求导法则与公式PPT课件

1、2021-11-191一、问题的提出（Introduction）1. 导数的定义0 xxy)(0 xf 000( )()limxxf xf xxx)()(0 xfxfy0 xxx0limxyx 000()()limxf xxf xx 000()()limhf xhf xh第1页/共26页2021-11-1922. 利用导数的定义得出以下导数公式：(sin )cosxx （3）(cos )sinxx （4）()ln(0,1)xxaaaaa （5）(e )exx （6）1(log)(0,1)lnaxaaxa （7）1(ln)（8）xx ( )0C （1）1()（2） xx 第2页/共26页2021

2、-11-193但是，对于比较复杂的函数，直接根据定义求它们的导数往往很困难. 例如，求下列函数的导函数：为此，我们有必要研究一下函数的求导法则！第3页/共26页2021-11-194二、函数的和、差、积、商的求导法则定理1 具有导数都在及函数xxvvxuu)()()()(xvxu及的和、差、 积、 商 (除分母为0的点外) 都在点 x 可导,且)()( )()() 1 (xvxuxvxu)()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu)()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu下面分三部分加以证明,并同时给出相应的推论和例题.)0)(xv第4页/共26页2021-1

3、1-195此法则可推广到任意有限项的情形.设, 则vuvu )() 1 ()()()(xvxuxfhxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh )()( )()(lim0hxuhxuh)()(lim0hxvhxvh)()(lim0)()(xvxu例如,证: （1）()uvwuvw第5页/共26页2021-11-196vuvuvu )(证: 设, )()()(xvxuxf则有hxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0)()()()(xvxuxvxuhhxuh )(lim0)(xu)(hxvhxv)( )(xu)(hxv推论: )()

4、1uC )()2wvuuC wvuwvuwvu( C为常数 )（2）第6页/共26页2021-11-197)()( lim0 xvhxvh)()()()()()(xvhxvhxvxuxvhxuh)()(xvxu2uu vuvvv证: 设)(xf则有hxfhxfxfh)()(lim)(0hh lim0,)()(xvxu)()(hxvhxu)()(xvxuhhxu )( )(xu)(xvhhxv )( )(xu)(xv故结论成立.)()()()()(2xvxvxuxvxu推论:2CCvvv( C为常数 )（3）第7页/共26页2021-11-19832cosxyxax的导数. 例1 求函数答案：2

5、3ln2sinxyxaax tanyx和例2 求函数的导数. cotyx2(tan )secxx 答案：2(cot )cscxx secyx和例3 求函数的导数. cscyx(sec )sectanxxx 答案：(csc )csc cotxxx 第8页/共26页2021-11-199三、反函数的求导法则 )( xf定理2 y 的某邻域内单调可导, 证:在 x 处给增量由反函数的单调性知且由反函数的连续性知 因此,)()(1的反函数为设yfxxfy在)(1yf0 )(1yf且 ddxy或,0 x)()(xfxxfy,0 xyyx,00yx时必有xyxfx0lim)( lim0yyxyxdd 1

6、)(1yf11 )(1yf11第9页/共26页2021-11-1910例4 求反三角函数的导数。1解: 设,arcsin xy 则si n,2 2xy yp p轾=? 犏犏臌)(arcsinx)(sinyycos1y2sin11211x类似可求得?)(arccosx,11)(arctan2xx211)arccot(xx211xxxarcsin2arccoscos0y因为, 则第10页/共26页2021-11-1911四、复合函数的求导法则在点 x 可导, lim0 xxuxuuf)(xyxyx0limdd定理3 )(xgu )(ufy 在点)(xgu 可导复合函数 fy ( )g x且d( )

7、( )dyf u g xx在点 x 可导,证:)(ufy 在点 u 可导,故)(lim0ufuyuuuufy)(（当 时 )0u0故有( )( )f u g xuy)(uf( )(0)yuuf uxxxx 第11页/共26页2021-11-1912 说 明：第12页/共26页2021-11-1913例如,)(, )(, )(xvvuufyxydd)()()(xvufyuvxuyddvuddxvdd关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.（3） 此法则可推广到多个中间变量的情形.第13页/共26页2021-11-19141 2exy的导数. 例5 求函数答案：11 21 22e( 12 )

8、e(12 )xxyxxln| |,yx.y求例6 设提示：分情况讨论。答案：1(ln |)xx由此可见，即|(n)l|f x)ln(f x( )( )fxf x答案：( )( )( )( )ln ( )( ) .( )v xv xyu xv xu xu xu x第14页/共26页2021-11-1915, )cos(lnxey 求.ddxy解:xydd)cos(1xe)sin(xexe)tan(xxee思考: 若)(uf 存在 , 如何求)cos(lnxef的导数?ddfx)cos(ln(xef ) )cos(lnxe)cos(ln)(xeuuf这两个记号含义不同例8 设练习第15页/共26页

9、2021-11-1916五、基本求导法则与导数公式1. 常数和基本初等函数的导数 )(C0 )(x1x )(sin xxcos )(cosxsinx )(tan xx2sec )(cot x2csc x )(secxxxtansec )(cscxcsc cotxx )(xaaaxln )(xexe )(log xaaxln1 )(lnxx1 )(arcsin x211x )(arccosx211x )(arctan x211x )cot(arcx211x第16页/共26页2021-11-19172. 函数的和、差、积、商的求导法则 )(vuvu )( uCuC )( vuvuvuvu2vvuv

10、u( C为常数 )0( v3. 反函数的求导法则单调可导, ,)()(1的反函数为设yfxxfy1( )fyy邻在 的某域1( )0fy ，且则 )( xf1 )(1yf4. 复合函数求导法则)(, )(xuufyxydd)()(xufuyddxudd5. 初等函数在定义区间内可导,且导数仍为初等函数第17页/共26页2021-11-1918若函数)(xfy 的导数)(xfy可导,或,dd22xy即()yy 或22ddd()dddyyxxx类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 ,1n阶导数的导数称为 n 阶导数 ,y ,)4(y)(,ny或,dd33xy,dd44xynnxydd,)(xf的

11、二阶导数 ,记作y )(xf 的导数为依次类推 ,分别记作则称高阶导数 第18页/共26页2021-11-1919三、一些常见函数的高阶导数的求法例1 设 求解：1. 直接法求高阶导数就是多次接连地求导数.,yaxb,0ya yxye,xye 例2 求 的n 阶导数. ,xye ( ).nxye,解：.y第19页/共26页2021-11-1920,sin xy 求解: xycos)sin(2x)cos(2 xy)sin(22x)2sin(2x)2cos(2 xy)3sin(2x一般地 ,( )(sin )sin(nxx类似可证:( )(cos )cos(nxx2)n2)n例3 设2. 数学归纳

12、法证明高阶导数.)(ny第20页/共26页2021-11-1921例4 设 求(),yxR解1 xy)(1 xy2)1( x3)2)(1( x)1(2 xy)1()1()1()( nxnynn)()()(nnnxy , !n ) !()1( nyn. 0 ( ).ny若 为自然数 ，则 n第21页/共26页2021-11-1922内容小结1. 掌握函数求导的法则四则运算的求导法则反函数的求导法则复合函数的求导法则注意: 1),)(vuuvvuvu2) 搞清复合函数结构 , 由外向内逐层求导 .2. 记住一些基本初等函数的导数公式3. 求高阶导数的方法第22页/共26页2021-11-1923思考与练习41143x1.xx1431x对吗?1423 114xx.)2(,) 1 (xbbayxay2. 求下列函数的导数答案：11bba byx （）2lnxbbyaa （ ）第23页/共26页2021-11-1924, )()()(xaxxf其中)(x在ax 因)()()()(xaxxxf故)()(aafaxafxfafax)()(lim)(axxaxax)()(lim)(limxax)(a正确解法:)(af 时, 下列做法是否正确?在求处连续,3