，点，点O在在AC上，上，CD为为 O的直径，的直径， O切切AB于于E，若若BC=5，AC=12，求，求 O的半径的半径.DEOABC5.如图，如图，D是是 O的直径的直径AB延长线上延长线上一点，一点，PD是是 O切线，切线，P是切点，是切点，D=30，求证：，求证：PA=PD.BODAP6.如图，如图， ABC内接于内接于 O，点，点D在在OC的延长线上，的延长线上，sinB=0.5，D=30，(1)求证：求证：AD是是 O的切线；的切线；(2)若若AC=6，求，求AD的长的长.ODBAC7.如图，如图， 在在RTABC中，中，C=90，BE

16、平分平分ABC交交AC于点于点E，点，点D在在AB上，上，DEEB.(1)求证：求证：AC是是BDE的外接圆的切线；的外接圆的切线；(2)若若AD= ，AE= ，求，求EC的长的长.6226ABCED弦切角的性质选修选修4-1相关定理相关定理弦切角u弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交、弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角另一边和圆相切的角叫做弦切角.u要点：要点：p顶点在圆上顶点在圆上p一边和圆相交一边和圆相交p一边和圆相切一边和圆相切OCBADECBADOECBA(D)OEEABBCDEABBCA极限状态极限状态？弦切角的性质u弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角弦切角等

17、于它所夹的弧所对的圆周角OCBADEOCBADEOCBADEPOCBADEP化化归归化化归归分类讨论分类讨论完全归纳法完全归纳法练习1.如图，已知如图，已知AB是是 O的直径，的直径，AC是弦，是弦，直线直线CE和和 O切于点切于点C，ADCE，垂，垂足为足为D，求证：求证：AC平分平分BADBDOCAE2.如图，如图， O和和 O都经过都经过A、B两点，两点，AC是是 O 的切线，交的切线，交 O于于C，AD是是 O的切线，交的切线，交 O 于于D，求证：求证：AB2BCBD.DCOOBAFEODBCA3.在在ABC中，中，A的平分线的平分线AD交交BC于于D， O过点过点A，且和，且和BC

18、切于切于D，和和AB、AC分别交于分别交于E、F，求证：求证：EF/BC.4.如图，已知如图，已知PE切切 O于于E，割线割线PBA交圆于交圆于B、A两点，两点，(1)求证：求证：AEPEBP；(2)若若APE的平分线和的平分线和AE、BE分别交于分别交于C、D，求证：求证：CEDE；CA:CE=PE:PB.AOBPE5.如图，如图，AB为为 O的直径，弦的直径，弦CD/AB，AE切切 O 于于A，交，交CD的延长线于的延长线于E.求证：求证：BC2=ABDE.OEABCD6.已知：直线已知：直线MN与与AB为直径的半圆为直径的半圆相切于点相切于点C，A28，(1)求求ACM的度数；的度数；(

19、2)在在MN上是否存在一点上是否存在一点D， 使使ABCDACBC？为什么？为什么？DNMCBAD与圆有关的比例线段选修选修4-1相关定理相关定理 相交弦定理u相交弦定理：圆内的两条相交弦，相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等被交点分成的两条线段长的积相等.POCDABPAPB=PCPD(1)证明思路：相似三角形推论推论()：当当CD为直径，为直径，ABCD时，时，PA2= PCPD.ACDBPO特殊问题：当点问题：当点P运动到圆上、运动到圆上、圆外时结论圆外时结论(1)是否还成立？是否还成立？运动变化OP(A, C)BDAOPBCDPAPB = PCPD？割线定理、切

20、割线定理、切线长定理u割线定理：从圆外一点引圆的两割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等的交点的两条线段长的积相等.AOPBCDPAPB=PCPDu切割线定理：从圆外一点引圆的切切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项圆交点的两条线段长的比例中项.PT2= PAPBAOPBT极限u切线长定理：从圆外一点引圆的两切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，条切线，切线长相等，切线长相等，圆心和圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角这一点的连线平分两条切线的

21、夹角.PACOPA=PC，PO平分平分CPA极限练习1. 圆内的两条弦圆内的两条弦AB、CD相交于圆内一点相交于圆内一点P，已知，已知PA=PB=4，PD=4PC，求，求CD的长的长.2. 两圆相交于两圆相交于A、B两点，两点，P为两圆公共弦为两圆公共弦AB延长线上延长线上的任一点，从的任一点，从P引两圆的切线引两圆的切线PC、PD，求证：，求证：PC=PD.3. O的割线的割线PAB交交 O于于A、B两点，割线两点，割线PCD经过圆心，已知经过圆心，已知PA=6，AB= ，PO=12，求，求 O的半径的半径.3224. 如图，点如图，点P为为 O的弦的弦AB上的任上的任意点，连接意点，连接PO，PCOP，PC交圆于交圆于C，求证：，求证： PAPB=PC2.OABPC5.如图，如图， O和和 O都经过点都经过点A、B，PQ切切 O于于P，交，交 O 于于Q、M，交，交AB的延长线于的延长线于N，求证：，求证：PN2NMNQ.BAMOOPQN6.如图，如图，E是圆内两弦是圆内两弦AB和和CD的的交点，直线交点，直线EF/CB，交，交AD的的延长线于延长线于F，FG切圆于切圆于G，求，求证：证：(1)DFEEFA；(2)EF=FG.FEOABCDG7.如图，如图，AB是是 O的直径，过的直