高等数学课件：第7章 空间解析几何习题课

1、向量的向量的线性运算线性运算向量的向量的表示法表示法向量积向量积数量积数量积混合积混合积向量的积向量的积向量概念向量概念直直 线线曲面曲面曲线曲线平平 面面参数方程参数方程旋转曲面旋转曲面柱柱 面面二次曲面二次曲面一般方程一般方程参数方程参数方程一般方程一般方程对称式方程对称式方程 点法式方程点法式方程一般方程一般方程空间直角坐标系空间直角坐标系例例1解解(3 )(75 ) (4 )(72 )().ababababa b 设设，求求, ,(3 )(75 )abab，(3 ) (75 )abab22716150aa bb(*)(4 )(72 )abab，(4 ) (72 )abab2273080

2、aa bb(*)(*)(*)联联立立方方程程，解解得得222aa bb cos()a ba ba b , ,12 ().3a b , ,例例2解解0.abcabbcca已已知知，试试证证0abc，()cab ，bc 故故 ()bab babb ba ab ca ()aba aaba ba ab 例例3解解5040481204xyzxzxyz 求求过过直直线线且且与与平平面面组组成成角角的的平平面面方方程程. .设设所所求求平平面面方方程程为为(5)(4)0 xyzxz (1)5(1)40 xyz即即，1(1,5,1)n 其其法法向向量量，2(1, 4, 8).n 已已知知平平面面的的法法向向量

3、量由题意得由题意得12122cos24nnn n 222222(1) 15 ( 4)(1) ( 8)(1)5(1)1( 4)( 8) 23227 34 解解得得 所求直线方程为所求直线方程为207120.xyz例例4解解22264416021145xyzxyzxyz 一一平平面面通通过过的的中中心心以以及及直直线线，求求此此平平面面方方程程. .222(3)(2)(2)1xyz(3,2, 2) 球球心心：(2,1,0)为为直直线线上上的的点点，(1,1, 2)a 这这两两点点构构成成的的向向量量为为 ，(1, 4,5)s ，nas取取 112145ijk ( 3, 7, 5) 所求平面方程为所

4、求平面方程为375130 xyz例例5解解0( 1,0,4)1334100112LMxyzxyzL 设设直直线线 通通过过点点且且平平行行于于平平面面，又又与与直直线线垂垂直直，求求直直线线 的的方方程程. .1sns取取 (3, 4,1)n 已已知知平平面面的的法法向向量量 ，1(1,1,2)s 已已知知直直线线的的方方向向向向量量 ，341112ijk( 9, 5,7) 所求直线方程为所求直线方程为104.957xyz例例6解解0(1, 1,1)010zxyz 设设一一平平面面垂垂直直于于平平面面，并并通通过过从从点点到到直直线线的的垂垂线线，求求该该平平面面的的方方程程. .210001

5、1ijks 已已知知直直线线的的方方向向向向量量 (0,1,1) (0, ,1)tt 设设垂垂足足点点坐坐标标为为，1( 1,1, )stt 则则垂垂线线的的方方向向向向量量 ，120ss由由 得得12t ，1 1(0, )2 2 垂垂足足点点坐坐标标为为，111( 1,)22s 则则 ，10(0,0,1)zn 平平面面的的法法向向量量 11nns所所求求平平面面的的法法向向量量 00111122ijk 1(, 1,0)2 所求平面方程为所求平面方程为210.xy例例7解解(1,0,0)(0,1,1)(1)(2)(3)01ABABLLzSABzzz 已已知知两两点点， 求求过过两两点点 ， 的

6、的直直线线 方方程程； 求求直直线线 绕绕 轴轴旋旋转转一一周周所所成成的的旋旋转转曲曲面面 的的方方程程； 求求线线段段绕绕 轴轴旋旋转转一一周周所所成成的的旋旋转转曲曲面面及及， 所所围围成成的的立立体体体体积积. .(1)( 1,1,1)sAB 取取， 所求直线方程为所求直线方程为100.111xyz (2)( , , )SM x y z在在旋旋转转曲曲面面 上上任任取取一一点点，MxOy过过点点做做平平行行于于面面的的平平面面，S该该平平面面与与旋旋转转曲曲面面 的的交交线线为为圆圆，(0,0, )zQz且且该该平平面面与与 轴轴的的交交点点为为 ，LP与与直直线线 的的交交点点为为 (1, , )z z z ，MQPQ= =2222(1)xyzz所求旋转曲面方程为所求旋转曲面方程为222112()22xyz(3)01zz以以 为为积积分分变变量量，则则 ，22(2)( )(1)r zzz由由